第5章 5.4 5.4.3 正切函数的性质与图象-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，通过“两小儿辩日”情境引入太阳角度问题，引导学生用单位圆正切线或三点两线法作图，衔接正弦函数知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，题型分类结合整体代换等方法发展数学思维，表格归纳性质与规范解题步骤强化数学语言。分层练习助学生逐步提升，教师可直接使用完整教学资源提高效率。

5．4．3　正切函数的性质与图象 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第五章　三角函数 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课程标准 素养解读 1.能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图象 2．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性．并能利用其性质解决相关问题 通过正切函数图象和性质的学习培养学生数学直观想象和数学运算素养 [情境引入] 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故．一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢？ 1．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能作出正切函数的图象吗？ 提示：还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y＝tan x的图象． 2．你还有其它方法吗？ 提示：描点法作y＝tan x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的草图描出三点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－1))，(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))，两线x＝±eq \f(π,2). [知识梳理] [知识点]　正切函数的图象与性质　 解析式 y＝tan x 图象 定义域 {x|x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z} 值域 R 最小正周期 　π　 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)　上都是增函数 对称性 对称中心　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)　 1.正切曲线是中心对称图形吗？若是对称中心是什么？是轴对称图形吗？ 提示：y＝tan x是中心对称图形，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，不是轴对称图形． 2．正切函数在定义域上是单调函数吗？ 提示：不是. 正切函数在每一个单调区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)内都是增函数．但在整个定义域内不是，比如180°>30°，但tan 180°＝0<tan 30°＝eq \f(\r(3),3). 3．如何画正切函数的简图？ 提示：画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－1))，(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))，“两线”是指x＝－eq \f(π,2)和x＝eq \f(π,2)，大致画出正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线． [预习自测] 1．与函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝eq \f(π,2)　　　　　 B．y＝eq \f(π,2) C．x＝eq \f(π,8) D．y＝eq \f(π,8) 答案：C 2．函数y＝tan(x＋π)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：A 3．函数f(x)＝eq \r(3－tan2x)的定义域是　________　. 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))，k∈Z 与正切函数有关的定义域、值域问题 [例1] (1)求函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)的定义域； (2)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)，\f(π,12)))的值域． [思路点拨]　(1)先列不等式组，然后借助正切函数的图象与性质解不等式；(2)令z＝2x＋eq \f(π,6)，转化为求tan z的值域． [解]　(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan x＋1≥0,1－tan x>0))， 即－1≤tan x<1. 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，满足上述不等式的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))). 又y＝tan x的周期为π， 所以－eq \f(π,4)＋kπ≤x<eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z. 所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))，k∈Z. (2)令z＝2x＋eq \f(π,6)， ∵x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)，\f(π,12)))，∴－eq \f(π,4)<z≤eq \f(π,3). ∵y＝tan z在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上是增函数， ∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))<y≤taneq \f(π,3)，即－1<y≤ eq \r(3). ∴函数的值域为(－1，eq \r(3) ]． 1．求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．解形如tan x>a的不等式的步骤： 2．求正切函数的值域的方法 ①结合图象． ②利用单调性． ③在复杂情况下，利用换元法，设t＝ωx＋φ，再求解． [变式训练] 1．(1)函数f(x)＝a－eq \r(3)tan 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，b))上的最大值为7，最小值为3，则ab为(　　) A.eq \f(5π,12)　　 B.eq \f(π,3)　　　 C.eq \f(π,6)　　　 D.eq \f(π,12) (2)y＝lg(tan x－1)的定义域为　________　. 解析：(1)B　[∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，b))∴b＞－eq \f(π,6)， ∴2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，2b))， 又∵函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，b))上的最大值为7，最小值为3，∴2b＜eq \f(π,2)，即b＜eq \f(π,4). 根据正切函数g(x)＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，得f(x)＝a－eq \r(3)tan 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，b))上单调递减， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝a＋3＝7⇒a＝4， ∴f(b)＝4－eq \r(3)tan 2b＝3，则tan 2b＝eq \f(\r(3),3)， ∵2b∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2b＝eq \f(π,6)，∴b＝eq \f(π,12)， ∴ab＝4×eq \f(π,12)＝eq \f(π,3).] (2)解析：令y＝lg t，t＝tan x－1， 函数t＝tan x－1的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))， 函数y＝lg t的定义域为{t|t＞0}，则tan x－1＞0， 即eq \f(π,4)＋kπ＜x＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z， 所以y＝lg(tan x－1)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ＜x＜\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))). 答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ＜x＜\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))) 与正切函数有关的函数单调性问题 [例2] (1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间； (2)比较tan 1、tan 2、 tan 3的大小． [思路点拨]　解答(1)时先将函数化为y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，再把eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)整体代入eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z这个区间内，解出x便可．解答(2)的关键是利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，把角化归到同一单调区间内，再利用y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的单调性判断其大小关系． [解]　(1)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4))) ＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))， 由kπ－eq \f(π,2)<eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)<kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得2kπ－eq \f(π,2)<x<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z， 所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))，k∈Z. (2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 因为eq \f(π,2)<2<π，所以－eq \f(π,2)<2－π<0. 因为eq \f(π,2)<3<π，所以－eq \f(π,2)<3－π<0. 显然－eq \f(π,2)<2－π<3－π<1<eq \f(π,2)， 又y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1. 即tan 2<tan 3<tan 1. 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)<ωx＋φ<kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． [变式训练] 2．求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的单调区间． 解：y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))， 由kπ－eq \f(π,2)<eq \f(x,4)－eq \f(π,6)<kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得4kπ－eq \f(4π,3)<x<4kπ＋eq \f(8π,3)，k∈Z. ∴y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))，k∈Z. 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 [例3] (1)求f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期； (2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性． [思路点拨]　(1)利用公式法或定义法求函数的周期；(2)利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性． [解]　(1)方法一： ∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))， 即taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ∴f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2). 方法二：∵y＝tan x的周期是π. ∴f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2). (2)函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))， 又∵sin(－x)＋tan(－x)＝－(sin x＋tan x)， ∴函数y＝sin x＋tan x是奇函数． (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b(A≠0，ω>0)的周期为T＝eq \f(π,ω)，常常使用此公式来求周期． (2)判断奇偶性一定要先求定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称则函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)间的关系． [变式训练] 3．已知函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω<0)的周期为eq \f(π,2)，求该函数的定义域、值域．并判断函数的奇偶性． 解：y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω<0)的周期为eq \f(x,|ω|)＝eq \f(π,2)，解得ω＝2或ω＝－2. 因为ω<0，所以ω＝－2， 故y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))). 由2x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)(k∈Z)， 所以该函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(kπ,2)＋\f(3π,8)，k∈Z))，值域为R. 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数. 1．下列图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2)))内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) A．①②③④　　　　 B．①③④② C．③②④① D．①②④③ 答案：D 2．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))与函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的最小正周期相同，则ω＝(　　) A．±1　　　　　　 B．1 C．±2 D．2 答案：A 3．关于函数y＝tan(2x－eq \f(π,3))，下列说法正确的是(　　) A．是奇函数 B．在区间(0，eq \f(π,3))上单调递减 C．(eq \f(π,6)，0)为图象的一个对称中心 D．最小正周期为π 答案：C 4．不等式－1≤taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))≤eq \r(3)的解集是　________　. 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋2kπ，\f(π,3)＋2kπ))，k∈Z 5．求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,4)))的定义域、周期、单调区间和对称中心． 解：由eq \f(π,3)x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠3k＋eq \f(3,4)，k∈Z， 故定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠3k＋\f(3,4)，k∈Z)))). T＝eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,\f(π,3))＝3. 由－eq \f(π,2)＋kπ＜eq \f(π,3)x＋eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z， 得－eq \f(9,4)＋3k＜x＜eq \f(3,4)＋3k，k∈Z， 故增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)＋3k，\f(3,4)＋3k))(k∈Z)， 由eq \f(π,3)x＋eq \f(π,4)＝eq \f(kπ,2)得，x＝eq \f(3,2)k－eq \f(3,4)，k∈Z， 所以对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)k－\f(3,4)，0))，(k∈Z). $