第5章 5.4 5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，课堂导入从24小时、星期等生活周期现象切入，通过诱导公式和图像观察，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数性质与实际应用。 其亮点在于情境化引入培养数学眼光，通过周期定义辨析和奇偶性公式推导发展逻辑推理，题型含定义法、公式法等多种解法且解析详细助力数学表达。如例1用公式法求y=2sin(x/3-π/6)周期，例2强调定义域对称判断奇偶性，帮助学生提升直观与推理能力，为教师提供完整教学资源。

5．4．2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的性质(一) 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第五章　三角函数 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课程标准 素养解读 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性 通过正、余弦函数性质的学习培养学生数学直观和逻辑推理素养 [情境引入] 如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次，如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替等．正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？ 继续探究： 观察f(x)的部分图象，思考下列问题： (1)观察图形，函数图象每相隔多少个单位重复出现？ 提示：每相隔1个单位重复出现． (2)由诱导公式一：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sinx＋2kπ＝sin x，,cosx＋2kπ＝cos x，)) (k∈Z)结合正(余)弦曲线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征？图象变化趋势是怎样的？ 提示：自变量x增加2π的整数倍时，函数值重复出现，图象发生“周而复始”的变化． [知识梳理] [知识点一]　函数的周期性　 1．对于函数f(x)，如果存在一个　非零常数T　，使得当x取定义域内的　每一个　值时，都有　f(x＋T)＝f(x)　，那么函数f(x)就叫作周期函数，　非零常数T　叫作这个函数的周期． 2．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　最小正数　，那么这个　最小正数　叫作f(x)的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数都是周期函数，　2kπ(k∈Z，且k≠0)　都是它们的周期，最小正周期为　2π　. 1.对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内无数个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么f(x)是周期函数吗？ 提示：f(x)不是周期函数，因为x应取定义域内每一个值． 2．是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？ 提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． 3．周期函数都有最小正周期吗？ 提示：①最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin 2(x＋π)，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x. ②并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． ③未特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期． 4．3π是正弦函数f(x)＝sin x的周期吗？为什么？ 提示：不是．∵f(x＋3π)＝sin(x＋3π)＝sin(x＋π＋2π)＝sin(x＋π)＝－sin x≠f(x)． ∴3π不是f(x)＝sin x的周期． [知识点二]　正弦、余弦函数的奇偶性　 1．对于y＝sin x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是　奇　函数，正弦曲线关于　原点　对称； 2．对于y＝cos x，x∈R，恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是　偶　函数，余弦曲线关于　y轴　对称． 5.函数的奇偶性反映了函数的对称性，通过观察图象，请写出正弦函数，余弦函数的对称中心与对称轴． 提示：通过观察图象可知： 正弦函数的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)， 对称轴为x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)； 余弦函数的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)． [预习自测] 1．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的最小正周期是(　　) A.eq \f(π,4)　　　　　 B.eq \f(π,2) C．π D．2π 答案：C 2．函数y＝cos 2x的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：B 3．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的周期为π，则ω＝　________　. 答案：2 三角函数的周期及应用 [例1] 求下列函数的周期： (1)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))；(2)y＝|sin x|. [思路点拨]　(1)可用定义法或公式法求周期，(2)可用图象法或定义法求解． [解]　(1)方法一： ∵2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)＋2π))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))， 即2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋6π－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))， ∴y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))的周期是6π. 方法二： ∵eq \f(2π,\f(1,3))＝6π，∴函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))的周期是6π. (2)方法一： ∵|sin(π＋x)|＝|－sin x|＝|sin x|. ∴函数y＝|sin x|的周期是π. 方法二： y＝|sin x|的图象如图所示． ∴y＝|sin x|的周期是π. 求三角函数的周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝eq \f(2π,ω)来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数． [变式训练] 1．(多选)下列函数中，最小正周期为π的是(　　) A．y＝|sin x|　　　　 B．y＝sin|x| C．y＝|cos 2x| D．y＝cos|2x| 解析：AD　[A选项，y＝|sin x|的图象如图所示，由此可知y＝|sin x|的最小正周期为π. B选项，令f(x)＝sin |x|，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)))＝sin eq \f(3π,2)＝－1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)＋π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝sin eq \f(π,2)＝1， feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)))≠feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)＋π))，所以B选项错误． C选项，令g(x)＝|cos 2x|，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝|cos(2x＋π)|＝|－cos 2x|＝|cos 2x|＝g(x)，所以π不是y＝|cos 2x|的最小正周期． D选项，对于函数y＝cos|2x|，当2x≥0时，y＝cos 2x，当2x＜0时，y＝cos(－2x)＝cos 2x，所以y＝cos|2x|＝cos 2x，其最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，D选项正确．] 三角函数的奇偶性的判断及应用 [例2] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \r(2)sin 2x； (2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))； (3)f(x)＝eq \r(1－cos x)＋eq \r(cos x－1). [思路点拨]　首先求出函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下，根据f(－x)与f(x)及－f(x)的关系来判断． [解]　(1)显然x∈R， f(－x)＝eq \r(2)sin(－2x)＝－eq \r(2)sin 2x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)∵x∈R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－coseq \f(3x,4)， ∴f(－x)＝－coseq \f(3－x,4)＝－coseq \f(3x,4)＝f(x)， ∴函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数． (3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－cos x≥0，,cos x－1≥0))得cos x＝1，∴x＝2kπ(k∈Z)， 此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (1)判断函数奇偶性的方法步骤为：先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，再根据解析式判断f(x)与f(－x)的关系，并根据奇偶性的定义作出判断，对于三角函数，要特别注意诱导公式的应用． (2)若已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))为偶函数，则x＝0是其对称轴，则f(0)＝±A；若已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))为奇函数，则(0,0)是其对称中心，则f(0)＝0. [变式训练] 2．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x； (2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x. 解：(1)函数的定义域为R， 又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数． (2)函数的定义域为R，关于原点对称， 因为f(x)＝cos x－x3·sin x， 所以f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x) ＝cos x－x3·sin x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 三角函数的奇偶性与周期性的应用 [例3] 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值． [思路点拨]　根据周期性，把要求角转化到已知角范围中求解． feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))). [解]　∵f(x)的最小正周期是π， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))). ∵f(x)是R上的偶函数， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2). ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝eq \f(\r(3),2). 1．利用周期性和奇偶性解决求值问题的方法 利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题． 2．判断y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具有奇偶性的关键 判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中一个． [变式训练] 3．(1)已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0　　 B．－eq \f(π,4)　　　 C.eq \f(π,2)　　 D．π (2)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期为π，则f(x)的图象(　　) A．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))对称 B．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称 C．关于直线x＝eq \f(π,12)对称 D．关于直线x＝eq \f(π,6)对称 解析：(1)B　[法一：f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)＋φ))为奇函数，则只需eq \f(π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z. 显然当k＝0时，φ＝－eq \f(π,4)满足题意． 法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0， 即eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝0，所以φ＋eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z， 即φ＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z.令k＝0，则φ＝－eq \f(π,4).] (2)D　[因为函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期为π. 所以ω＝eq \f(2π,π)＝2. 因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)＋\f(π,6)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，所以A，C错误； feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sin eq \f(π,2)＝1，所以B错误，D正确．] 1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：A 2．(多选)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中是周期函数的是(　　) 答案：ABC 3．已知定义在R上的奇函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值为(　　) A．－eq \f(1,2)　　　　　　　 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2) 答案：C 4．函数f(x)＝3cos(ωx－eq \f(π,3))(ω>0)的最小正周期为eq \f(2π,3)，则f(π)＝　________　. 答案：－eq \f(3,2) 5．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))cos(π＋x)； (2)f(x)＝eq \r(1＋sin x)＋eq \r(1－sin x). 解：(1)∵x∈R， f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))cos(π＋x) ＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x. ∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x ＝－f(x)． ∴函数f(x)是奇函数． (2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1， ∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0. ∴f(x)＝eq \r(1＋sin x)＋eq \r(1－sin x)的定义域为R. ∵f(－x)＝eq \r(1＋sin－x)＋eq \r(1－sin－x) ＝eq \r(1－sin x)＋eq \r(1＋sin x)＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数. $