第5章 5.3 第1课时 诱导公式(一)-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式（二）（三）（四），通过“对称美”情境引入角终边对称关系，结合单位圆搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生理解公式推导脉络。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过预习自测、课堂例题及变式训练，形成“负角化正、大角化小”的解题步骤，培养数学运算素养。学生能提升公式应用能力，教师可借助完整学案体系提高教学效率。

5．3　诱导公式 第1课时　诱导公式(一) 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第五章　三角函数 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课程标准 素养解读 1.借助单位圆推导诱导公式(二)(三)(四) 2．了解诱导公式的意义和作用 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题 1.通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观和数学抽象素养． 2．根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运算素养. [情境引入] 对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？ [问题]　如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 提示　β＝π＋α，P1与P2横坐标，纵坐标都互为相反数． [知识梳理] [知识点]　诱导公式　 (1)诱导公式 公式二 公式三 公式四 终边关系 角π＋α与角α的终边关于原点对称. 角－α与角α的终边关于x轴对称. 角π－α与角α的终边关于y轴对称． 图 形 公 式 sin(π＋α)＝ －sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝ tan α . sin(－α)＝　－sin α， cos(－α)＝ cos α　， tan(－α)＝ －tan α . sin(π－α)＝　sin α　， cos(π－α)＝－cos α ， tan(π－α)＝ －tan α . (2)本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的角的三角函数之间的关系． (3)作用： 公式二 将0～2π的角转化为0～π的角求值． 公式三 将负角转化为正角求值． 公式四 将eq \f(π,2)～π的角转化为0～eq \f(π,2)的角求值. (4)应用：通过诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中． 1.从函数名称和符号变化两个方面观察公式一至公式四，你能发现什么规律？ 提示；函数的名称都没有变化，符号随角的象限而变化．简记：函数名不变，符号看象限． 2．诱导公式中角α不能是锐角吗？ 提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z. [预习自测] 1．tan 570°＋sin 300°＝(　　) A.eq \f(5\r(3),6)　 B.eq \f(\r(3),6)　 C．－eq \f(\r(3),6)　 D．－eq \f(5\r(3),6) 答案：C 2．已知tan α＝4，则tan (π－α)＝　________　. 答案：－4 3．cos(－30°)＝　________　，sineq \f(2π,3)＝　________　. 答案：eq \f(\r(3),2)　eq \f(\r(3),2) 给角求值问题 [例1] 求下列各三角函数值： (1)coseq \f(17π,6)；(2)tan(－855°)； (3)taneq \f(3π,4)＋sineq \f(11π,6). [思路点拨]　(1)利用诱导公式化正角为负角，化大角为小角，化小角为锐角，再求值． (2)注意观察不同角之间的联系． [解]　(1)coseq \f(17π,6)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(5π,6)))＝coseq \f(5π,6)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6))) ＝－coseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2). (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)原式＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,6))) ＝－taneq \f(π,4)－sineq \f(π,6)＝－1－eq \f(1,2) ＝－eq \f(3,2). 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 [变式训练] 1．求下列各三角函数式的值： ①cos 210°；②sineq \f(11π,4)；③sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6)))； ④cos(－1 920°)． 解：①cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30° ＝－eq \f(\r(3),2). ②sineq \f(11π,4)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4))) ＝sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2). ③sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(43π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(7π,6)))＝－sineq \f(7π,6) ＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2). ④cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－eq \f(1,2). 给值(式)求值问题 [例2] 已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))的值． [思路点拨]　eq \f(5π,6)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，利用诱导公式把要求角用已知角整体表示． [解]　coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))) ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3). (1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [变式训练] 2．(1)已知A＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(coskπ＋α,cos α)(k∈Z)，则A构成的集合是(　　) A．{－1,1，－2,2}　 B．{1，－1} C．{2，－2} D．{－2，－1,0,1,2} (2)已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋θ))＝　________　. 解析：(1)当k为偶数时，A＝2；当k为奇数时，A＝－2.故A构成的集合为{－2,2}． (2)令t＝eq \f(π,3)－θ，则θ＝eq \f(π,3)－t，cos t＝eq \f(4,5)， sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝sin t＝±eq \r(1－cos2t)＝±eq \f(3,5). ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋θ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋\f(π,3)－t))＝sin(π－t)＝sin t＝±eq \f(3,5). 答案：(1)C　(2)±eq \f(3,5) 化简求值问题 [例3] 已知α是第四象限角，且 f(α)＝eq \f(sinπ－αcos2π－αtan－α＋2π,tan－α＋πsin3π－α). (1)化简f(α)； (2)若sin α＝－eq \f(3,5)，求f(α)； (3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)． [思路点拨]　利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． [解]　(1)f(α)＝eq \f(－sin αcos αtan α,－tan αsin α)＝cos α. (2)因为sin α＝－eq \f(3,5)，且α是第四象限角， 所以f(α)＝cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\f(9,25))＝eq \f(4,5). (3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2). 1．利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切． 2．三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数． (3)注意“1”的变形应用． [变式训练] 3．化简： (1)eq \f(cos－αtan7π＋α,sinπ－α)； (2)eq \f(sin1 440°＋α·cosα－1 080°,cos－180°－α·sin－α－180°). 解：(1)原式＝eq \f(cos αtanπ＋α,sin α)＝eq \f(cos α·tan α,sin α) ＝eq \f(sin α,sin α)＝1. (2)原式＝eq \f(sin4×360°＋α·cos3×360°－α,cos180°＋α·[－sin180°＋α]) ＝eq \f(sin α·cos－α,－cos α·sin α)＝eq \f(cos α,－cos α)＝－1. 1．coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))taneq \f(17π,6)的值为(　　) A．－eq \f(\r(2),2)　　　　　　 B．－eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(\r(6),6) D.eq \f(\r(3),2) 答案：C 2．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝(　　) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(3),3) D．－eq \f(2\r(3),3) 答案：B 3．cos 330°＋sin(－30°)＋taneq \f(8,3)π＋cos 90°＝　________　. 答案：－eq \f(\r(3)＋1,2) 4．已知sin(45°＋α)＝eq \f(5,13)，则sin(225°＋α)＝　________　. 答案：－eq \f(5,13) 5．已知f(α)＝eq \f(sinπ＋αcos2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α). (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq \f(1,5)，求f(α)的值； (3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝eq \f(－sin αcos α－tan α,－tan αsin α)＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝eq \f(1,5)， ∴sin α＝－eq \f(1,5).又α是第三象限角， ∴cos α＝－eq \f(2\r(6),5).∴f(α)＝eq \f(2\r(6),5). (3)∵－eq \f(31π,3)＝－6×2π＋eq \f(5π,3)， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(5π,3))) ＝－coseq \f(5π,3)＝－coseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2). $