第5章 5.2 5.2.1 第2课时 三角函数概念的应用-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦三角函数值的符号规律及诱导公式（一），通过单位圆坐标符号情境引入，衔接三角函数定义，以问题链搭建从概念到应用的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于情境导入培养数学抽象，例题与变式训练强化数学运算，综合应用题型如已知单位圆交点求参数，提升逻辑推理能力。采用“预习-互动-练习”闭环设计，助力学生夯实基础，也为教师提供完整教学资源，提高教学效率。

第2课时　三角函数概念的应用 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第五章　三角函数 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第五章　三角函数 课程标准 素养解读 1.掌握三角函数在各象限的符号 2．掌握诱导公式(一)及其应用 通过诱导公式的学习培养学生数学抽象和数学运算素养 [情境引入] 根据三角函数的定义，各个三角函数值是用单位圆上点的坐标表示的，当角在不同象限时，其与单位圆的交点坐标的符号就不同，因此其各个三角函数值的正负就不同，你能推导出sin α，cos α，tan α在不同象限内的符号吗？ 提示：当α在第一象限时，sin α>0，cos α>0，tan α>0；当α在第二象限时，sin α>0，cos α<0，tan α<0；当α在第三象限时，sin α<0，cos α<0，tan α>0；当α在第四象限时，sin α<0，cos α>0，tan α<0. [知识梳理] [知识点一]　三角函数值的符号　 (1)图形表示： 正弦：　一二　象限正，　三四　象限负； 余弦：　一四　象限正，　二三　象限负； 正切：　一三　象限正，　二四　象限负． (2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (3)本质：三角函数值在各个象限内的符号，是根据单位圆与角的终边在各个象限内的交点坐标的符号决定的． (4)应用：根据三角函数值在各个象限内的符号，可以在不求三角函数值的情况下，判断三角函数的正负． 1.三角函数在各象限的符号由什么决定？ 提示：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角α 终边上任意一点的坐标来确定． [知识点二]　诱导公式一　 终边相同的角的同一三角函数的值　相等　，即 sin(α＋k·2π)＝　sin α　； cos(α＋k·2π)＝　cos α　； tan(α＋k·2π)＝　tan α　 (其中k∈Z)． 注：诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α. (2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现． (3)此公式也可以记为：sin(α＋k·360°)＝sin α，cos(α＋k·360°)＝cos α，tan(α＋k·360°)＝tan α.其中k∈Z. 2.诱导公式一反映了“终边相同的角同一三角函数的值相等”，反之，若两个角某一三角函数值相等，则这两个角终边相同吗？ 提示：这两个角的终边不一定相同，如sin α＝sin β＝eq \f(1,2)，则有可能是α＝30°，β＝150°. [预习自测] 1．若sin α<0且tan α>0，则α在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 2．下列选项中符号为负的是(　　) A．sin 110° B．cos(－60°) C．tan 4 D．coseq \f(2π,3) 答案：D 3．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°＝　________　. 答案：4 三角函数的符号 [例1] 判定下列各式的符号： (1)tan 191°－cos 191°； (2)sin 2cos 3tan 4. [思路点拨]　角的大小确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号． [解]　(1)∵191°是第三象限角， ∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. (2)∵eq \f(π,2)<2<π，eq \f(π,2)<3<π，π<4<eq \f(3π,2)， ∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2cos 3tan 4<0. 1．判断三角函数值正负的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正二正弦，三正切，四余弦”来判断． 提醒：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上． 2．正弦、余弦函数值的正负规律 [变式训练] 1．(多选)下列选项中，结果为正数的有(　　) A．sin 1＋cos 1　　　 B．sin 2＋cos 2 C．sin 3＋cos 3 D．sin 4＋cos 4 解析：AB　[由0＜1＜eq \f(π,2)，可得sin 1＞0，cos 1＞0，所以sin 1＋cos 1＞0，所以A正确；由eq \f(π,2)＜2＜eq \f(3π,4)＜3＜π，可得sin 2＞0，sin 3＞0，cos 2＜0，cos 3＜0，且|sin 2|＞|cos 2|，|sin 3|＜|cos 3|，所以sin 2＋cos 2＞0，sin 3＋cos 3＜0，所以B正确，C错误；由π＜4＜eq \f(3π,2)，可得sin 4＜0，cos 4＜0，所以sin 4＋cos 4＜0，所以D错误．] 　诱导公式一及运用 [例2] 求下列各式的值： (1)sineq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. [思路点拨]　此类问题的解答应先将角改写为2kπ＋α或k·360°＋α(k∈Z)的形式，再运用诱导公式一求值． [解]　(1)sineq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4))) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4))) ＝sineq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(\r(3),2)＋1＝eq \f(\r(3)＋2,2). (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125° ＝sin(2×360°＋90°)＋cos(0°＋360°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1＝1. (1)诱导公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为0～2π角的三角函数值． (2)一些特殊角的三角函数值： 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360° 角α的 弧度数 0 eq \f(π,6) eq \f(π,4) eq \f(π,3) eq \f(π,2) eq \f(2π,3) eq \f(5π,6) π eq \f(3π,2) 2π sin α 0 eq \f(1,2) eq \f(\r(2),2) eq \f(\r(3),2) 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(1,2) 0 －1 0 cos α 1 eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(2),2) eq \f(1,2) 0 －eq \f(1,2) －eq \f(\r(3),2) －1 0 1 tan α 0 eq \f(\r(3),3) 1 eq \r(3) 不存在 －eq \r(3) －eq \f(\r(3),3) 0 不存在 0 [变式训练] 2．求下列各式的值． (1)coseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解：(1)因为coseq \f(25π,3)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋8π))＝coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)， taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝taneq \f(π,4)＝1， 所以coseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2). (2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2)， cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2)， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝eq \f(1,2)， 所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°) ＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1. 三角函数概念的综合应用 [例3] 已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边与单位圆相交于点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))，求m的值及sin(α＋6π)的值． [思路点拨]　先判断角所在象限，然后确定三角函数值． [解]　(1)因为eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)， 所以sin α<0.① 因为lg(cos α)有意义， 所以cos α>0.② 由①②得角α在第四象限． (2)因为点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，m))在单位圆上， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5). 又角α是第四象限角， 所以m<0，所以m＝－eq \f(4,5). 由三角函数定义知，sin α＝－eq \f(4,5). 所以sin (α＋6π)＝sin α＝－eq \f(4,5). 准确记忆特殊角的三角函数值是三角函数化简求值的基础，此类问题易因对特殊角的三角函数值记忆不准确导致计算错误． [变式训练] 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为(　　) A．锐角三角形　 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都可能 解析：B　[∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．] 4．计算log2(4sin 1 110°)的结果是(　　) A．－1　 B．0　 C．1　 D．2 解析：C　[因为1 110°＝3×360°＋30°，所以1 110°角的终边与30°角的终边重合，则sin 1 110°＝sin 30°＝eq \f(1,2)，所以log2(4sin 1 110°)＝log2(4×eq \f(1,2))＝log22＝1.故选C.] 1．已知α是第四象限的角，则点P(tan α，cos α)在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 2．sin(－1 410°)的值为(　　) A．－eq \f(1,2)　　 B.eq \f(1,2)　　 C．－eq \f(\r(3),2)　　　D.eq \f(\r(3),2) 答案：B 3．角α的终边经过点P(x,4)且cos(α＋2 022π)＝eq \f(x,5)，则sin α＝　________　. 答案：1或eq \f(4,5) 4．计算sineq \f(14π,3)＝　__________　，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－25π,4)))＝　________　. 答案：eq \f(\r(3),2)　eq \f(\r(2),2) 5．求下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq \f(12π,5)·tan 4π. 解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6),4)＋eq \f(1,4)＝eq \f(1＋\r(6),4). (2)原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))· tan(4π＋0) ＝sin eq \f(π,6)＋cos eq \f(2π,5)×0＝eq \f(1,2). $