第4章 4.4 4.4.3 不同函数的增长差异-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

2026-08-17

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摘要：

该高中数学课件聚焦指数、对数、线性函数的增长差异，通过“y=2^x与y=2x交点及大小关系”情境引入，衔接指数函数、对数函数概念，搭建从具体函数比较到抽象规律总结的学习支架。其亮点在于融入数学建模与逻辑推理素养，通过表格数据分析（如例1比较y1,y2,y3增长速度）、函数模型应用（如例3预测月产量）等实例，采用情境探究与变式训练结合的教学方法。助力学生提升分析问题能力，为教师提供系统的课前预习到课后提升的教学资源。

内容正文：

4．4．3　不同函数的增长差异第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课前预习学案课堂互动学案 01 02 随堂步步夯实 03 课后素养提升 04 第四章　指数函数与对数函数必修第一册数学下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课前预习学案下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课堂互动学案下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数　下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数随堂步步夯实下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课时作业下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课程标准素养解读 1.对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性 2．了解函数模型的广泛应用通过函数模型的应用提升数学建模和逻辑推理素养 [情境引入] 函数＝2x与y＝2x有几个交点，x在什么范围下，2x>2x会恒成立？提示：(1)y＝ax(a>1)与y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)都单调递　增　. (2)它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax的增长速度越来越　快　，会超过并远远大于y＝kx的增长速度．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有ax>kx. [知识梳理] [知识点]　三种常见函数模型的增长差异　 y＝kx(k>0) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) 在(0，＋∞) 上的增减性　增函数　　增函数　　增函数　图象的变化趋势一条直线随x增大逐渐近似与　y轴　平行随x增大逐渐近似与　x轴　平行增长速度 (1)y＝ax(a>1)随着x的增大，y增长速度　越来越快　，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过　y＝kx(k>0)　的增长速度 (2)y＝logax(a>1)随着x的增大，y增长速度　越来越慢　，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有　logax<kx　 1.我们常说指数增长、指数爆炸，对于指数型函数模型，还有没有别的变化方式？提示：有，还有指数衰减． 2．我们知道当底数大于1时，对数函数的增长速度越来越慢，那么当底数小于1时，对数函数的变化有何特点？提示：当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢． 3．存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>logax(a>1，n>0)一定成立？提示：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>logax. [预习自测] 1．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex　　　　　 B．y＝ln x C．y＝2x D．y＝e－x 答案：A 2．(多选)以下四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知a＞1，则对任意的x＞0，ax＞logax C．对任意的x＞0，xa＞logax D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax 答案：BD 3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为　________　. 答案：f(x)>g(x) 几类函数模型增长差异的比较 [例1] 已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表： x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 1 4 16 36 64 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　) A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2 [思路点拨]　根据自变量与函数值的关系选择不同的函数模型． [解析]　从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化． [答案]　B 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [变式训练] 1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　) A．y＝eq \f(1,100)ex　　　 B．y＝100 ln x C．y＝100 x D．y＝100·2x 解析：A　[指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快．] 几类函数模型的比较的应用 [例2] 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指示出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 026)，g(2 026)的大小． [思路点拨]　根据图象的增减趋势选择函数模型． [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2 026>x2，从图象上可以看出当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)；当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 026)>g(2 026)；又因为g(2 026)>g(6)，所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6)．不同函数的变化规律 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． [变式训练] 2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是(　　) A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x C．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x 解析：B　[在同一坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象，在区间(2,4)内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，∴x2＞2x＞log2x.] 函数模型的选择问题 [例3] 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ [思路点拨]　分别验证函数的模拟效果． [解]　根据题意可列方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f1＝a＋b＋c＝100，,f2＝4a＋2b＋c＝120，,f3＝9a＋3b＋c＝130.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝35，,c＝70.)) 所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.① 同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.② 再将x＝4分别代入①式与②式得 f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)， g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题． [变式训练] 3．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解：A种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为eq \f(51.4－50,50)，所以100元一年到期的本息和为100eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1＋\f(51.4－50,50)))2≈105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为eq \f(100－97,97)，100元一年到期的本息和为100eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(1＋\f(100－97,97)))≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B种债券. 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x　　　　　 B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 答案：B 2．若x＞0，且1＜bx＜ax，则(　　) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b 答案：C 3．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是　________　. 答案：y＝x2 4．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________. 答案：(4)　(1)　(3)　(2) 5．已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2，若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．解：依题意知，x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值．当x＜x1时，2x＞x3，即f(x)＞g(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)．因为f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4， g(2)＝23＝8，所以x1∈[1,2]，即a＝1. 因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)＜g(8)，f(9)＝29＝512. g(9)＝93＝729，f(9)＜g(9)， f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000， f(10)＞g(10)，所以x2∈[9,10]，即b＝9. $

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