第4章 4.2 4.2.1 指数函数的概念-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

2026-08-17

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摘要：

该高中数学课件聚焦指数函数的概念、特征及应用模型，通过报纸对折实例导入，引导学生观察折叠次数与层数、面积的函数关系，结合课前预习问题探究、课堂互动例题辨析、随堂分层练习，构建从具体到抽象的学习支架。其亮点在于以情境驱动和问题链设计提升核心素养，如用荷叶生长、耕地减少实例培养数学建模素养，通过概念辨析题强化数学抽象与运算素养。采用“实例引入—概念建构—应用拓展”逻辑，例题变式结合规律总结，助力学生深化理解，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

内容正文：

4．2　指数函数 4．2．1　指数函数的概念第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课前预习学案课堂互动学案 01 02 随堂步步夯实 03 课后素养提升 04 第四章　指数函数与对数函数必修第一册数学下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课前预习学案下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课堂互动学案下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数　下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数随堂步步夯实下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课时作业下一页上一页返回导航必修第一册数学第四章　指数函数与对数函数课程标准素养解读 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景 2．理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出指数函数的图象 1.通过指数函数模型的认识提升数学建模和数学抽象素养 2．通过理解指数函数的意义，提升数学直观和数学运算素养 [情境引入] 拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间、折叠次数x与对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系见下表：折叠次数x　对应层数y　对折后的面积S 　x＝1　　　y＝2＝21　　　S＝eq \f(1,2) 　x＝2 y＝4＝22 S＝eq \f(1,4)＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2 　x＝3 y＝8＝23 S＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3 　…… …… …… [问题]　对应的层数y与折叠次数x间存在怎样的函数关系？对折后的面积S与折叠的次数x间呢？你得到的两个函数解析式有什么共同特征？提示：第x次折叠后对应的层数y＝2x(x∈N*)，对折后的面积S＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x∈N*)．这两个函数解析式的共同特征：(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量． [知识梳理] [知识点一]　指数函数的概念　一般地，函数y＝　ax　(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是　自变量　，定义域是　R　. 1.为什么指数函数的底数a>0，且a≠1? 提示：①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． ②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，…，该函数无意义． ③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 2．指数函数的解析式有什么特征？提示：指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；③ax的系数是1. [知识点二]　指数增长模型　 (1)定义：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝　N(1＋p)x(x∈N)　 (2)应用：刻画指数增长或衰减变化规律． [预习自测] 1．下列是指数函数的是(　　) A．y＝－3x　　　　　　 B．y＝2x2－1 C．y＝ax＋1 D．y＝πx 答案：D 2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．a>0，且a≠1 B．a≥0，且a≠1 C．a>eq \f(1,2)，且a≠1 D．a≥eq \f(1,2) 答案：C 3．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝eq \f(fx,fy) C．f(eq \f(x,y))＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 答案：ABD 指数函数的概念 [例1] 下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x； (4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)． [思路点拨]　依指数函数的概念判断． [解]　(1)y＝10x符合定义，是指数函数． (2)y＝10x＋1中指数是x＋1而非x，不是指数函数． (3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数． (4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数定义，不是指数函数． (5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合ax(a>o，a≠1)这一结构形式．指数函数具有以下特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x； (2)指数位置是自变量x，且x的系数是1； (3)ax的系数是1. [变式训练] 1．指出下列函数哪些是指数函数：(1)y＝3x.(2)y＝x2.(3)y＝－3x.(4)y＝(－3)x. 解：(1)为指数函数． (2)中底数不是常数，故不是指数函数． (3)是－1与指数函数3x的乘积． (4)中底数－3<0，故不是指数函数．　指数函数的解析式及其应用 [例2] (1)函数y＝(a2－5a＋7)ax＋6－2a是指数函数，则有(　　) A．a＝2或a＝3　　 B．a＝3 C．a＝2 D．a＞2且a≠3 (2)指数函数f(x)过点(2，eq \f(1,2))，则f(x)＝　________　. [思路点拨]　指数函数y＝ax(a>0且a≠1)是一种形式函数． [解析]　(1)由指数函数的概念，得a2－5a＋7＝1且6－2a＝0，解得a＝3. (2)设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以a2＝eq \f(1,2)，所以a＝eq \f(\r(2),2)，所以f(x)＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x. [答案]　(1)B　(2)eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x 求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． [变式训练] 2．(1)函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　) A．a＝1或a＝2　　　 B．a＝1 C．a＝2 D．a>0且a≠1 (2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－1)＝　________　. 解析：(1)C　[由指数函数的定义知： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1,a>0且a≠1))，∴a＝2(a＝1舍去)．] (2)设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，将点(2,9)的坐标代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)，所以f(x)＝3x，所以f(－1)＝eq \f(1,3). 答案：eq \f(1,3) 函数模型y＝kax的实际应用 [例3] 荷塘里，已知每一天荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的eq \f(1,16)时，荷叶已生长了(　　) A．10天 B．15天 C．16天 D．19天 [思路点拨]　设初始覆盖面积为a，x天后的覆盖面积为y＝a·2x.利用指数运算求解． [解析]　设初始覆盖面积为a，x天后的覆盖面积为y＝a·2x，荷叶20天可以完全长满荷塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积的eq \f(1,16)时，可得a·220·eq \f(1,16)＝，解得x0＝16. 故当荷叶刚好覆盖水面面积的eq \f(1,16)时，荷叶已生长了16天． [答案]　C 关于函数y＝kax在实际问题中的应用 (1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律，若0<a<1，则刻画指数衰减变化规律． (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的系数后，利用指数运算解题． [变式训练] 3．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2021年的耕地面积为m，则2026年的耕地面积为(　　) 1．(多选)下列以x为自变量的函数中不是指数函数的是(　　) A．y＝(－4)x　　　 B．y＝λx(λ>1) C．y＝－4x D．y＝aa＋2(a>0且a≠1) 答案：ACD 2．下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－3)x　　　 B．y＝－2 026x C．y＝3x－1 D．y＝eq \b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2 025)))x 答案：D 3．下列函数是指数函数的有　________　(填序号)． ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝πx；⑤；⑥y＝xx；⑦y＝(2a－1)x(a为常数，a>eq \f(1,2)，且a≠1)．答案：①④⑦ 4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x)，x≥0,\b\lc$\rc$(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x<0，))则f[f(－4)]＝　________　. 答案：4 5．若函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，求a的值．解：由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－5a＋5＝1，,a>0，,a≠1，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4或a＝1，,a>0，,a≠1，))所以a＝4. $

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