第3章 3.2 3.2.2 第1课时 函数奇偶性的概念-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的概念及应用，通过生活中雪花晶体、建筑倒影等对称现象导入，以问题链引导学生从图形对称过渡到函数性质，预习学案结合定义辨析与自测题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过定义法、图象法等多维度判断方法发展数学思维，题型涵盖奇偶性判断、图象补全及参数求解，强化数学语言表达。采用“情境-探究-应用”模式，助力学生提升直观想象和逻辑推理素养，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

3．2．2　奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第三章　函数的概念与性质 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课程标准 素养解读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义 2．能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题 通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养 [情境引入] 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…… [问题1]　上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？ 提示：整个图形对称． [问题2]　哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？ 提示：①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心对称图形． [知识梳理] [知识点]　　 1．偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对I的任意一个x，都有　－x∈I　，且　f(－x)＝f(x)　，则称y＝f(x)为偶函数． (2)偶函数的图象特征：偶函数的图象关于　y轴　对称．反之，图象关于y轴对称的函数一定是　偶　函数． 2．奇函数的定义及图象特征 (1)奇函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对I内的任意一个x，都有　－x∈I　，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数． (2)奇函数的图象特征：奇函数的图象关于　原点　对称．反之，图象关于原点对称的函数一定是　奇　函数． 1.如果函数f(x)具有奇偶性，那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗？ 提示：定义域一定关于原点对称．由函数奇偶性的定义知，若x在定义域内，则－x一定也在定义域内(若－x不在定义域内，则f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称． 2．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？ 提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在x＝0处有意义，于是f(0)＝f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0. [预习自测] 1．下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x4－1 B．f(x)＝x2(－1<x<3) C．f(x)＝x＋eq \f(1,x) D．f(x)＝eq \f(x4,x) 答案：A 2．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象(　　) A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称 答案：C 3．下列图象表示的函数是奇函数的是　________　，是偶函数的是　________　(填序号)． 答案：②④　①③ 判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋eq \f(1,2x)； (2)f(x)＝x2－|x|＋1； (3)f(x)＝eq \f(x,x－1). [思路点拨]　根据奇偶性的定义进行判断． [解]　(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又f(－x)＝－x＋eq \f(1,－2x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2x)))＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1＝x2－|x|＋1＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，显然不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下： ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步． ②验证．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)． ③下结论．若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数． (2)图象法 ①若f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数． ②若f(x)图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数． ③若f(x)图象既关于原点对称，又关于y轴对称，则f(x)既是奇函数，又是偶函数． ④若f(x)的图象既不关于原点对称，又不关于y轴对称，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数． ②奇函数的和、差仍为奇函数． ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数． ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． [变式训练] 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝eq \f(3x,x2＋3)； 解：(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)f(x)的定义域是R， 又∵f(－x)＝eq \f(3－x,－x2＋3)＝－eq \f(3x,x2＋3)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 奇偶函数的图象应用 [例2] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象． (2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间． (3)根据图象写出使y＝f(x)<0的x的取值范围． [思路点拨]　根据奇偶函数图象的特点补全图形． [解]　(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞) (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值范围为(－2，0)∪(0,2)． 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． [变式训练] 2.已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5,0]上的图象． (2)写出使f(x)<0的x的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使f(x)<0的x的取值范围为(－2,0)∪(2,5)． 利用函数的奇偶性求参数 [例3] (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝　________　，b＝　________　. (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝　________　. [思路点拨]　依据奇偶函数的定义求解． [解析]　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝eq \f(1,3). 又函数f(x)＝eq \f(1,3)x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0， 得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. [答案]　(1)eq \f(1,3)　0　(2)0 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解． [变式训练] 3．设函数f(x)＝eq \f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝　________　. 解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即eq \f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq \f(x＋1x＋a,x). 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a ＝x2＋(a＋1)x＋a， 故a＋1＝0，得a＝－1. 答案：－1 4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x>0，,ax2＋x，x<0))是奇函数，则a＝　________　. 解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0， 即(a－1)＋(－1＋1)＝0，故a＝1. 答案：1 1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 答案：B 2．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有(　　) A．f(x)f(－x)＞0　　　 B．f(x)f(－x)＜0 C．f(x)＜f(－x) D．f(x)＞f(－x) 答案：B 3．已知函数f(x)是定义在区间[a－1,2a]上的奇函数，则实数a的值为　________　. 答案：eq \f(1,3) 4．设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为　________　. 答案：(－6，－3)∪(0,3) 5．求证：函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x2)的图象关于y轴对称． 证明：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)2＋eq \f(1,－x2)＝x2＋eq \f(1,x2)＝f(x)． ∴函数y＝f(x)为偶函数． 故函数f(x)＝x2＋eq \f(1,x2)的图象关于y轴对称. $