第2章 2.3 第2课时 一元二次不等式解法的应用-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式解法的应用，涵盖分式不等式同解变形、恒成立问题及实际应用模型。课堂以“1/x > 1是否等价于x < 1”情境引入，衔接已学一元二次不等式知识，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于分题型教学，通过例题与变式训练强化分式不等式转化、恒成立条件分析，结合摩托车利润等实际案例，培养数学运算与逻辑推理素养。学生能提升问题解决能力，教师可借助系统学案优化教学流程。

第2课时　一元二次不等式解法的应用 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第二章　一元二次函数、方程和不等式 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第二章　一元二次函数、方程和不等式 课程标准 素养解读 1.会解简单的分式不等式 2．通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题 3．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以求解 通过求方程组解集，提升数学运算、数学抽象和逻辑推理素养 [情境引入] 不等式eq \f(1,x)>1与x<1等价吗？eq \f(1,x)>1的解集应是什么？ 提示：不等价；{x|0<x<1}． [知识梳理] [知识点一]　一般的分式不等式的同解变形法则　 (1)eq \f(fx,gx)>　0⇔f(x)·g(x)>0　； (2)eq \f(fx,gx)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　fx·gx≤0　，,　gx≠0　；)) (3)eq \f(fx,gx)≥a⇔eq \f(fx－agx,gx)≥0. [知识点二]　一元二次不等式恒成立的情况　 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))； (2)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)). [预习自测] 1．不等式eq \f(x－1,x＋2)<0的解集为(　　) A．{x|x>1} B．{x|x<－2} C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2，或x>1} 答案：C 2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|eq \f(x－2,x)≤0}，则A∩B＝(　　) A．{x|－1≤x<0}　　 B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 答案：B 3．(2025·上海卷)不等式eq \f(x－1,x－3)<0的解集为　______　. 答案：(1,3) 解简单的分式不等式 [例1] 解不等式： (1)eq \f(x2－x－6,x－1)>0；(2)eq \f(2x－1,3－4x)>1. [思路点拨]　(1)eq \f(x2－x－6,x－1)>0⇔(x2－x－6)(x－1)>0. (2)eq \f(2x－1,3－4x)>1⇔eq \f(3x－2,4x－3)<0⇔(3x－2)(4x－3)<0. [解]　(1)原不等式等价于 ⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－6>0,x－1>0))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－x－6<0,x－1<0)). 解得x>3或－2<x<1. ∴原不等式的解集为{x|x>3，或－2<x<1}． (2)原不等式可化为eq \f(2x－1,3－4x)－1>0，即eq \f(3x－2,4x－3)<0，等价于(3x－2)(4x－3)<0， ∴eq \f(2,3)<x<eq \f(3,4). ∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,3)<x<\f(3,4))). 解分式不等式的策略 (1)对于形如eq \f(fx,gx)>0(<0)的不等式可等价转化为f(x)g(x)>0(<0)来解决；对于形如eq \f(fx,gx)≥0(≤0)的不等式可等价转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx·gx≥0≤0,gx≠0))，来解决． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． [变式训练] 1．(1)若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式eq \f(ax＋b,x－2)＞0的解集为(　　) A．{x|x＜－2或x＞1} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜－1或x＞2} D．{x|－2＜x＜－1} (2)关于x的不等式eq \f(x－a,x＋1)>0的解集为{x|x<－1，或x>4}，则实数a＝　________　. 解析：(1)因为关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，所以a＝b＞0，所以不等式eq \f(ax＋b,x－2)＞0等价于eq \f(x＋1,x－2)＞0，即(x＋1)(x－2)＞0，解得x＜－1或x＞2.所以关于x的不等式eq \f(ax＋b,x－2)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}． (2)eq \f(x－a,x＋1)>0⇔(x＋1)(x－a)>0， 又因为原不等式的解集为{x|x<－1，或x>4}， 所以(x＋1)(x－4)>0，所以a＝4. 答案：(1)C　(2)4 一元二次不等式的实际应用 [例2] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价一投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [思路点拨]　年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．所以y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)解不等式． [解]　(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)． (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－1.2－1×1 000>0，,0<x<1，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－60x2＋20x>0，,0<x<1，)) 解不等式组，得0<x<eq \f(1,3)， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,3))). [变式训练] 2．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米． (1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围？ (2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 解：(1)设DN＝x米(x＞0)，BM＝y米(y＞0)，则由△NDC与△NAM相似得eq \f(x,x＋2)＝eq \f(3,3＋y)，整理得y＝eq \f(6,x)， 矩形AMPN的面积S＝AN·AM＝(x＋2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(6,x)))，即S＝3x＋eq \f(12,x)＋12， 当S＞32时，得3x＋eq \f(12,x)＋12＞32， 整理得(3x－2)(x－6)＞0，解得x＞6或x＜eq \f(2,3)， 又x＞0，所以DN的长的范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(2,3)或x＞6)))). (2)x＞0时，3x＋eq \f(12,x)≥2eq \r(3x·\f(12,x))＝12， 当且仅当3x＝eq \f(12,x)，即x＝2时等号成立， 所以S≥12＋12＝24， 所以当DN的长为2米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米． 一元二次不等式的恒成立问题 [例3] 已知函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范围． [思路点拨]　讨论m＝0和m≠0两种情况． [解]　函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0对一切实数x都成立，于是 ①当m＝0时，－1<0恒成立； ②当m≠0时，要使其恒成立， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2－4mm－1<0，))解得m<0. 综上，m的取值范围为{m|m≤0}． 一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))； ②一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；)) ③一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0；)) ④一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.)) [提醒]　当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0.)) (2)在给定区间上的恒成立问题． ①a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.②a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. [变式训练] 3．若∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，则实数a的取值范围为　________　. 解析：∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立． ①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R； ②当1<x≤4时，a≤eq \f(x2－2x＋5,x－1)＝x－1＋eq \f(4,x－1). ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， ∴x－1＋eq \f(4,x－1)≥2eq \r(x－1·\f(4,x－1))＝4(当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时取等号)， ∴a≤4. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}． 答案：{a|a≤4} 1．(2025·全国二卷)不等式eq \f(x－4,x－1)≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1}　　　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} 答案：C 2．2026年12月20日，将迎来澳门回归祖国27周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批澳门回归27周年纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A．{x|10＜x＜20} B．{x|15≤x＜20} C．{x|16＜x＜20} D．{x|15≤x＜25} 答案：B 3．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1<x<m}，则m＝　________　. 答案：2 4．若关于x的不等式是kx2－6kx＋k＋8≥0在R上恒成立，则实数k的取值范围是　________　. 答案：{k|0≤k≤1} 5.爱护环境，从点滴做起，让我们共同守护祖国美丽的蓝天绿水．某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解：设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥eq \f(1,2)×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0，所以0<x≤100. 当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． $