探究与发现 函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数及函数的周期概念与计算，通过复习三角函数周期定义及求法导入，建立新旧知识联系，为新知学习搭建支架。 此资料以“特殊到一般”探究思路，借助视频直观展示参数变化对周期的影响，培养数学眼光，通过猜想与证明深化逻辑推理（数学思维），学生自主推导周期公式提升数学语言表达。实例丰富如视频观察、自主证明，助学生深化理解、培养探究精神，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 探究与发现 函数及函数的周期 教学目标 1. 学生能够理解并掌握函数及函数的周期概念，能够准确计算给定函数的周期. 2. 通过观察、分析、讨论和实验探究的方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，以及数学抽象思维和逻辑推理能力. 3. 激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养合作学习和勇于探索的精神. 教学重难点 教学重点：函数及函数的周期概念及其计算公式. 教学难点：理解周期性的本质，以及如何根据的值确定函数的周期. 教学过程 一、回顾旧知，导入新课 课前学习任务一 复习第五章三角函数全部已学内容，深入体会三角函数对“周而复始”的变化规律（即周期）的刻画，完成以下内容： 1.周期函数的定义 一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个，都有,且 ， 那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. 2.正（余）弦函数是周期函数，(k)都是它的周期，最小正周期是. 3.求下列函数的周期： （1） ； （2）. 解：（1）令，由得R，且的周期为即 ， 于是 ， 所以 ，. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. （2）令，由得R，且的周期为即 ， 于是 ， 所以 ，. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. [设计意图]：数学知识体系具有严密的逻辑性和连贯性，新知识往往是在旧知识的基础上发展而来的. 温习旧知识能够帮助学生建立起新旧知识之间的联系，形成系统化的知识体系. 也可以帮助学生降低对新知识的认知难度，使他们能够更顺利地过渡到新知识的学习. 二、探索新知，深化理解[数学思想：特殊 一般 ] 问题1：函数及函数的周期是多少呢？ 追问1：类比以往研究函数的经验，你认为应该按怎样的思路进行研究？ 提示：数学思想：从特殊到一般. 可以借助函数图像. 首先研究函数（其中，，为常数，且，）的周期. 追问2：从课前任务的例子中，你发现函数（其中，，为常数，且，）的周期与参数，，中的哪一个或者几个有关呢？ （1） ； （2）. 提示：周期变化仅与自变量的系数有关. 借助数学软件制作了一个视频，请学生仔细观察参数A、ω、φ变化时，周期的变化. PPT播放视屏，学生观察. 观察发现，参数A和φ变化时，周期不发生变化；参数ω变化时，周期发生改变，因此周期变化仅与自变量的系数有关. 借助函数图像，我们还可以得到函数f(x)=sinx的周期为2π，函数g(x)=sin2x的周期为π，函数h(x)=的周期为4π. [设计意图]：通过视频和图像展示，直观感受参数变化对函数图像的影响，为后续探究周期性质提供直观依据. 追问3： 如何用自变量的系数表示函数（其中，，为常数，且， ）的周期呢？ =1 =2 = 猜想：函数（其中，，为常数，且，）的周期可表 示为. [设计意图]：通过观察猜想，培养学生的观察能力和推理能力，为后续的理论推导提供思路. 追问4：你能否证明这一猜想？ 数学思想：类比思想 求证：函数（其中，，为常数，且，）的周期为. 证明：令，由得R，且函数的周期为即 ， 于是 ， 所以 ，. 注意到，自变量x增加，函数值就重复出现；并且增加量小于时，函数值不会 重复出现. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. [设计意图]：通过理论推导，加深学生对周期性质的理解，培养学生的逻辑思维能力和数学抽象能力. 做一做：独立研究如何用自变量的系数来表示函数（其中，， 为常数，且，）的周期并证明，然后与同学交流分享. 成果展示：函数（其中，，为常数，且，）的周期为. 证明：令，由得R，且函数的周期为即 ， 于是 ， 所以 ，. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为. [设计意图]：通过学生自己动手写推导过程，再次加深对周期性质的理解，培养学生的数学运算能力. 通过前面的学习，我们知道了函数及（其中，，为常数，且，）的周期为. 追问5: 若求函数及（其中，，为常数，且，）的周期，又该怎么处理呢？ 数学思想：转化与化归思想 函数性质：正弦函数是奇函数；余弦函数为偶函数. 例：（1）求函数，的周期； （2）求函数，的周期. 解：(1)由正弦函数是奇函数可得 ，， 所以周期 (2)由余弦函数是偶函数可得 ，， 所以周期 [设计意图]：通过运用转化与化归思想，学生需要不断地对问题进行观察、分析和推理，寻找问题的内在联系和规律. 这一过程有助于培养学生的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力.同时，学生在解决问题的过程中，也会逐渐掌握一些常用的数学方法和技巧，如等价转化、数与形的转化等，这些方法和技巧对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义. 三、归纳总结，新知生成 结论：函数及（其中，，为常数，且，）的周期为. 根据这个结论，由这类函数的解析式可直接求出函数的周期. 课堂练习 1．设函数,则下列结论正确的是(   ) A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的偶函数 【答案】D 解：∵==∴是最小正周期为的偶函数. 2．若函数的最小正周期不小于，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 解：因为，所以，解得. 四、运用新知，拓展提升 想一想：上述求函数函数，及函数，的 周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期？ 即命题“如果函数的周期是，那么函数的周期是”是否成立？ 解：成立，理由如下： 若函数的周期是，则. 令，则]=. 所以的周期为，即函数的周期是. 命题得证. [设计意图]：将新学知识进行拓展，迁移使用，助于促进学生的知识迁移和创新精神的培养，这种迁移能力的培养将有助于学生在未来的学习和工作中更加灵活地运用数学知识，同时也能够激发他们的创新精神和创造力. 5、 课堂小结 六、课后作业 1. 完成课后作业练习上的内容； 2.思考：是否周期函数都有最小正周期？ 学科网（北京）股份有限公司 $