第一章 空间向量与立体几何（复习讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

该高中数学讲义通过表格化梳理与层级化知识框架构建空间向量与立体几何的系统复习体系，以复习要点和重难点表格明确核心内容，分7个知识点用概念定义、运算律表格及易错提醒呈现知识脉络，突出平面法向量求解等难点与向量运算等重点的内在联系。 讲义亮点在于8大题型分类与“解题技巧+迁移练”模式，如空间向量线性运算（例1）、二面角计算（例8）等题型，结合几何问题代数化方法培养数学思维与数学语言，分层练习（基础达标与能力进阶）支持不同学生提升，助力教师实施精准教学。

第一章 空间向量与立体几何 复习要点 掌握空间向量的概念、运算及坐标表示；理解共线、共面向量定理及空间向量基本定理；能利用向量方法解决线线、线面、面面的位置关系判定，以及空间距离与角的计算问题，实现几何问题的代数化求解。 复习重难点 重点：（1）空间向量的线性运算与数量积运算。 （2）利用直线的方向向量和平面的法向量判定平行与垂直关系。 （3）利用向量公式计算异面直线夹角、线面角及二面角。 难点：（1）平面法向量的求解及其几何意义的理解。 （2）将立体几何图形准确转化为向量语言（建系与坐标化）。 （3）二面角与向量夹角之间的对应关系（锐角/钝角的判断）． 知识点 空间向量的概念及线性运算 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有 的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为 易错提醒：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与 有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 2．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 易错提醒：（1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的 ，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过 使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 . 要点速测 1.已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点 共线与共面向量定理 1．共线向量定理 （1）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的 是存在实数λ，使a＝λb. （2）直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的 ． 规定：零向量与任意向量 ，即对任意向量a，都有0//a. （3）共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 易错提醒：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量定理 （1）共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于 的向量，叫做 ． （2）共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是 有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 3．常用结论 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 要点速测 2.（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 知识点空间向量的数量积及运算律 1.空间两个向量的夹角的定义：已知两个 向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记，注意：共起点找夹角范围：，其中，当，； 或 (为非零向量) 2.空间向量的数量积：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 3.数量积的运算：①，；②(交换律)； ③ (分配律). 4．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们 到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的 ．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的 就是向量a所在直线与平面β所成的角． 要点速测 3.（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 知识点空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对 空间向量p，存在 的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做 ． 2．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都是 ，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 3．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 ． 4．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的 ，上式可简记作a＝(x，y，z)． 5．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 要点速测 4.（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 知识点空间位置关系的向量表示 1.平面法向量的概念：如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2.平面的法向量的求法： 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: ①设向量：设平面的法向量为 ；②选向量：选取两 向量 ③列方程组：由列出方程组； ④解方程组：解方程组 ⑤赋非零值：取其中一个为 （常取)； ⑥得结论：得到平面的一个法向量.1.空间中直线、平面的平行与垂直 3.设直线,的方向向量分别为,,平面,的法向量分别为，，则 ①线线平行：⇔⇔() ②线面平行：⇔⇔ ③面面平行：⇔⇔； ④线线垂直：⇔ ⑤线面垂直：⇔⇔ ⑥面面垂直：⇔⇔ 要点速测 5.（25-26高二下·甘肃平凉·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 知识点用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的 称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 要点速测 6.（25-26高二下·浙江·阶段检测）在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 知识点用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的 为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 要点速测 7.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型1 空间向量及其线性运算 ▌例1 （25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 解题技巧 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． ▌迁移练1-1（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． ▌迁移练1-4（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 题型2 空间向量共线、共面定理 ▌例2 （2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 解题技巧 共线定理应用：核心是寻找实数λ使 a=λb。常用于证明三点共线或线线平行。解题时可通过平移使向量首尾相接，或引入公共点，利用线性运算将向量相互表示。 共面定理应用：前提是找到两个不共线向量，再证第三向量可表示为它们的线性组合。常用于证明四点共面或线面平行。 核心策略：灵活进行向量的分解与合成，结合待定系数法求解参数。 ▌迁移练2-1（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 ▌迁移练2-2（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． ▌迁移练2-3（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 ▌迁移练2-4 （25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． ▌迁移练2-5 （25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 题型3 空间向量数量积及应用 ▌例3 （25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 解题技巧 1. 核心公式 掌握 与坐标运算 的灵活转换。 1. 三大应用 求长度：利用 。 求夹角：利用 。 证垂直：利用 。 1. 解题策略 优先建立空间直角坐标系，将几何问题转化为代数运算，若无法建系，则利用基底法，将目标向量分解后展开计算。 ▌迁移练3-1 （25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. ▌迁移练3-2 （25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 ▌迁移练3-3 （25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． ▌迁移练3-4 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 ▌例4 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 ▌迁移练4-1 （25-26高二下·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 ▌迁移练4-2 （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. ▌迁移练4-2 （25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． ▌迁移练4-3 （25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 题型4 空间向量的平行垂直问题 ▌例5 （25-26高二上·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 ▌迁移练5-1 （25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． ▌迁移练5-2 已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌迁移练5-3 （25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练5-4 （25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 题型5 空间位置关系的向量证明 ▌例6 （25-26高二下·甘肃平凉·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 解题技巧 平行关系：线线平行证方向向量共线；线面平行证方向向量与法向量数量积为0，或方向向量能被平面内两不共线向量线性表示；面面平行证法向量共线。 垂直关系：线线垂直证方向向量数量积为0；线面垂直证方向向量与法向量共线；面面垂直证法向量数量积为0。 核心策略：优先建系求坐标，利用代数运算替代几何推理 ▌迁移练5-1 （25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 ▌迁移练5-2 （25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 ▌迁移练5-3 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练5-4 （多选）（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型6 投影向量 ▌例7 （25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 核心公式：向量在上的投影向量为. 求解步骤：先算两向量数量积，再除以目标向量模的平方，最后乘上目标向量。 核心策略：牢记结果必与目标向量共线，可直接套用坐标公式快速计算。 ▌迁移练7-1 （25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2 （25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． ▌迁移练7-3 （25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． ▌迁移练7-4 （25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 题型7 空间角问题 ▌例8 （多选）（25-26高二下·河南濮阳·期末）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 解题技巧 异面直线角：平移构造相交直线，或利用方向向量求夹角余弦的绝对值。 线面角：找斜线在面内的射影，或利用方向向量与法向量夹角的余角（取正弦值）。 二面角：作垂直于棱的平面角，或求两平面法向量夹角（需结合图形判断锐钝）。 核心策略：优先建立空间直角坐标系，将几何问题转化为向量代数运算，注意各类角的取值范围。 ▌迁移练8-1 （25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练8-2 （多选）（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 ▌迁移练8-3 （25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． ▌迁移练8-4 （25-26高二下·西藏昌都·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小． ▌迁移练8-5 （25-26高二下·河南·阶段检测）如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2． (1)设为的中点，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 题型8 空间距离问题 ▌例9 （多选）（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 解题技巧 1. 核心转化：将线面距、面面距及异面直线距统一转化为点到平面的距离，本质为斜线段向量在法向量方向的投影。 1. 通用公式：设 为面外点， 为面内点， 为法向量，则 。 1. 分类应用： 点线距：利用方向向量 ，。 平行关系：线面平行或面面平行时，直接取点套用点面距公式。 异面直线：求公垂向量 （垂直于两方向向量），代入公式计算。 1. 解题流程：建系求坐标 求法向量 代入公式求解。 ▌迁移练9-1 （25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练9-2 （25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练9-3 （25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． ▌迁移练9-4 （25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 难点一 空间向量中的最值问题 1、基本类型 （1）数量积的最值范围：常考查动点在线段或面上运动时，两向量数量积的取值范围。 （2）空间角的最值范围：包括异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的极值问题。 （3）长度与距离的最值：涉及动点间距离、点到平面距离或线段长度的最小值求解。 （4）体积的最值范围：探讨动点位置变化时，棱锥等几何体体积的最大值，或当体积取最值时求解其他空间量。 2、求解策略 （1）建立函数法（代数法）：这是最通用的策略。通过建立合适的空间直角坐标系，将几何问题转化为代数问题。引入参数（如动点坐标或比例系数），建立所求目标量（如距离、夹角余弦值）关于参数的目标函数。随后利用一次函数的端点法、二次函数的配方法或三角函数的有界性来求解最值。 （2）几何特征法（几何法）：充分利用几何体的结构特征与公理定理。例如，利用“两点之间线段最短”、“异面直线的公垂线段最短”等性质，将动态问题转化为静态的几何直观判断。 （3）展开图法（平面化）：针对求几何体表面动点间折线段长度最值的问题，可将几何体表面展开为平面图形。在平面展开图中，利用“两点之间线段最短”的原理，将空间折线转化为平面直线段进行直观求解。 （4）变量分析法：透过现象看本质，透彻分析几何体中点、线、面的“动”与“静”的关系。明确变量之间的相互制约关系，从而将复杂的空间最值问题转化为求特定线段或角的最值问题。 难点精练 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 4．（25-26高二上·上海浦东新·期末）三棱锥中，，以下选项中不正确的是（    ）    A．面积最大值为 B．面积没有最大值 C．三棱锥体积最大值为 D．异面直线与所成的角可能等于 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为 7．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期末）在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（    ） A．的最小值是 B．正方体内切球的表面积为 C．当时，的最小值为 D．当取得最小值时，四棱锥的体积为 8．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 9．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点，重合）. (1)当三棱锥体积最大时， （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求的最小值. (2)是否存在点，使得直线与平面所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值；若不存在，请说明理由. 难点二 空间中的轨迹问题 1.常见动点轨迹类型 （1）等距（定距）型：动点保持到定点、定直线或定平面的距离为定值，或到两定点、两直线的距离相等。其轨迹通常为球面、圆柱面或中垂面。 （2）平行与垂直型：动点运动时，保持与定直线或定平面的平行、垂直关系。其轨迹通常为直线或平面。 （3）定角型：动点与定点连线保持与定直线或定平面成定角。此类轨迹常涉及圆锥曲线的空间推广，如圆锥面被平面所截产生的圆、椭圆、抛物线或双曲线。 （4）比例型（阿波罗尼斯型）：动点到两定点的距离之比为定值，其轨迹为阿波罗尼斯球面。 2.核心求解策略 定义法（几何法）：直接根据题目给出的几何条件，结合空间几何性质与定理，判断动点符合哪种已知曲线或曲面的定义。这种方法直观且计算量小，适用于几何特征明显的题目。 交轨法（截面法）：将动点视为两个运动轨迹（如两个曲面，或一个曲面与一个平面）的交点。通过寻找这两个轨迹的交线，从而确定动点的最终轨迹。 坐标法（代数法）：这是最通用、最严谨的策略。首先建立合适的空间直角坐标系，设出动点的坐标；然后将几何条件（如距离、垂直、夹角等）转化为代数方程；最后通过化简方程，得出轨迹的解析式，进而判断轨迹的形状。 掌握“先定性（判断轨迹类型），后定量（建系求方程）”的原则，是解决空间动点轨迹问题的关键 难点精练 1．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·二轮复习）在长方体中，，动点在表面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 3．（25-26高二上·湖南·期末）如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内（不包含边界）的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（   ） A．B．C．D． 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 5．（多选）（2026高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．若平面，则点的轨迹的长度为 C．若，则点是的中点 D．若，则点的轨迹的长度为 6．（多选）（25-26高二上·山东菏泽·期末）在长方体中，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则（    ） A．若点到点与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线 B．若与平面所成的角为，则动点的轨迹为圆 C．若三棱柱的侧面积为定值，则动点的轨迹为椭圆（除与直线交点外） D．若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线 7．（25-26高二上·四川泸州·期末）斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______. 8．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为__________. 基础达标 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 5．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河北邢台·二模）如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 10．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（     ）    A．在棱上不存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．与平面不垂直. 三、填空题 11．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 12．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 13．（2026·上海浦东新·三模）已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 四、解答题 14．（25-26高二下·福建福州·期末）已知正方体中，若为棱上的动点． (1)求证：； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积； (3)为棱的中点时，求平面和平面所成角的大小． 15．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 能力进阶 1．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二下·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．（多选）（25-26高二下·河南平顶山·期末）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（     ） A．直线和所成的角为 B．三棱锥的体积为定值 C．二面角的平面角的大小为 D．点满足，，，若，则平面 6．（多选）（25-26高二上·湖北孝感·期末）空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（    ） A．若直线的方程为，则点在直线上 B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C．已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 7．（25-26高二下·河南信阳·期末）在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 8．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 9．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 复习要点 掌握空间向量的概念、运算及坐标表示；理解共线、共面向量定理及空间向量基本定理；能利用向量方法解决线线、线面、面面的位置关系判定，以及空间距离与角的计算问题，实现几何问题的代数化求解。 复习重难点 重点：（1）空间向量的线性运算与数量积运算。 （2）利用直线的方向向量和平面的法向量判定平行与垂直关系。 （3）利用向量公式计算异面直线夹角、线面角及二面角。 难点：（1）平面法向量的求解及其几何意义的理解。 （2）将立体几何图形准确转化为向量语言（建系与坐标化）。 （3）二面角与向量夹角之间的对应关系（锐角/钝角的判断）． 知识点 空间向量的概念及线性运算 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 易错提醒：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 2．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 易错提醒：（1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 要点速测 1.已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 知识点 共线与共面向量定理 1．共线向量定理 （1）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. （2）直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. （3）共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 易错提醒：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量定理 （1）共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． （2）共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 3．常用结论 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 要点速测 2.（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 知识点空间向量的数量积及运算律 1.空间两个向量的夹角的定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记，注意：共起点找夹角范围：，其中，当，； 或 (为非零向量) 2.空间向量的数量积：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 3.数量积的运算：①，；②(交换律)； ③ (分配律). 4．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 要点速测 3.（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， . 知识点空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 3．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 4．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 5．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 要点速测 4.（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 知识点空间位置关系的向量表示 1.平面法向量的概念：如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2.平面的法向量的求法： 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: ①设向量：设平面的法向量为 ；②选向量：选取两不共线向量 ③列方程组：由列出方程组； ④解方程组：解方程组 ⑤赋非零值：取其中一个为非零值（常取)； ⑥得结论：得到平面的一个法向量.1.空间中直线、平面的平行与垂直 3.设直线,的方向向量分别为,,平面,的法向量分别为，，则 ①线线平行：⇔⇔() ②线面平行：⇔⇔ ③面面平行：⇔⇔； ④线线垂直：⇔ ⑤线面垂直：⇔⇔ ⑥面面垂直：⇔⇔ 要点速测 5.（25-26高二下·甘肃平凉·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 【答案】B 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 知识点用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 要点速测 6.（25-26高二下·浙江·阶段检测）在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1，利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值；法2，建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角余弦值得到二面角的余弦值. 【详解】法1：长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 法2：在长方体中，以为原点， 分别以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 设侧棱，结合已知，， 得，，，， 而二面角的两个半平面为面和面， 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，得； 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，，即， 该二面角为锐角，设为，则. 知识点用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 要点速测 7.（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 题型1 空间向量及其线性运算 ▌例1 （25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 解题技巧 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． ▌迁移练1-1（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ▌迁移练1-2（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． ▌迁移练1-3（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. ▌迁移练1-4（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 题型2 空间向量共线、共面定理 ▌例2 （2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③. 【详解】对于①，当向量、同向时，，则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在使成立，②错误； 对于③，若四点共面，则存在唯一的使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误. 解题技巧 共线定理应用：核心是寻找实数λ使 a=λb。常用于证明三点共线或线线平行。解题时可通过平移使向量首尾相接，或引入公共点，利用线性运算将向量相互表示。 共面定理应用：前提是找到两个不共线向量，再证第三向量可表示为它们的线性组合。常用于证明四点共面或线面平行。 核心策略：灵活进行向量的分解与合成，结合待定系数法求解参数。 ▌迁移练2-1（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. ▌迁移练2-2（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. ▌迁移练2-3（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. ▌迁移练2-4 （25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． ▌迁移练2-5 （25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 题型3 空间向量数量积及应用 ▌例3 （25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 解题技巧 1. 核心公式 掌握 与坐标运算 的灵活转换。 1. 三大应用 求长度：利用 。 求夹角：利用 。 证垂直：利用 。 1. 解题策略 优先建立空间直角坐标系，将几何问题转化为代数运算，若无法建系，则利用基底法，将目标向量分解后展开计算。 ▌迁移练3-1 （25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， ▌迁移练3-2 （25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． ▌迁移练3-3 （25-26高二下·江苏泰州·期末）在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . ▌迁移练3-4 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. ▌例4 （25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，所以. ▌迁移练4-1 （25-26高二下·福建漳州·期末）已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． ▌迁移练4-2 （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. ▌迁移练4-2 （25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积计算公式即可求解． 【详解】如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 则当时取得最小值，此时最小值为． ▌迁移练4-3 （25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据空间向量的模长公式求出点的轨迹方程，设，，，结合空间向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， 则，， 所以， 则， 整理可得， 不妨设，，， ，， 所以 ， 当或时，取最大值， 当或时，取最小值. 综上所述，的取值范围是. 题型4 空间向量的平行垂直问题 ▌例5 （25-26高二上·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. ▌迁移练5-1 （25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解. 【详解】因为，所以，所以，，所以． ▌迁移练5-2 已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因，则， 又，且，则＝＝，解得． ▌迁移练5-3 （25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. ▌迁移练5-4 （25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 题型5 空间位置关系的向量证明 ▌例6 （25-26高二下·甘肃平凉·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 【答案】B 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 解题技巧 平行关系：线线平行证方向向量共线；线面平行证方向向量与法向量数量积为0，或方向向量能被平面内两不共线向量线性表示；面面平行证法向量共线。 垂直关系：线线垂直证方向向量数量积为0；线面垂直证方向向量与法向量共线；面面垂直证法向量数量积为0。 核心策略：优先建系求坐标，利用代数运算替代几何推理 ▌迁移练5-1 （25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据空间两直线所成角，以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：若两条直线的方向向量​​，说明方向向量夹角为， 因此两直线所成角为，可得，充分性成立， 必要性：若，说明两直线所成角为，即方向向量夹角为， 因此，必要性成立， 因此“​​”是“”的充分必要条件. ▌迁移练5-2 （25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. ▌迁移练5-3 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. ▌迁移练5-4 （多选）（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 题型6 投影向量 ▌例7 （25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 解题技巧 核心公式：向量在上的投影向量为. 求解步骤：先算两向量数量积，再除以目标向量模的平方，最后乘上目标向量。 核心策略：牢记结果必与目标向量共线，可直接套用坐标公式快速计算。 ▌迁移练7-1 （25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B ▌迁移练7-2 （25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的计算公式求解出结果. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. ▌迁移练7-3 （25-26高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值. 【详解】，， ， ， 在上的投影向量为， 所以，. ▌迁移练7-4 （25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 题型7 空间角问题 ▌例8 （多选）（25-26高二下·河南濮阳·期末）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】若中点为，根据已知并应用线面、面面垂直的判定定理证明平面平面判断A，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求线面角、异面直线所成角、面面角的正余弦值判断B、C、D. 【详解】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由为中点，即，为中点，即， 由，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 由，， 则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故， 又平面法向量， 则，故D正确. 解题技巧 异面直线角：平移构造相交直线，或利用方向向量求夹角余弦的绝对值。 线面角：找斜线在面内的射影，或利用方向向量与法向量夹角的余角（取正弦值）。 二面角：作垂直于棱的平面角，或求两平面法向量夹角（需结合图形判断锐钝）。 核心策略：优先建立空间直角坐标系，将几何问题转化为向量代数运算，注意各类角的取值范围。 ▌迁移练8-1 （25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. ▌迁移练8-2 （多选）（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．异面直线EF与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 【答案】BC 【分析】如图建立以D为原点的空间直角坐标系，然后以空间向量知识结合选项可得答案. 【详解】如图建立以D为原点的空间直角坐标系. 对于A，，，，，从而，， ，则不与垂直，故A错误； 对于B，，则，从而异面直线EF与所成角余弦值为，故B正确； 对于C，，其中表示到平面距离，由题可得为，从而，故C正确； 对于D，易得平面的法向量可取，则直线EF与平面ABCD所成角正弦值为，故D错误. ▌迁移练8-3 （25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．    (1)证明：平面平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为侧面是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设直线与平面所成的角为θ， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 方法二：设与的交点为O，连接OB，    因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线， 则即为直线与平面所成的角． 因为，四边形是正方形，所以，． 又， 所以，． 所以． 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． ▌迁移练8-4 （25-26高二下·西藏昌都·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1)因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 底面ABCD为正方形，，，平面PBD，平面PBD， 所以平面PBD，平面PBD，所以， 平面ABCD，平面ABCD，所以， 在中，，，又点E为线段PO中点，所以， 因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图所示，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 则，，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，则，所以． 由（1）可知，为平面PAC的法向量， 设平面PAC与平面PBC夹角为，则， 又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为． ▌迁移练8-5 （25-26高二下·河南·阶段检测）如图1，在平面四边形中，是以为斜边的等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形．现将沿翻折至的位置，使得，如图2． (1)设为的中点，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)因为为的中点，是边长为2的等边三角形，所以，且. 如图，连接，在等腰中，，又， 满足，所以，即. 又，且平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2） 由(1)知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则 因为平面位于平面内，易知平面的一个法向量为 又. 设平面的法向量为，则， 得，令，得， 即平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为. 因为， ， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 题型8 空间距离问题 ▌例9 （多选）（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的坐标表示判断A，利用空间向量法求点到直线的距离判断B，求出平面的法向量，利用空间向量法求点到平面的距离判断C，利用投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：因为 ，，所以 ， 又，则， ，， 所以点到直线的距离为 ，故B错误； 对于C：因为，，， 设平面的法向量为， 则，取，则点到平面的距离 ，故C正确； 对于D：因为，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 解题技巧 1. 核心转化：将线面距、面面距及异面直线距统一转化为点到平面的距离，本质为斜线段向量在法向量方向的投影。 1. 通用公式：设 为面外点， 为面内点， 为法向量，则 。 1. 分类应用： 点线距：利用方向向量 ，。 平行关系：线面平行或面面平行时，直接取点套用点面距公式。 异面直线：求公垂向量 （垂直于两方向向量），代入公式计算。 1. 解题流程：建系求坐标 求法向量 代入公式求解。 ▌迁移练9-1 （25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. ▌迁移练9-2 （25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. ▌迁移练9-3 （25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． ▌迁移练9-4 （25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 平面，平面，平面 且，四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面平面． (2) 【分析】（1）直接根据面面平行的判定定理可得； （2）直接用向量方法计算面面间的距离可得. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以. 又因为底面是正方形，所以. 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量是， 则，， 取，得，，则． 所以点到平面的距离为. 故平面与平面之间的距离为． 难点一 空间向量中的最值问题 1、基本类型 （1）数量积的最值范围：常考查动点在线段或面上运动时，两向量数量积的取值范围。 （2）空间角的最值范围：包括异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的极值问题。 （3）长度与距离的最值：涉及动点间距离、点到平面距离或线段长度的最小值求解。 （4）体积的最值范围：探讨动点位置变化时，棱锥等几何体体积的最大值，或当体积取最值时求解其他空间量。 2、求解策略 （1）建立函数法（代数法）：这是最通用的策略。通过建立合适的空间直角坐标系，将几何问题转化为代数问题。引入参数（如动点坐标或比例系数），建立所求目标量（如距离、夹角余弦值）关于参数的目标函数。随后利用一次函数的端点法、二次函数的配方法或三角函数的有界性来求解最值。 （2）几何特征法（几何法）：充分利用几何体的结构特征与公理定理。例如，利用“两点之间线段最短”、“异面直线的公垂线段最短”等性质，将动态问题转化为静态的几何直观判断。 （3）展开图法（平面化）：针对求几何体表面动点间折线段长度最值的问题，可将几何体表面展开为平面图形。在平面展开图中，利用“两点之间线段最短”的原理，将空间折线转化为平面直线段进行直观求解。 （4）变量分析法：透过现象看本质，透彻分析几何体中点、线、面的“动”与“静”的关系。明确变量之间的相互制约关系，从而将复杂的空间最值问题转化为求特定线段或角的最值问题。 难点精练 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 2．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，设，求出点P的轨迹结合二次函数最值运算求解即可. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，    则， 设，则， 因为，则，即， 所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B. 3．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的定义和坐标运算可得，再结合即可得出，最后利用夹角公式求最值. 【详解】由题可知①， 又②，①②联立， 结合，得，. 因为， 所以当时，取得最大值为. 故选：A 4．（25-26高二上·上海浦东新·期末）三棱锥中，，以下选项中不正确的是（    ）    A．面积最大值为 B．面积没有最大值 C．三棱锥体积最大值为 D．异面直线与所成的角可能等于 【答案】D 【分析】这个三棱锥可以看成一个二面角.选项A、C根据图象来看，面面时，可以取得最大值；选项B，当二面角的平面角最大为时，面积最大，但A、B、C、D共面，不符；选项D，建立平面直角坐标系，假设成立，利用坐标和代数运算相等，找出矛盾即可. 【详解】在三棱锥中：因为，， 所以和均为直角三角形，且为直角. 选项A：的面积， 的最大值为1（当时）， 所以面积最大值为，选项A正确； 选项B：的面积， 因为且， 当“二面角”的平面角为0时，； 当“二面角”的平面角为时，， 所以，所以， 因此：，因为A、B、C、D不共面， 所以无限接近，但不等于，也就没有最大值，所以选项B正确； 选项C：以为底面，； 到底面的距离为高，要使体积最大，则需面面， ， 所以体积最大值，所以选项C正确； 选项D：如下图建立空间直角坐标系，以中点为原点， 则，，，，且； 所以得，， ； 若，则有，或 当时，，A、B、C、D共面，不符合； 当时，，又， 所以，不可能， 因此没有满足条件的D点. 所以选项D错误.    故选：D. 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 6．（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】对于A，，平面，平面， 平面，点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，，∴， 此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，， 则，，设平面的法向量， 设平面的法向量， ， 则，即， 令，则，则得， 面与平面所成夹角为， 所以， 因为，，所以，， 所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C正确； 对于D，则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当或1时，直线与平面所成角的正弦值的最小值为，D错误 7．（多选）（25-26高二下·河北邯郸·期末）在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（    ） A．的最小值是 B．正方体内切球的表面积为 C．当时，的最小值为 D．当取得最小值时，四棱锥的体积为 【答案】ABD 【分析】对于A，作关于底面的对称点，连接交平面于点，可得的最小值为，利用勾股定理即可求解；对于B，由正方体内切球的半径为棱长的一半即可求解；对于C，先判断点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆弧，作点在平面的投影，可得的轨迹为以为圆心，半径为的圆弧，利用点与圆的位置关系即可求得的最小值；对于D，利用A项结论求出到平面的距离，结合四棱锥体积公式求解即可. 【详解】对于A，作关于底面的对称点，连接，交平面于点，此时易得,则取得最小值， 由于，,则,故A正确；    对于B，因正方体内切球的半径为正方体边长的一半，即, 所以其表面积为,故B正确； 对于C，连接,因平面,平面,则， 当时，,即点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆在正方形内的圆弧， 设点是点在平面上的投影，则的轨迹为以为圆心，半径为的圆弧， 所以， 由点与圆的位置关系可知，， 当最小时，则最小，即，故C错误；    对于D，由A选项可知，因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，则,即点为的中点， 由于点到平面的距离为，点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为， 则四棱锥的体积为,故D正确.    8．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 9．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点，重合）. (1)当三棱锥体积最大时， （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求的最小值. (2)是否存在点，使得直线与平面所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)存在， 【分析】（1）（i）建系，求得平面法向量代入夹角公式即可求解；（ii）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接，结合余弦定理即可求解； （2）过点作，确定为直线与平面所成角，取最小值，夹角最大，结合线面夹角公式即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）∵， 又∵是定值，∴当三棱锥体积最大时即高最大， 即点为半圆弧的中点 设线段的中点为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为． 则，则，令，得，， 则． 因为平面，平面，∴， 又∵，，，平面， ∴平面，是平面的法向量． 设平面与平面所成角的平面角为，则． 平面与平面所成角的余弦值为 （ⅱ）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接， 如图所示，此时最小，即为长， 由题意可知，，， 所以， ， 再由余弦定理可知， 即的最小值为． （2）结合（1）可设，，， 所以， 平面的法向量为， 设为直线与平面所成角， 当直线与平面所成角最大时，取最大值， 令， 则，     ∴当且仅当时，取最大值，此时直线与平面所成角最大， 即存在点，使得直线与平面所成角最大． 难点二 空间中的轨迹问题 1.常见动点轨迹类型 （1）等距（定距）型：动点保持到定点、定直线或定平面的距离为定值，或到两定点、两直线的距离相等。其轨迹通常为球面、圆柱面或中垂面。 （2）平行与垂直型：动点运动时，保持与定直线或定平面的平行、垂直关系。其轨迹通常为直线或平面。 （3）定角型：动点与定点连线保持与定直线或定平面成定角。此类轨迹常涉及圆锥曲线的空间推广，如圆锥面被平面所截产生的圆、椭圆、抛物线或双曲线。 （4）比例型（阿波罗尼斯型）：动点到两定点的距离之比为定值，其轨迹为阿波罗尼斯球面。 2.核心求解策略 定义法（几何法）：直接根据题目给出的几何条件，结合空间几何性质与定理，判断动点符合哪种已知曲线或曲面的定义。这种方法直观且计算量小，适用于几何特征明显的题目。 交轨法（截面法）：将动点视为两个运动轨迹（如两个曲面，或一个曲面与一个平面）的交点。通过寻找这两个轨迹的交线，从而确定动点的最终轨迹。 坐标法（代数法）：这是最通用、最严谨的策略。首先建立合适的空间直角坐标系，设出动点的坐标；然后将几何条件（如距离、垂直、夹角等）转化为代数方程；最后通过化简方程，得出轨迹的解析式，进而判断轨迹的形状。 掌握“先定性（判断轨迹类型），后定量（建系求方程）”的原则，是解决空间动点轨迹问题的关键 难点精练 1．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面平行，可知直线的方向向量与平面的法向量垂直，确定动点坐标之间的联系，从而找到过点且与平面平行的平面，与平面的交线即为动点的轨迹，最后计算轨迹线段长度即可. 【详解】解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面的法向量，则，所以， 则，取，则，，所以. 由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则， 因为平面，所以，则，即，整理得， 当时，，此时，为中点； 当时，，此时，为中点， 连接，不难发现，，且，， 易证，平面平面，所以点的轨迹为线段， 因此，轨迹长. 2．（25-26高三·全国·二轮复习）在长方体中，，动点在表面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由结合空间数量积的坐标运算化简得出点的轨迹方程，即可得出结论. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，设点， 则，， ，化简得， 因为，故，故, 此时，所以动点的轨迹方程为抛物线的一部分. 故选：D. 3．（25-26高二上·湖南·期末）如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内（不包含边界）的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】方法一：取中点，由推得，得在平面内轨迹为以为直径的圆弧． 方法二：建立空间直角坐标系,设坐标，由化简得出的轨迹方程即可判断. 【详解】方法一：如图：取中点，连接，由可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面，所以，又因为， 所以平面，所以，在平面内轨迹为以为直径的圆弧． 方法二：由方法一，平面，作， 故可以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨取，则，则，． 由点在平面内，可设，因为，所以，，， 即化简得：得：． 所以，在平面内一个以为圆心，为半径的圆弧上， 所以点在正方形内（不包含边界）的轨迹为， 故选：C． 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（   ）. A．若点总满足，则动点的轨迹是圆 B．若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C．若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D．若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 【答案】D 【分析】选项A：由题意可得动点的轨迹是直线，即可判断；建立空间坐标系，利用空间向量逐一判断B，C，D. 【详解】选项A：空间中满足的点的轨迹是一个平面， 该平面与侧面的交集为一条直线, 所以动点的轨迹是直线，故A错误； 选项B：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 易知平面的一个法向量， 设，则， 设平面的一个法向量， 则 不妨令，则，则， 因为的二面角的大小为 则，即，解得， 所以，即动点的轨迹是一条直线，故B错误； 选项C：因为， 且直线与直线所成的角的大小为， 所以， 即， 整理得：， 此方程不表示抛物线，故C错误； 选项D：设点到直线的距离为，到直线的距离为， 则有，即， 所以， 所以动点的轨迹为双曲线，故D正确. 5．（多选）（2026高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．若平面，则点的轨迹的长度为 C．若，则点是的中点 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【分析】选项A：把平面与平面展开成一个矩形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理求展开后与距离，得最小值．选项B：先证明平面平面，由线面平行性质可知，平面时，轨迹是线段，再用勾股定理求其长度．选项C：建立空间直角坐标系，得到向量与，根据向量垂直时数量积为0列方程求解点位置，判断不是中点．选项D：设坐标，根据空间两点距离公式列方程，得到轨迹方程，确定其轨迹是圆，用圆周长公式求轨迹长度． 【详解】将平面与平面展开在一个平面上， 此时的最小值为展开后与两点间的距离． 展开后得到一个矩形，矩形的两边长分别为和． 根据勾股定理，则，所以的最小值为，故A正确． 因为，，，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，平面， 所以平面平面，若平面，则点的轨迹是线段． 在正方形中，边长为，根据勾股定理可得， 即点的轨迹长度为，故B正确． 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，设，． ，． 因为，所以， 即，解得，所以不是的中点，故C错误． 设，，，已知，由， 根据空间两点间距离公式可得：， 即（，）． 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 根据圆的周长公式，则点的轨迹长度为，故D正确． 6．（多选）（25-26高二上·山东菏泽·期末）在长方体中，为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则（    ） A．若点到点与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线 B．若与平面所成的角为，则动点的轨迹为圆 C．若三棱柱的侧面积为定值，则动点的轨迹为椭圆（除与直线交点外） D．若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，并设点，再利用空间角及距离运算求出轨迹方程判断ACD；利用柱体侧面积公式，结合椭圆的定义判断B. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则， 对于A，由点到点与到直线的距离相等，得，解得， 动点的轨迹为平面内垂直于轴，且与轴距离为3的两条直线，A错误； 对于B，，平面的法向量，由与平面所成的角为， 得，整理得，动点的轨迹为圆，B正确； 对于C，三棱柱的侧面积为定值， 则为定值，且，因此动点的轨迹是以为焦点， 长轴长为4的椭圆（除与直线交点外），C正确； 对于D，，由与所成的角为， 得， 整理得，因此动点的轨迹为双曲线，D正确. 故选：BCD 7．（25-26高二上·四川泸州·期末）斜三棱柱中，，，，，动点在侧面上，且，则的轨迹长度为______. 【答案】 【分析】建系并标点，设，根据数量积和模长可得，求平面的法向量和点在平面的投影为，可得，，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得结果. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 由题意可知：， 则，解得， 即，则，， 可得， 注意到，则，可知为矩形， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设点在平面的投影为， 则，，， 因为，则，解得， 即，则， 可得，， 又因为，， 则，且， 可得点到直线，，，的距离分别为，均大于1， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以的轨迹长度为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为__________. 【答案】 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，设，根据题意，求得点的轨迹为一个球面，求得球心到平面的距离，结合截面圆的性质，得到截面圆的半径为，即可求解. 【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，设为的中心， 可得平面，且， 则， 设，因为， 可得， 整理得， 即点的轨迹为以为球心，半径为的球面， 则球心到平面的距离为，即球心到平面的距离为， 又由截面圆的性质，可得截面圆的半径为， 所以截面圆的周长为. 故答案为：. 基础达标 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 2．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 3．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 4．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 5．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 6．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 7．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 8．（2026·河北邢台·二模）如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由圆柱侧面积公式求出底面半径，再利用线段差求出，借助勾股定理算出；接着以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标；然后通过平面法向量的方程组求得平面的法向量，最后利用线面角与向量夹角的关系，代入公式算出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】设圆柱的底面半径为，则其侧面积，解得. 连接，则， 所以，易知， 所以. 以为坐标原点，平面内过点且与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 二、多选题 9．（25-26高二下·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 10．（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（     ）    A．在棱上不存在点M，使平面 B．异面直线与所成的角为 C．二面角的大小为 D．与平面不垂直. 【答案】BCD 【分析】取中点E，连接，，由题意证明线面垂直，即平面，建立空间直角坐标系，对于A选项，假设平面，设，由，求解即可；对于B选项，求，，由即可求解；对于C选项，分别求解平面与平面法向量，由此求解即可；对于D选项，由即可求解. 【详解】取中点E，连接，，因为为等边三角形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面，因为平面，所以， 因为底面为菱形，，所以， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，    则令，则有，， 则有，，，，，， 对于A选项，令，若平面，则有， ， 则，，，则有， 即点为AD中点时，有平面，故A错误； 对于B选项，，，因为，则， 则异面直线与所成的角为，故B正确； 对于C选项，平面的法向量为，则平面的法向量为， 则，，则有， 即，令，则有，，故， 故，故二面角的大小为，故C正确； 对于D选项，，，因为， 所以与不垂直，故与平面不垂直，故D正确. 三、填空题 11．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 12．（25-26高二下·江苏·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________． 【答案】 【详解】在直三棱柱中，平面，且，所以两两垂直， 因此，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意，可知， 又因为是的中点，所以的坐标为， 点满足，所以， 所以的坐标为， 从而． 13．（2026·上海浦东新·三模）已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求数量积后可得结论. 【详解】以为轴，为轴，底面上与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设圆锥的高为， 则，设，则， ，由得， 所以的取值范围为    四、解答题 14．（25-26高二下·福建福州·期末）已知正方体中，若为棱上的动点． (1)求证：； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积； (3)为棱的中点时，求平面和平面所成角的大小． 【答案】(1)解法一：连接，设，如图所示： 因为底面，且底面，所以， 又因为底面为正方形，所以，且 所以平面， 因为平面，所以． 解法二：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 设， 则， 因为，所以，即. (2) (3) 【分析】（1）方法一：利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）利用锥体体积公式和等体积法求解； （3）方法一：利用二面角的定义求解；方法二：利用向量法求二面角即可. 【详解】（1）略 （2）因为底面，所以， 无论在棱上的任何位置，可得， 所以． （3）解法一：连接，如图所示： 当是棱的中点时，， 又因为是的中点，所以，， 所以为平面和平面所成角（或其补角）． 在正方体中，设棱长为， 因为是棱的中点，由平面几何知识，得， 所以，即， 所以平面和平面所成角的大小为． 解法二：由（1）方法二以及为棱上的中点得： ，， 设平面的法向量为：， 由，令，解得：，所以， 设平面的法向量为：， 由，令，解得：，所以， 由，可得，即， 所以平面平面 所以平面和平面所成角的大小为． 15．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)解法一：以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以， 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以， 所以． 又因为，，，平面，且， 所以平面． 所以为平面的法向量 ， 因为，且平面， 所以平面． 解法二：因为，设的中点为，连接，则， 所以在正方形中，，且平面，平面， 所以平面． 又因为为棱的中点，为中点，连接，则， 且平面，平面，所以平面， 因为，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而证明出线面平行； 解法二；证明出面面平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角正弦公式进行求解； （3）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解 【详解】（1）略 （2）以为原点，建立如图空间直角坐标系． 则，，，，，． 因为为棱的中点，所以． 因为为侧面内的一点，且，所以可设，． 因为，所以． 所以，所以            在正方体中，平面， 所以是平面的一个法向量，          又因为，设与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为，． 设平面的法向量为， 则，令可得， 所以． 所以点到平面的距离为． 能力进阶 1．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 2．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，均与曲池的底面垂直，且，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立空间直角坐标系，确定各点坐标，并计算向量，再计算向量的数量积与模长，最后利用向量的点积公式计算异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，如图， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 因为， ， ， 所以， 又异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．（2026高二下·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先选择恰当的空间基底，用基底向量表示相关向量，再利用向量数量积公式计算异面直线所成角的余弦值，将几何问题转化为代数问题，再结合函数单调性求角度的最小值. 【详解】设，，，则， ，， ，. 因为点为棱上动点，设，， 则，， ， ，则， ， ，， 设异面直线与所成角为，则， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为， 即异面直线与所成角的最小值为. 4．（多选）（25-26高二下·河南平顶山·期末）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再设，到平面的距离为，从而找出所需点的坐标，从而得到所需向量的坐标，进而根据空间向量平行，及垂直的判定逐一判断即可． 【详解】以正八面体的中心为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，    设，到平面的距离为， 则， 则，，，，，， 又E，F，G，H分别为，，，的中点， 则，，，， 对于A，由，，则，故A正确； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，结合选项A、B，由，则，故C正确； 对于D，由，，，得与不垂直，故D错误． 5．（多选）（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（     ） A．直线和所成的角为 B．三棱锥的体积为定值 C．二面角的平面角的大小为 D．点满足，，，若，则平面 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角空间向量法计算判断A；根据等体积法的等高等底可判断B；根据面面角空间向量法计算可判断C；证明面面平行，根据面面平行的性质可判断D. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则， 对于A，， 故，故， 即直线和所成的角为，故A错误； 对于B，三棱锥的体积转化为三棱锥的体积， 三棱锥的底面积为定值， 因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故B正确； 对于C，设平面法向量为， ，因为， 所以，所以令，得， 所以平面法向量为， 取平面法向量为， 设二面角为， 则， 所以二面角的大小为，故C正确； 对于D，若，则，则点在线段上， 因平面平面，且平面平面，平面平面， 故， 因为平面，平面， 故平面， 同理可证平面， 因为平面，平面，且， 故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故D正确. 6．（多选）（25-26高二上·湖北孝感·期末）空间直角坐标系中，已知向量，则经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（    ） A．若直线的方程为，则点在直线上 B．已知平面的方程，平面的方程为，则这两平面所成角的正弦值为 C．已知平面的方程为，则点到平面的距离为 D．已知平面的方程为，平面的方程为，平面的方程为，则直线与平面的夹角的余弦值为 【答案】BC 【分析】对A，将点代入直线检验，即可判断正误；对B，根据题设定义求出两平面的法向量，再由面面角的向量法，即可求解；对C，根据条件，求出平面的法向量及内一个点的坐标，再由点面距的向量法，即可求解；对D，根据条件，求出直线的方向向量及平面的法向量，再由线面角的向量法，即可求解. 【详解】对于A，因为直线的方程为，则， 所以点不在直线上，故A错误； 对于B，因为平面的方程，所以平面的法向量为， 又平面的方程为，所以平面的法向量为， 所以， 则这两平面所成角的正弦值为，所以B正确， 对于C，因为平面的方程为，即为， 所以平面的法向量，且点在平面内，所以， 设点到平面的距离为，则，所以C正确； 对于D，因为平面的方程为，所以平面的法向量； 又平面的方程为，所以平面的法向量； 设直线的方向向量为，则有， 取，则，又因为平面的方程为， 所以平面的法向量为， 设直线与平面的夹角为，则， 所以，故D错误， 故选：BC. 7．（25-26高二下·河南信阳·期末）在边长为4的菱形中，，沿对角线将折起得到三棱锥，若，则三棱锥外接球的表面积为_________． 【答案】 【分析】证明是正四面体，然后把它补成一个正方体，利用正方体的外接球就是正四面体的外接球求解. 【详解】菱形中，，则都是等边三角形， 取中点，连接，则， 又，则，因为平面， 所以平面，而平面，所以， 所以，从而，所以是正四面体， 以正四面体的六条棱作为面对角线，把它补成一个正方体，如图， 设正方体的棱长为，则，，正方体的对角线长为， 易知正方体的外接球就是正四面体的外接球，球半径为， 所以表面积为. 8．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，先求，再求，最后利用二次函数即可求解. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由棱长为，所以， 所以， 设， 所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 9．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)如图，取的中点，连接、. 因为是正三角形，为中点，所以； 因为是等腰直角三角形，，为中点，所以. 又，平面，故平面. 因为平面，所以.    (2)①；② 【分析】（1）取 中点 ，由正三角形和等腰直角三角形的性质得 、，从而 平面 ，故 ； （2）① 由垂直关系得外接球球心为中点，用等体积法分别求到平面 的距离和到平面的距离，球心到平面的距离为后者的一半； ② 建立空间直角坐标系，由垂直关系确定坐标，分别求两平面法向量，用夹角公式得二面角余弦值. 【详解】（1）略. （2）①当 时，由 ，则 ， 取的中点 ，连接 . 故到四点的距离相等，故为三棱锥 外接球的球心， 因为，故 ， 设到平面 的距离为，到平面 的距离为， 由等体积法可得 而，由于 ，故. 所以， 从而，故到平面 的距离为.   ②由①知 ，且 . 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，设. 由，即，得；由，即，得 ； 又 ，故，所以. 平面中，， 其法向量满足，可取； 平面 中，， 其法向量满足，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为.    1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $