第1章 直线与方程（举一反三讲义·培优篇）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过八大压轴题型系统构建直线与方程知识体系，涵盖斜率范围、面积问题、平行垂直参数等核心内容，按题型分类呈现知识脉络，突出重点题型间的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“举一反三”练习设计，每题从基础选择到综合解答递进，如光线反射问题结合几何直观培养数学眼光，三线能围成三角形问题通过推理训练数学思维。基础学生可掌握通法，优秀学生能深化探究，为教师提供精准分层教学支持。

第1章 直线与方程全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________． 5．（24-25高二上·陕西安康·阶段检测）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 题型2 直线与坐标轴围成图形的面积问题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 题型3 根据两直线平行、垂直求参数 1．（25-26高二上·天津和平·期末）已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（25-26高二上·广西河池·期末）若直线与直线垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 5．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 题型4 求与已知直线平行、垂直的直线方程 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川遂宁·期末）求经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京丰台·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为___________. 5．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 题型5 三线能围成三角形的问题 1．（25-26高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为___________. 5．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 题型6 与距离有关的最值问题 1．（25-26高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·青海西宁·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为___________． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 题型7 光线反射问题 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是___________. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 题型8 直线方程综合 1．（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 5．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】记点为，求出直线的斜率，结合斜率的变化情况可得. 【解答过程】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D. 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【解答过程】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【解答过程】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 4．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）已知点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】分别求得直线的斜率，结合图形可得的斜率的范围． 【解答过程】点，，过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率或， 的斜率为，的斜率为， 直线的斜率或，即， 故答案为：．    5．（24-25高二上·陕西安康·阶段检测）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 题型2 直线与坐标轴围成图形的面积问题 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【解题思路】由题意，求出点A的横坐标、B的纵坐标，根据三角形的面积公式建立关于b的方程，解之即可. 【解答过程】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得. 故选：B. 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【解答过程】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 3．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由斜率的几何意义结合二倍角公式可以先求出所求直线的斜率，再结合已知条件即可求出直线方程. 【解答过程】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】 【解题思路】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【解答过程】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)； (2)面积的最小值为，此时直线的方程为. 【解题思路】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值； （2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程. 【解答过程】（1）解：由题意可得. （2）解：在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 题型3 根据两直线平行、垂直求参数 1．（25-26高二上·天津和平·期末）已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线平行及垂直系数关系计算求解参数. 【解答过程】因为直线与直线：平行， 所以直线的斜率为， 又因为直线与直线：垂直， 则， 则. 故选：C. 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用两直线平行时，斜率间的关系可求答案. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得. 故选：B. 3．（25-26高二上·广西河池·期末）若直线与直线垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】根据一般式下两直线垂直的关系得到方程，解得即可. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：A. 4．（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【答案】(1)或； (2)或. 【解题思路】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【解答过程】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 5．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)0或2 (2) 【解题思路】（1）根据两直线垂直的公式，求解即可得答案； （2）根据两直线平行，，可得值，代回直线验证，即可得答案. 【解答过程】（1）若，则，解得或2. （2）若，则，解得或1， 当时，，满足； 当时，，此时与重合，故舍去. 所以. 题型4 求与已知直线平行、垂直的直线方程 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【解答过程】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. 2．（25-26高二上·四川遂宁·期末）求经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设所求直线方程为，代入点坐标求出可得方程. 【解答过程】因为所求直线与直线平行，故可设所求直线方程为， 将点坐标代入得，解得， 所以所求直线方程为. 故选：B. 3．（25-26高二上·北京丰台·期中）的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由斜率，确定高的斜率，再由点斜式求解. 【解答过程】， 所以边上的高所在直线斜率为1， 所以边上的高所在直线的方程为， 即， 故选：C. 4．（25-26高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为___________. 【答案】 【解题思路】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解. 【解答过程】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为：. 5．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【解答过程】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 题型5 三线能围成三角形的问题 1．（25-26高二上·北京·期中）下面三条直线，，不能构成三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由直线与联立求出交点的坐标，再由题中条件，得到过点，或分别与、平行，进而可求出结果. 【解答过程】由解得，即直线与的交点为， 因为直线，，不能构成三角形， 所以过点，或分别与、平行， 若过点，则，即； 若，则，即； 若，则，所以. 综上，的可能取值为. 故选：C. 2．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【解答过程】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为___________. 【答案】 【解题思路】分三种情况，三条直线交于同一点，与平行,与平行，分别求出的值，得到答案. 【解答过程】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【解答过程】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 题型6 与距离有关的最值问题 1．（25-26高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解答过程】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 2．（25-26高二上·青海西宁·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简直线为，求得直线过定点，结合直线与垂直时，点到的距离最大，即可求解． 【解答过程】由直线， 化为：， 联立方程组， 解得，，即直线过定点， 当直线与垂直时，此时点到的距离最大， 又由，所以点到的距离最大值为． 故选：D． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点点距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】表示点到点的距离， 故的最小值为点到直线的距离 故选：C. 4．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）函数的最大值为___________． 【答案】 【解题思路】采用数形结合的方法求函数的最大值. 【解答过程】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为：. 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点且与直线平行的直线方程. (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）联立直线方程求得交点坐标，根据平行关系，可得答案； （2）由题意求点关于直线的对称点，由图可得答案. 【解答过程】（1）联立，所以两直线的交点为 设与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求的直线方程为 （2）设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 题型7 光线反射问题 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【解答过程】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． 2．（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得. 【解答过程】点关于轴对称的点为， 依题意反射光线所在直线过点与，则斜率， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C. 3．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意建立直角坐标系，结合光的反射原理，依次求出点关于直线，轴的对称点，并由四点共线，即可得到直线的方程，进而解出点的坐标并求得线段的长度，再运用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，最后代入三角形的面积公式即可得解. 【解答过程】根据题意，以点为原点，以，分别为轴，轴建立直角坐标系， 则，所以直线的方程为，的重心为.    设点，其中，则点关于直线的对称点， 满足，解得，即， 易得点关于轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率，所以直线的方程为， 由于直线经过的重心，代入得， 化简得或（舍去），故点，点，点， 直线的方程为，即， 联立，解得，即点， 联立，解得，即点， 所以， 又点到直线的距离为， 所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是___________. 【答案】 【解题思路】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【解答过程】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知点，直线. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 题型8 直线方程综合 1．（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【解答过程】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知求得重心与外心坐标，进而利用直线的两点式方程可求的欧拉线方程. 【解答过程】因为，所以的重心，即， 又因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点，即， 所以直线的方程为，即， 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：B. 3．（25-26高二上·河南·期中）台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，分别求得点关于轴的对称点为和点关于轴的对称点为，以及关于轴的对称点为，得到的方程，进而求得的坐标， 【解答过程】由点关于轴的对称点为，则点在直线上， 点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为， 所以点在直线上，则， 所以直线的方程为， 令，解得，则点的坐标为. 故选：D. 4．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)① ；②或 【解题思路】（1）由得，即可求解； （2）①由题意，，所以，得，即可求解； ②分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，即可得解. 【解答过程】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 5．（25-26高二上·甘肃张掖·期中）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【解题思路】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【解答过程】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $