第1章 直线与方程（举一反三讲义·基础篇）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学讲义以直线与方程的八大基础题型为框架，系统梳理倾斜角与斜率、直线方程求解、定点问题等核心内容，通过题型分类呈现知识脉络，突出基础概念与方法的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于“基础巩固-综合应用”的分层练习设计，如直线过定点问题通过含参数方程培养模型观念，平行垂直判定题强化推理能力。题型涵盖选择、填空及解答题，基础学生可夯实方法，优秀学生能提升应用能力，为教师实施精准教学提供有效支持。

第1章 直线与方程全章八大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 求直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【解答过程】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 2．（25-26高二上·北京平谷·期末）直线经过点和，则直线的斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两点斜率公式直接求解即可. 【解答过程】因为直线经过点和， 所以直线的斜率为. 故选：A. 3．（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解答过程】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 4．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为___________. 【答案】 【解题思路】根据倾斜角计算出斜率值，然后根据斜率的坐标公式求解出的值. 【解答过程】因为的倾斜角为，所以的斜率， 所以且，解得， 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 【解题思路】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【解答过程】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为：. 题型2 直线方程的求解 1．（25-26高二上·河南濮阳·期末）过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点斜式方程，结合一般式，可得答案. 【解答过程】由题意可得直线方程为，化简可得. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据方向向量求出斜率，代入点斜式方程求解. 【解答过程】因为l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率， 直线l过点，所以直线l的方程为，即， 故选：C. 3．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【解答过程】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C. 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为__________. 【答案】或或 【解题思路】考虑直线过原点、不过原点且在两坐标轴上的截距相等、不过原点且截距相反三种情况即可. 【解答过程】①若直线过原点，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； ②若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，则可设直线的方程为， 代入点，得，解得，此时直线的方程为； ③若直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相反，则可设直线的方程为， 代入点，得，解得，此时直线的方程为； 综上所述：直线的方程为或或. 故答案为：或或. 5．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由直线的点斜式方程可得； （2）由直线的斜截式方程可得； （3）先求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即得. 【解答过程】（1）由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）由直线的斜截式方程可得直线方程为， 即； （3）由题意，直线的斜率为， 故由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即. 题型3 直线过定点问题 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】提取得，从而得到方程组，解出即可. 【解答过程】，即，则，解得. 则过定点. 故选：C. 2．（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可. 【解答过程】直线，即，对任意实数，当时，恒成立， 所以点的坐标. 故选：A. 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把直线方程化简为，根据直线经过的定点的坐标满足，解出定点坐标即可. 【解答过程】由，化简得， 所以直线经过的定点的坐标满足，联立方程组解得， 即直线的定点为. 故选：B. 4．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点__________. 【答案】 【解题思路】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【解答过程】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）整理可得，进而分析定点即可； （2）求直线在坐标轴上的截距，结合题意列式求解即可直线方程. 【解答过程】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 题型4 两条直线平行、垂直的判定 1．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【解题思路】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解答过程】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【解题思路】利用两直线的位置关系求解. 【解答过程】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【解题思路】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是__________． 【答案】平行或重合 【解题思路】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【解答过程】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 5．（25-26高二上·安徽·期中）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)平行 (2)重合 (3)垂直 (4)垂直 【解题思路】（1）由直线平行的充要条件证明即可. （2）由直线重合的充要条件证明即可. （3）由直线垂直的充要条件证明即可. （4）由直线垂直的充要条件证明即可. 【解答过程】（1）因为，而，所以. （2）因为，而，所以重合. （3）直线的斜率，直线的斜率，，故. （4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故. 题型5 直线的交点问题 1．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【解答过程】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C. 2．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出两条直线的交点后可求的取值范围. 【解答过程】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或. 故选：A. 3．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【解答过程】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 4．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【解题思路】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【解答过程】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为：. 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【解答过程】（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. （2）直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 题型6 点到直线的距离问题 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】由点到直线的距离公式可知， 点到直线的距离为. 故选：C. 2．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【解答过程】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【解题思路】利用点到直线的距离公式求解. 【解答过程】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 4．（25-26高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为__________． 【答案】或 【解题思路】利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】因为点到直线的距离为1， 所以解得：或 故答案为：或 5．（25-26高二上·四川凉山·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【解答过程】（1）由题可得，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即； （2）∵直线化简得：， 令，解得，∴定点， 则点到直线的距离， ∴到直线的距离为. 题型7 两条平行直线间的距离问题 1．（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线 与 之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两条平行直线间的距离求解. 【解答过程】 变形为， 与之间的距离. 故选：D. 2．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】两平行直线，则之间的距离为，利用这个公式求出之间的距离. 【解答过程】变形为，， 之间的距离为. 故选：C. 3．（25-26高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】C 【解题思路】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知直线与平行，则与的距离为__________． 【答案】 【解题思路】先根据两直线平行求出，然后求出平行直线间的距离即可. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得. 所以直线变为，即. 则与的距离为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知直线：和直线：. (1)求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； (2)若，求两直线与间的距离. 【答案】(1)定点，距离为 (2) 【解题思路】先求出直线的定点，再利用点到直线的距离公式求解即可； （2）利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线之间的距离公式即可得到答案. 【解答过程】（1）直线：恒过定点， 定点到直线的距离为. （2）由，则，即， 此时：，即，：，满足， 则两直线与间的距离为. 题型8 点、线间的对称关系 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解题思路】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解答过程】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 2．（25-26高二上·内蒙古·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解. 【解答过程】设的对称点坐标为， 则对称点与已知点连线的中点为， 由题意可得，解得． 所以对称点坐标为． 故选：B. 3．（25-26高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【解答过程】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【解题思路】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【解答过程】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 5．（25-26高一上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【解答过程】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程全章八大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 求直线的倾斜角与斜率 1．（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京平谷·期末）直线经过点和，则直线的斜率（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）过两点的直线l的倾斜角为135°，求m的值为___________. 5．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 题型2 直线方程的求解 1．（25-26高二上·河南濮阳·期末）过点且斜率为的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线过点，且直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为__________. 5．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 题型3 直线过定点问题 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过定点（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点__________. 5．（25-26高二上·江苏常州·期末）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 题型4 两条直线平行、垂直的判定 1．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 3．（25-26高二上·全国·课后作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 4．（25-26高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是__________． 5．（25-26高二上·安徽·期中）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)； (2) ； (3)的斜率为，经过点； (4)经过点，经过点. 题型5 直线的交点问题 1．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 题型6 点到直线的距离问题 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 4．（25-26高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为__________． 5．（25-26高二上·四川凉山·期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 题型7 两条平行直线间的距离问题 1．（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线 与 之间的距离（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知直线与平行，则与的距离为__________． 5．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知直线：和直线：. (1)求直线恒过的定点，及该定点到直线的距离； (2)若，求两直线与间的距离. 题型8 点、线间的对称关系 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 2．（25-26高二上·内蒙古·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 5．（25-26高一上·四川自贡·阶段检测）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $