2.2.3 直线的一般式方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的一般式方程”核心知识点，系统梳理其定义、与点斜式等四种方程形式的互化方法，明确系数A、B、C取值与图像特征的对应关系，以及平行和垂直的判定条件，搭建起连接直线方程各类形式的学习支架。 该资料通过表格对比不同方程形式的局限与适用场景，引导学生用数学眼光观察差异，题型设计注重推理能力培养，如平行垂直条件的应用实例，以一般式统一表达体现数学语言的简洁。课中辅助教师高效讲解，课后练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.2.3 直线的一般式方程 知识点一、直线的一般式方程 1.定义：关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2.（1）直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式方程 斜截式方程 截距式 Ax＋By＋C＝0（A，B不能同时为0） (B≠0) (A,B,C≠0) （2）直线方程五种形式的互化 3.一般式方程中的系数A，B，C取值情况与图像特征 A，B，C取值情况 图像特征 A＝0，B≠0，C≠0 平行于x轴（只与y轴相交） A≠0，B＝0，C≠0 平行于y轴（只与x轴相交） A＝0，B≠0，C＝0 与x轴重合 A≠0，B＝0，C＝0 与y轴重合 A≠0，B≠0 与两坐标轴相交 A2+B2≠0，C＝0 直线过原点 4.直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 x1≠x2，y1≠y2 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 可以表示所有的直线 知识点二、由直线的一般式方程研究直线的平行于垂直 1.平行与垂直的系数关系 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为0），直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0（A2，B2不同时为0），则： 位置关系 条件 l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（A1C2－A2C1≠0） l1与l2重合 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0（A1C2－A2C1＝0） l1与l2相交 A1B2－A2B1≠0 l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0 2.平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系方程 ①与定直线Ax＋By＋C＝0（A2+B2≠0）平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ为参数，λ≠C）. ②斜率为k的直线系方程为y＝kx＋b（k为常数，b为参数）. ③过点P（x0，y0），且平行于直线Ax＋By＋C＝0（A2+B2≠0）的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0（Ax0＋By0＋C≠0）. （2）垂直直线系方程 ①与定直线Ax＋By＋C＝0（A2+B2≠0）垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）. ②与直线y＝kx＋b（k≠0）垂直的直线系方程为y=x+m（m为参数）. ③过点P（x0，y0），且垂直于直线Ax＋By＋C＝0（A2+B2≠0）的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. 题型一：求直线的一般式方程 例1.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点，斜率为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 解：（1）直线的斜率，由点斜式，得直线方程为，即. （2）由斜截式，得直线方程为，即. （3）由两点式，得直线方程为，即. （4）由截距式，得直线方程为，即. 跟踪训练： 1.直线绕它与轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程是（ ） A. B. C. D. 解：直线与轴的交点为，因为所求直线过点且斜率为，所以所求直线方程为，即.故选：D. 2.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解：(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为，即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为，即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 题型二：直线的一般式方程的应用 例1.设直线的方程为. （1）已知直线在轴上的截距为, 求的值； （2）已知直线的斜率为, 求的值. 解：(1) 由题意知, 即 且.令, 得, 所以, 解得. （2）由题意知, , 即 且 .直线的方程化为斜截式方程得,则, 解得. 跟踪训练： 1.直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ） A. B. C. D. 解：直线的一般式方程可化为，所以. 因为, 所以.故选：D. 2.（多选）若，则在下列各图中，不可能是直线的有（ ） A B C D 解：, 因为 ,所以直线的斜率, 直线在轴上的截距 , 满足条件的只有.故选：. 3.若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝ . 解：由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝，∵2＝，∴a＝1.故答案为：1. 题型三：利用一般式解决直线的平行与垂直问题 例1.已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值． (1)l1⊥l2；(2)l1∥l2. 解：(1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，∴m＝. (2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，∴m＝－3或m＝2， 当m＝－3时，l1∥l2； 当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去． ∴m＝－3. 跟踪训练： 1.已知直线,直线(不同时为0),则直线的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.斜交 D.与的值有关 解：①当与都不为0时，因为,所以两条直线垂直； ②当与中有一个为0时，若,则两直线分别为与,两直线垂直；若,则两直线分别为与,两直线垂直. 综上，两条直线垂直.故选：B. 2.已知直线,求满足下列条件的直线的方程. (1)过点,且与直线平行； (2)过点，且与直线垂直. 解：方法1：的方程可化为，所以的斜率为. （1）因为与平行，所以的斜率为.又过点， 所以由点斜式知的方程为，即. （2）因为与垂直，所以的斜率为.又过点， 所以由点斜式可得的方程为，即. 方法2：(1)由与平行，可设的方程为. 将点的坐标代入得.所以所求直线的方程为. （2）由与垂直，可设的方程为.将点的坐标代入得. 所以所求直线的方程为. 3.(1)若直线与直线平行，则( ) A. B. C.或 D. (2)若直线与直线垂直，则( ) A. B. C.或 D. 解：(1)因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，满足题意； 当时，直线与直线重合，不满足题意，舍去. 综上所述，. （2）若直线与直线垂直， 则有，解得或. 1.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 解：直线斜率k＝，所以倾斜角为150°.故选C. 2.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解：方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.故选：D. 3.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点(　　) A．(2,1) B．(3,1) C．(0,1) D．(0,0) 解：kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1)．故选：B. 4.过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　) A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0 C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0 解：根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.故选：D. 5.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是 ． 解：由已知得，解得：m＝3.故答案为：3. 6.斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ． 解：由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.故答案为：2x－y＋1＝0. 7.(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是，且经过点A(8，－6)的直线方程为 ． ②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为 ． ③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为 ． 解：答案为：①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0　③x＋y－1＝0. 1.过点，且垂直于直线的直线方程为( ) A. B. C. D. 解：(方法1点斜式)直线的方程可化为，故所求直线的斜率. 又直线过点，故所求直线的方程为，即. (方法2直线系)设所求直线的方程是，将代入直线方程，得，解得，故所求直线的方程为.故选：A. 2.过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　 　) A．x－2y＋5＝0 B．2x＋y－7＝0 C． x－2y＋4＝0 D．x－2y＋3＝0 解：过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为， 由点斜式求得直线的方程为y－3＝(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选：C. 3.直线3x－2y－4＝0的截距式方程是(　　) A. B. C. D. 解：由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即，所以直线的截距式方程为.故选：B. 4.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　) A．－1 B．0或2 C．－1或2 D．2 解：由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)，即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1. 当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1.故选：A. 5.已知直线与平行，则的值是( ) A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 解：因为，所以，解得或，经验证，符合题意.故选：C. 6.已知直线,直线,则“”是“直线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：充分性：若,则有,故直线,充分性成立. 必要性：若直线,则, 当时，不成立，必要性不成立. 所以“”是“直线”的充分不必要条件.故选：A. 7.(多选)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为(　　) A．1 B．－1 C．－2 D. 2 解：当直线ax＋y－2－a＝0过原点时，可得a＝－2. 当直线ax＋y－2－a＝0不过原点时， 由题意知，当a＝0时，直线l与x轴无交点，当a≠0时，直线l在x轴上的截距为， 与在y轴上的截距2＋a相等，可得＝2＋a，解得a＝1或a＝－2(舍)． 综上知，a＝－2或1.所以直线l的斜率为－1或2.故选：BD. 8.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点 . 解：由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)，所以直线必过点(3,2)．故答案为：(3,2)． 9.若直线与直线互相垂直，则实数 . 解：方法1斜率关系法：直线的斜率为. 根据题意知，当时，两直线不垂直，故，则直线的斜率为. 由两直线垂直得，故. 方法2一般方程法：若两直线垂直，则必有，解得.故答案为：1. 10.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为 . 解：把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6， ∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝.故答案为：. 11.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是 . 解：∵k＝，∴－1≤k<0.所以倾斜角的取值范围是[，π）.故答案为：[，π）. 12.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为 . 解：题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)， 令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝，则S＝，得c2＝122，c＝±12， ∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0. 故答案为：4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0. 13.若直线,互相垂直，则实数 . 解：①当时，直线与直线不垂直. （易忽略时，的斜率不存在.） ②当,即时，直线与直线显然垂直. ③若，且，则直线的斜率都存在，，.当时，，即，解得.综上可知，当或时，直线.故答案为：或. 14.已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k的值； (2)若这两条直线平行，求k的值． 解：(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0， 解得k＝.∴若这两条直线垂直，则k＝. (2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0， 解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意． ∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5. 15.已知在中，，，边上的中线所在直线的方程分别为和，求各边所在直线的方程. 解：设边上的中线分别为，其中分别为边上的中点，因为点在直线上，所以设点的坐标为. 又，为边的中点，所以由中点坐标公式得点的坐标为. 又点在直线上，所以，解得，所以. 同理可求出. 所以边所在直线的方程为，即. 同理可得边所在直线的方程分别为和. 16.已知直线. （1）求证：不论实数为何值，直线总经过第一象限； （2）求使直线不经过第二象限的的取值范围. 解：（1）证明：(方法1利用点斜式方程)直线的方程可化为：. 故直线恒过第一象限定点.故直线总经过第一象限. (方法2赋值法)因为为任意实数， 当时，直线的方程为,① 当时，直线的方程为,② 由①②得定点，故直线总经过第一象限. （方法 3 分离参数法）直线的方程可化为. 因为为任意实数，由解得，所以直线过定点.故直线总经过第一象限. （2）解：直线的方程可化为， 因为直线不经过第二象限，所以解得，即的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 直线的一般式方程 知识点一、直线的一般式方程 1.定义：关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2.（1）直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式方程 斜截式方程 截距式 Ax＋By＋C＝0（A，B不能同时为0） (B≠0) (A,B,C≠0) （2）直线方程五种形式的互化 3.一般式方程中的系数A，B，C取值情况与图像特征 A，B，C取值情况 图像特征 A＝0，B≠0，C≠0 平行于x轴（只与y轴相交） A≠0，B＝0，C≠0 平行于y轴（只与x轴相交） A＝0，B≠0，C＝0 与x轴重合 A≠0，B＝0，C＝0 与y轴重合 A≠0，B≠0 与两坐标轴相交 A2+B2≠0，C＝0 直线过原点 4.直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 x1≠x2，y1≠y2 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 可以表示所有的直线 知识点二、由直线的一般式方程研究直线的平行于垂直 1.平行与垂直的系数关系 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为0），直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0（A2，B2不同时为0），则： 位置关系 条件 l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（A1C2－A2C1≠0） l1与l2重合 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0（A1C2－A2C1＝0） l1与l2相交 A1B2－A2B1≠0 l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0 2.平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系方程 ①与定直线Ax＋By＋C＝0（A2+B2≠0）平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0（λ为参数，λ≠C）. ②斜率为k的直线系方程为y＝kx＋b（k为常数，b为参数）. ③过点P（x0，y0），且平行于直线Ax＋By＋C＝0（A2+B2≠0）的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0（Ax0＋By0＋C≠0）. （2）垂直直线系方程 ①与定直线Ax＋By＋C＝0（A2+B2≠0）垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）. ②与直线y＝kx＋b（k≠0）垂直的直线系方程为y=x+m（m为参数）. ③过点P（x0，y0），且垂直于直线Ax＋By＋C＝0（A2+B2≠0）的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. 题型一：求直线的一般式方程 例1.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点，斜率为； (3)经过，两点； (4)在轴、轴上的截距分别为. 跟踪训练： 1.直线绕它与轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 题型二：直线的一般式方程的应用 例1.设直线的方程为. （1）已知直线在轴上的截距为, 求的值； （2）已知直线的斜率为, 求的值. 跟踪训练： 1.直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ） A. B. C. D. 2.（多选）若，则在下列各图中，不可能是直线的有（ ） A B C D 3.若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝ . 题型三：利用一般式解决直线的平行与垂直问题 例1.已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值． (1)l1⊥l2；(2)l1∥l2. 跟踪训练： 1.已知直线,直线(不同时为0),则直线的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.斜交 D.与的值有关 2.已知直线,求满足下列条件的直线的方程. (1)过点,且与直线平行； (2)过点，且与直线垂直. 3.(1)若直线与直线平行，则( ) A. B. C.或 D. (2)若直线与直线垂直，则( ) A. B. C.或 D. 1.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 2.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 3.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点(　　) A．(2,1) B．(3,1) C．(0,1) D．(0,0) 4.过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　) A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0 C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0 5.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是 ． 6.斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ． 7.(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是，且经过点A(8，－6)的直线方程为 ． ②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为 ． ③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为 ． 1.过点，且垂直于直线的直线方程为( ) A. B. C. D. 2.过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　 　) A．x－2y＋5＝0 B．2x＋y－7＝0 C． x－2y＋4＝0 D．x－2y＋3＝0 3.直线3x－2y－4＝0的截距式方程是(　　) A. B. C. D. 4.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为(　　) A．－1 B．0或2 C．－1或2 D．2 5.已知直线与平行，则的值是( ) A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 6.已知直线,直线,则“”是“直线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.(多选)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为(　　) A．1 B．－1 C．－2 D. 2 8.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点 . 9.若直线与直线互相垂直，则实数 . 10.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为 . 11.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是 . 12.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为 . 13.若直线,互相垂直，则实数 . 14.已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k的值； (2)若这两条直线平行，求k的值． 15.已知在中，，，边上的中线所在直线的方程分别为和，求各边所在直线的方程. 16.已知直线. （1）求证：不论实数为何值，直线总经过第一象限； （2）求使直线不经过第二象限的的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $