重难点专题12 反比例函数与几何综合问题（7大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本专项聚焦反比例函数与几何综合，以“面积计算—k值求解—最值探究—存在性分析—变换应用”为主线，系统提炼公式法、割补法等7类解题模型，强化几何直观与推理能力，构建从单点到综合问题的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单点面积计算|5题|坐标轴垂线法+面积公式|从基础图形面积切入，建立k与面积关系| |双点面积计算|5题|矩形割补法+坐标公式|拓展至双点组合，强化图形转化能力| |两曲线面积计算|6题|面积和差+水平宽铅垂高|综合多曲线情境，提升综合分析能力| |面积求k值|8题|面积关系式列方程+符号判断|逆向应用面积与k关系，培养方程思想| |最小值问题|8题|将军饮马模型+对称转化|结合几何最值，发展模型意识| |存在性问题|12题|分类讨论（平行四边形/直角三角形等）|综合几何性质，提升推理与分类能力| |几何变换|5题|平移坐标规律+折叠中垂线性质|融入变换思想，深化数形结合应用|

重难点专题12 反比例函数与几何综合问题 重难点一 反比例函数图象上的单点面积计算问题 1.过双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积； 2.该点与原点、垂足组成直角三角形面积，直接套用两个固定公式直接求解。 1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 2．如图，点A是反比例函数图象上任意一点，轴，点C是x轴上的动点，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提，掌握同底等高的三角形面积相等是解决问题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义可得，再根据同底等高的三角形面积相等，可求出答案 【详解】解：如图，连接， 由反比例函数系数k的几何意义得， ， 又∵轴， ∴． 故选：A． 3．如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键． 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：B． 4．如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 5．如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意得出矩形的面积为，进而即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，矩形和反比例函数图像都是中心对称图形，为对称中心，点在函数的图像上， ∴矩形的面积为， ∴矩形的面积为 故答案为：． 重难点二 反比例函数图象上的双点面积计算问题 1.同一双曲线上两点构成不规则三角形，可用外围矩形割补法求面积； 2.也可直接使用坐标通用面积公式整体列式计算。 1．如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．9 D．13 【答案】C 【分析】设轴于点D，轴于点C，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，然后代入即可求值． 本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点D，轴于点C， 由条件可知，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：C． 2．如图，A，B为反比例函数 图象上任意两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，设和的面积分别为，，则（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：依题意有：和的面积是个定值． 所以． 故选：B． 3．如图，正方形和正方形的顶点B、E在双曲线上，连接，则的值为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识．连接．只要证明，推出，即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵点B在的图象上， ∴， 故选：A． 4．如图，两点在反比例函数的图象上，分别经过两点向两坐标轴作垂线段，已知，则空白部分的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数的系数的几何意义得到，由，得，然后计算． 【详解】解：根据题意得， 而， 所以， 所以． 故答案为：8． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，在x轴的正半轴上，，过点C的反比例函数的图象与交于点D．则的面积为______．    【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质．作，连接，设点的坐标为，求得，根据，即可求得结论． 【详解】解：作，连接，设点的坐标为，   ，四边形为菱形， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：4． 重难点三 与两曲线上的点有关的面积计算 1.两点分别在、两条双曲线上，分别用表示基础图形面积， 2.利用水平宽、铅垂高，通过面积和差组合求解整体面积。 1．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 如果设直线与x轴交于点C，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知的面积为2，的面积为1，从而求出结果． 【详解】解：设直线与轴交于点． ∵轴， ∴轴，轴． ∵点在双曲线的图象上， ∴的面积． 点在双曲线的图象上， ∴的面积． ∴的面积的面积的面积． 故选：A． 2．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设点，则有，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意可设点， ∵轴， ∴， ∴； 故选A． 3．如图，点在双曲线上， 点在双曲线 上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为（  ） A．6 B．12 C．8 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作辅助线，构建矩形是解答本题的关键．过点作轴于，延长线段，交轴于，得到四边形是矩形，四边形是矩形，所以，，由，得到，由此得到，根据反比例函数系数的几何意义求出答案． 【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于， 轴，轴， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， 点在双曲线上， ，同理， ， ， ， ， 故选：． 4．如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，连接，与轴交于点，且轴，，是正半轴上一点，连接，，则的面积为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴交轴于，过作轴交轴于，可求，从而可求，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过作轴交轴于，过作轴交轴于，    ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键． 5．如图，点A在函数的图象上，作 轴交函数的图象于点C，四边形的面积为 _____． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线是正确解决本题的关键．延长交y轴于点D，根据，利用比例函数系数k的几何意义，即可解答． 【详解】解：延长交y轴于点D， 轴， 轴， 设， ∵点C在反比例函数的图象上， ， ， ∵， ∴四边形是长方形， 设， ∵点A在反比例函数的图象上， ， ， ∴． 故答案为：5． 6．如图，直线与轴平行且分别与反比例函数，的图象交于点和点，点是轴上的一个动点，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，平行线之间的距离，掌握反比例函数中比例系数的几何意义是解题的关键．连接，，则，进而根据反比例函数的几何意义即可解答． 【详解】解：如图，连接，，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∵轴， ∴与同底等高， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 重难点四 根据面积求K的值 1.依据图形面积结合、或割补得到的面积关系式列方程； 2.根据双曲线所在象限判断正负，去掉绝对值符号解出。 1．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 【详解】点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别位于轴、轴的正半轴上，分别是的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接，易得四边形，均为矩形，矩形的面积等于四边形的面积，根据值的几何意义即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴四边形，均为矩形， ∴， ∴四边形的面积， ∵反比例函数经过点， ∴， ∵反比例函数过第一象限， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 4．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 5．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 6．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 【答案】4 【详解】解：设点的坐标为，其中， 轴于点 ， 点的坐标为 ， ， 的底边为，高为点到直线的距离， 点到直线的距离为， 高， 由题意， ， . 7．如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可． 【详解】解：由题意可得点在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点为图象上一点， ∴， ∴． 8．如图，点A为x轴正半轴上一点，点B为反比例函数上一点，轴交y轴于点C，延长交反比例函数于点D，若点B恰好为中点，且面积为9，则k的值为________． 【答案】12 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，理解此反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握梯形的中位线定理和三角形的面积公式是解决问题的关键．过点D作轴交y轴于点E，设，证明是梯形的中位线，得，，则，进而得点B，，点D，，再根据面积为9得，则，由此即可得出k的值． 【详解】解：过点D作轴交y轴于点E，如图所示： 设，则， ∵轴， ∴， ∵点B恰好为中点， ∴是梯形的中位线， ∴，， ∴， ∴点B的纵坐标为b，点D的纵坐标为2b， ∵点B，D都在反比例函数的图象上， ∴点B的坐标为， ，点D的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵面积为9， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 重难点五 反比例函数中的最小值问题 1.多为将军饮马最值模型，作出定点关于坐标轴的对称点； 2.依据两点之间线段最短，连线与双曲线交点即为取得线段和、周长最小值的动点。 1．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，得到点的坐标为，设，，根据 列方程求出或（不合题意，舍去），得到反比例函数，则，，作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接，则为最小值，利用勾股定理求出答案即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 则点的坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴反比例函数， ∴，， 作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接， 则为最小值， ∴， 即的最小值是． 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是7的正方形的两边分别相交于D，E两点，的面积为24，若动点P在x轴上，则的最小值是_______． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称-最短路线问题，勾股定理．由正方形的边长是7，得到点D的横坐标和点E的纵坐标为7，求得，根据三角形的面积列方程得到，作D关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长是7， ∴点D的横坐标和点E的纵坐标为7， ∴， ∴， ∵的面积为24， ∴， ∴(舍去负值)， ∴， 作D关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则的长的最小值，    ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长等于6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，的面积是16，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向右运动，记运动时间为t，当_______s时，最小． 【答案】2.5 【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，2），N（2，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，运用待定系数法求出NM′的解析式，再求出OP的长即可解决问题． 【详解】解：∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴M（6，），N（，6）， ∴BN=6-，BM=6-， ∵△OMN的面积为16， ∴， 整理得， ∴ ∵ ∴k=12， ∴M（6，2），N（2，6）， 作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值， ∵AM=AM′=2， ∴点M′的坐标为（6，-2）， 设直线NM′的解析式为， 把（2，6），（6，-2）代入得， 解得， ∴直线NM′的解析式为， 令y=0，则，解得，x=5 ∴P（5，0） ∴OP=5， ∴（s） 故答案为2.5． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称-最短路线问题，正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 5．如图，点、都在反比例函数的图象上，点是直线上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据A，B都在反比例函数图象上，求出A，B坐标，再求出A的对称点，利用两点之间，线段最短来解答即可． 【详解】解：∵A（5a-1，2）、B（8，1）都在反比例函数的图象上， ∴（5a-1）×2=8， ∴a=1， ∴A（4，2），B（8，1）， ∴A关于直线y=x的对称点A'（2，4）， ∴ ∴的最小值是 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，以及轴对称求最小值问题，解答本题的关键是求出A关于直线y=x的对称点，利用数形结合的思想解答． 6．如图，是双曲线在第二象限上的一动点，的延长线与双曲线的另一支相交于点，取点在第一象限，且，则的最小值为______． 【答案】． 【分析】过作轴于，连接，根据点是双曲线在第二象限上的一动点，的延长线与双曲线的另一支相交于点，得到，且，可求得，可设，则，得，设点的坐标是：（，），在中，有，即有：，化简可得当时，有最小值是，则有． 【详解】解：如图，过作轴于，连接， ∵点是双曲线在第二象限上的一动点，的延长线与双曲线的另一支相交于点， ∴点，点关于原点对称，即， ∵， ∴是等腰三角形， ∴，且， ∴， 设，则， ∴ ∵点是双曲线在第二象限上的一动点， ∴设点的坐标是：（，）， 在中，， 即有：， ∴当，即时，有最小值是8， ∴当时，有最小值是， ∴， ∴的最小值为， 故答案是：． 7．如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线解析式，代入得点坐标，再代入反比例函数即可求解析式； （2）由垂线段最短可知时最小，此时为斜边上的高，用等积法即可求此时长． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴把代入，得： ， ∴点坐标为， 把代入，得： ， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由“垂线段最短”可知：当时，最小，如图， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， 解得， 即线段的最小值为． 8．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)直接写出的值和点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，熟练掌握反比例函数与一次函数交点的计算方法进行求解是解题的关键． （）由直线过点，求出的值，则点的坐标为，代入即可求出的值，联立，解出方程即可求出点的坐标； （）作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，，当与重合，即三点共线时的值最小为长，证明，则，求出，然后根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴，解得：， ∴点的坐标为， ∵双曲线过点， ∴， ∴双曲线解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，， ∴， ∵， ∴当与重合，即三点共线时的值最小为长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即纵坐标为， ∵在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∴的最小值为． 重难点六 反比例函数中的存在性问题 1.平行四边形利用中点公式分三类讨论； 2.直角三角形利用垂直坐标关系分类找点； 3.等腰三角形利用距离公式平方列式； 4.相似三角形依靠对应边成比例求解坐标，再代入检验。 1．如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或或 【分析】题目主要考查反比例函数、解三角形，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得出，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，分别作出图象，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得，， ∴， ∵在y轴上存在点M，使得为等腰三角形， ∴设， ∴当时， ， ∴， ∴点M的坐标为或； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上可得：点M的坐标为或或或 ． 2．如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数 的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例 的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 【答案】(1)5，22 (2)或 【详解】（1）解∶∵点A的坐标为 ∴， ∵菱形， ∴，轴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 代入，得； （2）解：设E的纵坐标为，则E到的距离为， ∵的面积为， ∴， 解得或2， 由（1）知：反比例函数解析式为， 当时，，解得； 当时，，解得； ∴E的坐标为或． 3．如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为； (2)存在，点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为，把代入可得 ∴反比例函数的表达式为， 把代入中，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 设，的面积等于3， ∴， 解得：或，经检验符合题意； ∴或． 4．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，． (1)求k的值； (2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长； (3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等，分类求解是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质可求出，得点坐标，从而求出的值； （2）由得，求出，从而可求出； （3）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ，， ∴， ， 点， ； （2）解：四边形为平行四边形 ， 解得，（不合题意舍去） ； （3）①当时， ∴, 又， ∴，， ∴， ∴， ∴， ，即 ， ； ②当时， 又 ， ； 综上所述，点P的坐标为或． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，轴，垂足为点． (1)求出点，，的坐标； (2)若点是反比例函数图象上的一个动点且位于点右侧，连接，过点作轴，垂足为点．是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）由一次函数可得当，，，分别求解对应的，，从而可得点的坐标； （）代入的坐标可得反比例函数解析式，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设；当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点， ∴当时，；当时，；当时，； ∴，，； （2）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， 当时， 设， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， 当时， ∴， 解得：， （不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上：或． 6．如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)8 (3)存在，或或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分割法求出的面积即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴，， 把、代入，得： ，解得：， ∴； （2）设直线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）存在； 设， ∵， ∴，，， 是以为腰的等腰三角形，分两种情况： ①，则：， ∴， ∴或； ②，则：， 解得：（舍去）或； ∴； 综上：存在或或，使是以为腰的等腰三角形． 7．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，，反比例函数上的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)若点为反比例函数图象上一个动点，点为轴上一个动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数的关系式，掌握反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求反比例函数的关系式的方法是解决问题的前提． （1）利用矩形的性质求得，得到，再利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；再求得点Q的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）分两种情况讨论，①当点与点N对应时，②当点与点N对应时，利用平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点O为原点，，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵反比例函数上的图象经过的中点P， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点Q在上， ∴点Q的横坐标为4，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：存在以P，Q，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形， 分两种情况讨论，当时， ①当点与点N对应时，即纵坐标向下平移了5个单位， ∴点也向下平移5个单位得到点M，此时点M的纵坐标为， 当时，，解得， ∴点； ②当点与点N对应时，即纵坐标向下平移了个单位， ∴点也向下平移个单位得到点M，此时点M的纵坐标为， 当时，，解得， 点，但与点Q重合，舍去； 综上，点M的坐标为． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)由图像可知，当x 时，； (2)求出a，k的值； (3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值； (4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)或-11； (4)的坐标为或． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）将点代入，即可求出的值，从而得到．再将代入，即可求出的值； （3）根据一次函数解析式可求出，．结合为正轴上的一动点，可求出．最后根据，结合三角形面积公式，即可列出关于的等式，解出的值即可． （4）过作轴于，作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可． 【详解】（1）根据图像可以看出表示一次函数在双曲线上方部分， ∴当时，； （2）由题意可知点在一次函数的图象上， ， ． 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ， ； （3）对于，令，则， 解得：， ． 令，则， ． 为轴的一动点， ， ， ， ，， ， 解得：或． （4）过作轴于， 轴， ， ，， ， 把，代入， ， 作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 把代入， 解得：， ， 综上所述，的坐标为或． 9．如图，矩形的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，点在边上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，E．且， (1)求反比例函数的解析式和n的值． (2)线段上是否存在一点M．使得四边形的面积等于的面积?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据点E坐标求出，解直角三角形求出，得到点B坐标，继而求出点D坐标，代入反比例函数解析式求出k，再将点E代入反比例函数解析式即可求出n值； （2）分别过点M作，，垂足分别为P，Q，求出点F的坐标，再求出的解析式，设，表示出相应线段的长度，求出的面积，可得四边形的面积，据此列出方程，解之可得a值，即可得到点M坐标． 【详解】（1）解：∵点在边上， ∴， 在直角中，∵， ∴， ∴， ∵点D为对角线的中点， ∴，代入中， 得：， ∴反比例函数解析式为， 又∵点在反比例函数图象上， ∴； （2）分别过点M作，，垂足分别为P，Q， 在中，令，则， ∴， 设，将代入， 得，则， ∴，设， ∴，， ∵， ∴ 解得：， ∴． 10．如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为． (1)求，的值： (2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入即可求得，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入求得；（2）由可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标． 【详解】（1）如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F， ∵， ∴∠AOE+∠BOF=90°， 又∵∠AOE+∠EAO=90°， ∴∠BOF=∠EAO， 又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB， ∴△AOE≌△BOF（AAS）， ∴AE=OF，OE=BF， ∵点A的坐标为， ∴AE=1，OE=4， ∴OF=1，BF=4， ∴B（4，-1）， 将点A、B分别代入和， 解得，，； （2）由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称， ∵， ∴OC=OA=OB=OD， 只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示， ∴点C（4，1），点D（1，-4）． 11．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以为边向上作正方形，顶点A在直线上，双曲线经过点A，且与边交于点E.    (1)若，求k的值和点E的坐标； (2)连接、. ①若的面积为24，求k的值； ②是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①18； ②不存在，理由： ∵， ∴ ， ∵正方形， ∴                                                                                                                                                 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴设， ∴设， ∵ B、C两点在x轴的正半轴上， ∴，∴， 这是不可能的，故不存在某一位置使得. 【分析】(1)根据，设，代入解析式确定A的坐标，确定反比例函数解析式，根据，代入反比例函数解析式计算即可. (2)①设，则，,，根据题意，得，列出等式计算即可. ②假设，证明，利用反比例函数解析式建立等式证明即可. 【详解】（1）∵正方形，，, ∴，， 设，则,， 代入，得， 解得， 故， ∴， ∴即. （2）①∵点A在直线上， ∴设， ∵正方形，, ∴，，， ∴,， 根据题意，得， ∴， 解得（舍去），故， 故； ②略 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角形面积的分割法计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，是解题的关键. 12．一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；6 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和性质： （1）把点代入一次函数解析式，求出的值，再把点代入反比例函数解析式求出的值即可； （2）求出点的坐标为，点的坐标为，而为线段上的点，设，得到，代入反比例函数解析式即可求解； （3）设点，，根据菱形的性质，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）把点坐标代入一次函数解析式可得：， ， 点在反比例函数图象上， ； （2）当时，，解得， 当时，， 一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 为线段上的点， ∴设，则， 则有， 解得，或舍去 ； ∴； （3）设点，， 由（2）可知：点，点， ∴， 由题意知，为菱形的边， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 则点向右平移个单位向上平移个单位得到点， 由平移规则和得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：或或或． 重难点七 反比例函数中的几何变换 1.平移变换遵循坐标规律，反比例值不变； 2.折叠变换利用折痕垂直平分对应点连线，结合中点公式与垂直等量关系构建方程组，联立求解变换后的动点坐标。 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、坐标分别是、、，顶点在函数（）的图像上．    (1)求的值； (2)将沿y轴向上平移，当顶点落在（）的图像上时，边与该函数图象相交于点，连接，求此时的面积． 【答案】(1)的值为 (2)的面积为 【分析】本题考查的是反比例函数综合题； （1）根据平行四边形的性质得出的坐标，进而即可求得的值； （2）由平移得，平移后的点的横坐标为，代入反比例函数解析式求得纵坐标，从而求得平移后的的纵坐标，代入解析式即可求得与该函数图象的交点坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）在中，、、， ，． ． 点的坐标为． ∵函数的图象经过点， ∴； （2）由平移得，平移后的点B的横坐标为． 当时，    ∴平移后点B的坐标为． ∴向上平移个单位． ∴平移后点的坐标为． 当时， ∴与该函数图象的交点坐标为， ∴的面积． 2．如图，四边形是平行四边形，点在轴的负半轴上，，，且，反比例函数的图象经过点，    (1)求的值； (2)把沿经过、两点的直线折叠到第一象限，点的对应点为，请判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在反比例函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，利用勾股定理求得，进而求得，得到，，进而即可求得； （2）求得的坐标为，代入反比例函数的解析式即可判断． 【详解】（1）四边形是平行四边形 ，， ，， ，， ， ， ， 反比例函数的图象经过点， ； （2）在反比例函数的图象上， 理由：，， ， 四边形是平行四边形， ， 由折叠得：，， ， ， 当时，， 点是在反比例函数的图象上． 3．已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． (1)若，请直接写出当时，x的取值范围； (2)如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值； (3)在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离． 【答案】(1)或 (2)15 (3)． 【分析】（1）依题意，列式，进行计算，得出，运用数形结合思想，得出当时，x的取值范围为或，即可作答． （2）结合正方形的性质以及角的等量代换，得证，表达出以及结合在直线上，得出，因为点和点在上，则，列式 进行计算，即可作答． （3）结合正方形的性质，以及一次函数的性质得出此时的平移距离．结合（2）得出，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． ∴ 整理得 ∴ 解得 经检验，是原方程的解， 记直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点E(第三象限) ∴结合图象，当时，x的取值范围为或 （2）解：分别过点作轴、轴，如图所示： 当时，则，解得 ∴点的坐标为 ∵轴、轴， ∴， ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴ 则 ∴ ∵在直线上 ∴ ∴ ∵点和点在上 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 把代入 解出； （3）解：∵在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时， ∴此时的平移距离． ∵，， ∴， 在中， 即此时的平移距离为． 4．如图，在平面直角坐标系内，已知，． (1)点的坐标为（____，____）； (2)将绕点顺时针旋转度． ①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； ②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②当时，、能同时落在上述反比例函数的图象上． 【分析】（1）作轴于点，在直角中，利用三角函数即可求得、的长度，则的坐标即可求解； （2）①当时，点的位置与一定关于轴对称，在的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； ②当时，旋转后点的横纵坐标正好互换，则一定都在反比例函数的图象上． 【详解】（1）解：如图，作轴于点， 在直角中，， 则，， 则的坐标是， 故答案为：，； （2）解：①当时，的坐标与一定关于轴对称，则旋转后的点． 把代入函数解析式得：； ②当时，旋转后点，点， ， 当，、能同时落在上述反比例函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，图形的旋转，三角函数的综合应用，坐标与图形等，正确求得点的坐标是关键． 5．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线翻折后，设点O的对应点为点C，已知双曲线经过点C． (1)求点A，B的坐标． (2)求k的值． (3)将直线绕着点A逆时针旋转得到直线，直线与y轴交于点，将沿直线翻折得到，当四边形为正方形时停止转动，求转动过程中点C运动到点的路径长． 【答案】(1)； (2) (3)7π 【分析】（1）令x=0和y=0可得点A，B的坐标； （2）如图1，过点C作CM⊥x轴于M，计算∠ABO=30°，根据翻折的性质和含30°角的性质可得点C的坐标，代入反比例函数y=可得k的值； （3）如图2，正确画图，发现：转动过程中点C运动到点C′的路径长是以A为圆心，AC为半径的210°的弧长，根据弧长公式可解答． 【详解】（1）当时，，则， 当时，，解得，则． （2）如图1，过点C作CM⊥x轴于M， Rt△ABO中，OA=6，OB=6， ∴， ∴∠ABO=30°， ∴∠BAO=60°． 由翻折得：∠BAC=∠BAO=60°，∠AOB=∠ACB=90°，AC=OA=6， ∴∠CAM=60°， ∴∠ACM=90°-60°=30°， ∴， 由勾股定理得：， ∵OM=OA+AM=6+3=9， ∴点C的坐标为， ∴； （3）如图2， ∵四边形OAC'B'是正方形， ∴OA=AC'=6，∠OAC'=90°， ∵∠OAC=2×60°=120°， ∴转动过程中点C运动到点C′的路径长是以A为圆心，AC为半径的210°的弧长， 则转动过程中点C运动到点C′的路径长= 7π． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题12 反比例函数与几何综合问题 重难点一 反比例函数图象上的单点面积计算问题 1.过双曲线上一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积； 2.该点与原点、垂足组成直角三角形面积，直接套用两个固定公式直接求解。 1．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，点A是反比例函数图象上任意一点，轴，点C是x轴上的动点，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 3．如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 5．如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为______． 重难点二 反比例函数图象上的双点面积计算问题 1.同一双曲线上两点构成不规则三角形，可用外围矩形割补法求面积； 2.也可直接使用坐标通用面积公式整体列式计算。 1．如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．9 D．13 2．如图，A，B为反比例函数 图象上任意两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，设和的面积分别为，，则（     ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，正方形和正方形的顶点B、E在双曲线上，连接，则的值为（　　） A．3 B． C．4 D． 4．如图，两点在反比例函数的图象上，分别经过两点向两坐标轴作垂线段，已知，则空白部分的值为______． 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，在x轴的正半轴上，，过点C的反比例函数的图象与交于点D．则的面积为______．    重难点三 与两曲线上的点有关的面积计算 1.两点分别在、两条双曲线上，分别用表示基础图形面积， 2.利用水平宽、铅垂高，通过面积和差组合求解整体面积。 1．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 2．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．如图，点在双曲线上， 点在双曲线 上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为（  ） A．6 B．12 C．8 D．18 4．如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，连接，与轴交于点，且轴，，是正半轴上一点，连接，，则的面积为（    ）    A．3 B． C． D． 5．如图，点A在函数的图象上，作 轴交函数的图象于点C，四边形的面积为 _____． 6．如图，直线与轴平行且分别与反比例函数，的图象交于点和点，点是轴上的一个动点，则的面积为______． 重难点四 根据面积求K的值 1.依据图形面积结合、或割补得到的面积关系式列方程； 2.根据双曲线所在象限判断正负，去掉绝对值符号解出。 1．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别位于轴、轴的正半轴上，分别是的中点，反比例函数经过点，若四边形的面积为，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 5．如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 7．如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 8．如图，点A为x轴正半轴上一点，点B为反比例函数上一点，轴交y轴于点C，延长交反比例函数于点D，若点B恰好为中点，且面积为9，则k的值为________． 重难点五 反比例函数中的最小值问题 1.多为将军饮马最值模型，作出定点关于坐标轴的对称点； 2.依据两点之间线段最短，连线与双曲线交点即为取得线段和、周长最小值的动点。 1．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______． 3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是7的正方形的两边分别相交于D，E两点，的面积为24，若动点P在x轴上，则的最小值是_______． 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长等于6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，的面积是16，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向右运动，记运动时间为t，当_______s时，最小． 5．如图，点、都在反比例函数的图象上，点是直线上的一个动点，则的最小值是______． 6．如图，是双曲线在第二象限上的一动点，的延长线与双曲线的另一支相交于点，取点在第一象限，且，则的最小值为______． 7．如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 8．如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)直接写出的值和点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值． 重难点六 反比例函数中的存在性问题 1.平行四边形利用中点公式分三类讨论； 2.直角三角形利用垂直坐标关系分类找点； 3.等腰三角形利用距离公式平方列式； 4.相似三角形依靠对应边成比例求解坐标，再代入检验。 1．如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点O与坐标原点重合，顶点B在x轴正半轴上，点D是的中点，反比例函数 的图像经过点D． (1)求的长及k的值； (2)反比例 的图像上存在点E，使得的面积为，求点E的坐标． 3．如图，点、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点，使的面积等于3？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C，轴于点E，． (1)求k的值； (2)点F为x轴上一点（在点E的右侧），过点F作x轴的垂线，与一次函数图象交于点M，与反比例函数图象交于点N，若四边形为平行四边形，求的长； (3)在x轴的正半轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，则说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，轴，垂足为点． (1)求出点，，的坐标； (2)若点是反比例函数图象上的一个动点且位于点右侧，连接，过点作轴，垂足为点．是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，，反比例函数上的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)若点为反比例函数图象上一个动点，点为轴上一个动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)由图像可知，当x 时，； (2)求出a，k的值； (3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值； (4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，矩形的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，点在边上，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，E．且， (1)求反比例函数的解析式和n的值． (2)线段上是否存在一点M．使得四边形的面积等于的面积?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为． (1)求，的值： (2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以为边向上作正方形，顶点A在直线上，双曲线经过点A，且与边交于点E.    (1)若，求k的值和点E的坐标； (2)连接、. ①若的面积为24，求k的值； ②是否存在某一位置使得，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 12．一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标； (3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 重难点七 反比例函数中的几何变换 1.平移变换遵循坐标规律，反比例值不变； 2.折叠变换利用折痕垂直平分对应点连线，结合中点公式与垂直等量关系构建方程组，联立求解变换后的动点坐标。 1．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、坐标分别是、、，顶点在函数（）的图像上．    (1)求的值； (2)将沿y轴向上平移，当顶点落在（）的图像上时，边与该函数图象相交于点，连接，求此时的面积． 2．如图，四边形是平行四边形，点在轴的负半轴上，，，且，反比例函数的图象经过点，    (1)求的值； (2)把沿经过、两点的直线折叠到第一象限，点的对应点为，请判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 3．已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． (1)若，请直接写出当时，x的取值范围； (2)如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值； (3)在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离． 4．如图，在平面直角坐标系内，已知，． (1)点的坐标为（____，____）； (2)将绕点顺时针旋转度． ①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； ②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 5．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线翻折后，设点O的对应点为点C，已知双曲线经过点C． (1)求点A，B的坐标． (2)求k的值． (3)将直线绕着点A逆时针旋转得到直线，直线与y轴交于点，将沿直线翻折得到，当四边形为正方形时停止转动，求转动过程中点C运动到点的路径长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $