期中综合测评（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 高中数学期中测评覆盖集合、函数等基础知识点，通过抽象函数（如第5题yf(x)-xf(y)=x-y）、实际利润问题（第18题）等设计，考查数学抽象、逻辑推理与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|命题否定、集合运算、充要条件|基础概念辨析，如第3题结合充分必要条件考查逻辑思维| |多选|3/18|命题真假判断、不等式性质|多维度辨析，如第10题通过假命题考查不等式推理| |填空|3/15|函数单调性、恒成立问题|综合应用，如第13题结合基本不等式求参数范围| |解答|5/77|集合运算、函数解析式、利润模型|分层设计，如第17题证明单调性（推理能力）、第18题构建利润函数（应用意识）|

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 期中综合测评 1.全卷满分150分。考试用时120分钟。 2.考试范围:第一章~第三章。 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题“∃x∈R,x3-2x-1>0”的否定是(　　) A.∃x∈R,x3-2x-1<0　　B.∀x∈R,x3-2x-1≤0 C.∃x∈R,x3-2x-1≤0　　D.∀x∈R,x3-2x-1<0 2.已知集合A={x|3<x<7},B={x|(x-2)(x-5)<0},则A∩B=(　　) A.{x|2<x<7}　　B.{x|x≤2或x≥7}　　 C.{x|3<x<5}　　D.{x|x≤3或x≥5} 3.已知a,b∈R,则“a<0,b>0”是“ab<0”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 4.下列四组函数中,是同一个函数的一组是(　　) A. f(x)=,g(x)=x-1　　B. f(x)=,g(x)=()2 C. f(x)=x2-2,g(t)=t2-2　　D. f(x)=x0,g(x)=1 5.已知函数f(x)满足∀x,y∈R,yf(x)-xf(y)=x-y,且f(0)+f(1)=0,则f(2)=(　　) A.6　　B.5　　C.4　　D.3 6.已知x,y,z都是正数,则的最小值为(　　) A.2　　B.3　　C.8　　D.9 7.若幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则函数f(x-1)-[f(x)]2的最大值为　(　　) A.　　B.-　　C.-　　D.-1 8.已知f(x)=x-2,g(x)=若∀n∈R,∃x0∈R,使g(x0)=f(n),则实数m的取值范围是(　　) A.　　B.[1,+∞)　　C.　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列说法正确的是(　　) A.命题“∀x∈R,x2-x+>0”是真命题 B.命题“∃x∈R,使得x2+1=0”是假命题 C.A⊆B是A∩B=A的充要条件 D.a=是集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素的充要条件 10.下列命题为假命题的是(　　) A.若a>b>0,则ac2≥bc2　　B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2　　D.若a<b<0,则< 11.已知函数f(x),g(x)的定义域为R, f(2-x)+g(x)=5,且g(x+2)-f(x-2)=7,若函数g(x+2)为偶函数,g(2)=4,则(　　) A. f(x)为奇函数　　 B. f(1)=1 C. f(x)=f(x+4)　　 D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=-2 025 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知函数f(x)=x2-2ax+3在区间[3,7]上单调,则实数a的取值范围是　　　　.  13.若正实数x,y满足x+y=3,且不等式+>|m-1|+4恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.  14.设f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,满足>0,若f(2)=8,则不等式f(x)->0的解集为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B={x|x2-3x≤4},全集U=R. (1)当a=1时,求A∪(∁UB); (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a,a∈R. (1)若不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<4},求a的值; (2)求关于x的不等式f(x)≥0的解集. 17.(15分)已知函数f(x)=是(-3,3)上的奇函数. (1)求实数a的值,并用定义证明函数f(x)在(0,3)上单调递增; (2)若13f(2b-1)<2,求实数b的取值范围. 18.(17分)某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收入R(x)(单位:元)与月产量x(单位:台)满足函数R(x)= (1)将利润P(x)(单位:元)表示为月产量x的函数;(利润=总收入-总成本) (2)记g(x)=为月平均单台利润(单位:元),当月产量为多少台时,公司所获月平均单台利润最大?最大月平均单台利润为多少元? 19.(17分)已知幂函数f(x)=(n∈N)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=+2tx+3. (i)若x∈R,讨论|g(x)|的最小值; (ii)若函数y=g(x)的定义域为[2,6],求g(x)的最小值G(t). 答案全解全析 1.B　命题“∃x∈R,x3-2x-1>0”的否定为“∀x∈R,x3-2x-1≤0”. 2.C　解不等式(x-2)(x-5)<0,可得2<x<5,即B={x|2<x<5},所以A∩B={x|3<x<5}. 3.A　若a<0,b>0,则ab<0成立,但由ab<0不一定得到a<0,b>0,取a=1,b=-1,满足ab<0,但此时a>0,b<0. 故“a<0,b>0”是“ab<0”的充分不必要条件. 4.C　对于A, f(x)=的定义域为{x|x≠0},g(x)=x-1的定义域为R,这两个函数的定义域不同,不是同一个函数,故A错误; 对于B, f(x)=的定义域为R,g(x)=()2的定义域为{x|x≥0},这两个函数的定义域不同,不是同一个函数,故B错误; 对于C, f(x)=x2-2的定义域为R,g(t)=t2-2的定义域为R,这两个函数的定义域相同,且对应关系也相同,所以是同一个函数,故C正确; 对于D, f(x)=x0的定义域为{x|x≠0},g(x)=1的定义域为R,这两个函数的定义域不同,不是同一个函数,故D错误. 5.D　对于yf(x)-xf(y)=x-y,x,y∈R, 令x=0,可得yf(0)=-y,故f(0)=-1, 因为f(0)+f(1)=0,所以-1+f(1)=0,解得f(1)=1, 令y=1,可得f(x)-x=x-1,则f(x)=2x-1, 则f(2)=2×2-1=3. 6.C　由题意得, =≥=8, 当且仅当x=y=z时等号成立, 则的最小值为8. 7.C　设幂函数f(x)=xα,α∈R, 因为函数f(x)的图象过点(2,), 所以2α=,所以α=,故f(x)=, 所以f(x-1)-[f(x)]2=-x. 令=t(t≥0),所以x=1+t2,-x=t-(1+t2). 令y=t-(1+t2)=-(t≥0), 所以当t=时,ymax=-. 8.B　由f(x)=x-2,可知f(x)的值域为R,又∀n∈R,∃x0∈R,使g(x0)=f(n),所以g(x)的值域也为R,对于函数y=-x2+2mx+2,其图象开口向下,对称轴方程为x=m, 则当m≤1时,g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以若x∈(1,+∞),则g(x)<g(1)=1+2m,且当x→+∞时,g(x)→-∞; 当m>1时,g(x)在(1,m)上单调递增,在[m,+∞)上单调递减,所以若x∈(1,+∞),则g(x)max=g(m)=m2+2. 当x≤1时,g(x)=(2-3m)x+4,且g(1)=6-3m, 所以要使函数g(x)的值域为R, 则需或解得m=1或m>1. 综上,满足题意的实数m的取值范围是[1,+∞). 9.BC　对于A,因为x=时,x2-x+=0,所以命题“∀x∈R,x2-x+>0”是假命题,故A错误; 对于B,因为∀x∈R,x2+1≥1>0,所以命题“∃x∈R,使得x2+1=0”是假命题,故B正确; 对于C,A⊆B⇔A∩B=A,即A⊆B是A∩B=A的充要条件,故C正确; 对于D,当a=0时,ax2+x+1=0即x+1=0,得x=-1,所以A={-1},满足集合A中只有一个元素,故D错误. 10.CD　A选项,易知c2≥0,a>b两边同乘c2,得ac2≥bc2,A为真命题; B选项,a>b>0,则a+b>0,a-b>0,故a2-b2=(a+b)(a-b)>0,所以a2>b2,B为真命题; C选项,a<b<0时,对a<b两边同乘a得a2>ab,a<b两边同乘b得ab>b2,所以a2>ab>b2,C为假命题; D选项,若a<b<0,则b-a>0,ab>0,故-=>0,所以>,D为假命题. 11.CD　由f(2-x)+g(x)=5得f(-x)+g(x+2)=5①, 又g(x+2)-f(x-2)=7②, 所以由①-②,可得f(-x)+f(x-2)=-2③, 因为函数g(x+2)为偶函数,所以g(-x+2)=g(x+2). 对于A,由①得g(x+2)=5-f(-x),则g(-x+2)=5-f(x), 所以5-f(x)=5-f(-x),即f(-x)=f(x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)为偶函数,故A错误. 对于C,将f(-x)=f(x)代入③,得f(x)+f(x-2)=-2④,则有f(x+2)+f(x)=-2,则f(x+2)=f(x-2),则f(x+4)=f(x),故C正确. 对于B,在④中,取x=1,得f(1)+f(-1)=-2,因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),故f(1)=-1,故B错误. 对于D,在①中,令x=0,得f(0)=5-g(2)=1, 在④中,令x=2,得f(2)=-2-f(0)=-3, 令x=3,得f(3)+f(1)=-2,即f(3)=-1, 令x=4,可得f(4)+f(2)=-2,即f(4)=1, 由C选项知,4是函数y=f(x)的一个周期,且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-1-3-1+1=-4, 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=506×(-4)+(-1)=-2 025,故D正确. 12.答案　{a|a≤3或a≥7} 解析　函数f(x)=x2-2ax+3的图象开口向上,对称轴方程是x=a, ∵f(x)=x2-2ax+3在区间[3,7]上单调, ∴a≤3或a≥7. 13.答案　(-1,3) 解析　因为不等式+>|m-1|+4恒成立, 所以>|m-1|+4, 因为正实数x,y满足x+y=3,所以+=1, 所以+==++≥+2=6,当且仅当=,即x=1,y=2时等号成立,所以=6. 所以6>|m-1|+4,即|m-1|<2, 所以-2<m-1<2,解得-1<m<3, 则实数m的取值范围是(-1,3). 14.答案　(-2,0)∪(2,+∞) 解析　令F(x)=xf(x),由f(x)是定义在R上的奇函数, 可得F(x)是定义在R上的偶函数, 由对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,满足>0, 可得F(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以F(x)在(-∞,0)上单调递减, 由f(2)=8,可得F(2)=16,则F(-2)=16, 不等式f(x)->0,即为>0,即>0, 可得或即x>2或-2<x<0, 所以所求不等式的解集为(-2,0)∪(2,+∞). 15.解析　(1)由x2-3x≤4得x2-3x-4=(x-4)(x+1)≤0,解得-1≤x≤4,则B={x|-1≤x≤4},(2分) 则∁UB={x|x<-1或x>4},(3分) 当a=1时,A={x|0≤x≤5}, 则A∪(∁UB)=(-∞,-1)∪[0,+∞).(6分) (2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,(8分) 当A=⌀时,满足A⊆B,此时a-1>2a+3,解得a<-4;(10分) 当A≠⌀时,由A⊆B得解得0≤a≤.(12分) 综上,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪.(13分) 16.解析　(1)因为不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<4}, 所以f(x)=0的两个实数根为1,4,(3分) 故解得a=4.(6分) (2)f(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).(8分) 当a<1时,由f(x)≥0得x≤a或x≥1;(10分) 当a=1时,不等式化为(x-1)2≥0,解集为R;(12分) 当a>1时,由f(x)≥0得x≤1或x≥a. 综上所述,当a<1时,不等式的解集为{x|x≤a或x≥1};当a=1时,不等式的解集为R;当a>1时,不等式的解集为{x|x≤1或x≥a}.(15分) 17.解析　(1)由题意得f(0)==0,解得a=0,(2分) 则f(x)=, 因为定义域为(-3,3),关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)=是奇函数.故a=0.(4分) 任取x1,x2∈(0,3),x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==,(6分) 因为0<x1<x2<3, 所以x2-x1>0,x2x1-9<0,(+9)(+9)>0, 故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故函数f(x)在(0,3)上单调递增.(8分) (2)不等式13f(2b-1)<2等价于f(2b-1)<=f(2),(11分) 因为函数f(x)在(0,3)上单调递增,且为(-3,3)上的奇函数,所以函数f(x)在(-3,3)上单调递增,(13分) 故有-3<2b-1<2,解得-1<b<, 即实数b的取值范围为.(15分) 18.解析　(1)由题意知,当月产量为x台时,需增加投入100x元, 所以P(x)=R(x)-100x-20 000(3分) = =(7分) (2)g(x)==(9分) ①当1≤x≤300时,g(x)=-x-+300 =-+300≤-×2+300=100,当且仅当x=,即x=200时取等号,此时g(x)的最大值为100.(12分) ②当x>300时,g(x)=-200,则g(x)在(300,+∞)上单调递减,所以g(x)<-200=<100.(15分) 综上,当月产量为200台时,公司所获月平均单台利润最大,最大月平均单台利润为100元.(17分) 19.解析　(1)因为幂函数f(x)=(n∈N)在区间(0,+∞)上单调递增, 所以-3n2+9>0(n∈N),故n=0或n=1,(3分) 当n=0时, f(x)=x9,此时f(x)为奇函数,不满足题意,故舍去; 当n=1时, f(x)=x6,是偶函数,满足题意, 故f(x)=x6.(5分) (2)(i)由(1)可得g(x)=x2+2tx+3=(x+t)2+3-t2,(6分) 当3-t2≥0,即-≤t≤时,g(x)≥0恒成立,则|g(x)|=g(x), 所以|g(x)|的最小值即g(x)的最小值,为3-t2,且在x=-t时取到;(8分) 当3-t2<0,即t>或t<-时,g(x)的最小值为负数, 故|g(x)|的图象是将g(x)的图象位于x轴下方的部分向上翻折,其余部分图象保持不变而得到, 故此时|g(x)|的最小值为0.(10分) 综上,|g(x)|min=(11分) (ii)函数g(x)=x2+2tx+3在R上的图象的对称轴方程为x=-t,当-t≤2,即t≥-2时,函数y=g(x)在区间[2,6]上单调递增,所以G(t)=g(2)=4t+7;(12分) 当2<-t<6,即-6<t<-2时, 函数y=g(x)在区间[2,-t]上单调递减,在区间[-t,6]上单调递增,所以G(t)=g(-t)=-t2+3;(14分) 当-t≥6,即t≤-6时,函数y=g(x)在区间[2,6]上单调递减,所以G(t)=g(6)=12t+39.(16分) 综上,G(t)=(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $