第一章 集合与常用逻辑用语（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学“集合与常用逻辑用语”，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，全面考查集合运算、逻辑推理等核心知识，适配单元复习，助力数学抽象与逻辑思维培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合关系（如第1题元素与集合关系）、命题否定（第2题全称命题否定）|基础概念辨析，注重数学抽象| |多项选择|3/18|集合运算（第9题交并补）、元素互异性（第10题含5的集合）|多选项设计，考查逻辑严谨性| |填空|3/15|集合交集（第12题A∩B=⌀求参数）、命题真假（第13题假命题求a范围）|情境简洁，突出运算能力| |解答题|5/77|充要条件证明（第16题a⁴-b⁴-2b²=1的充要条件）、新定义应用（第18题数域性质）|综合应用，体现创新意识与推理能力|

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第一章　集合与常用逻辑用语 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x|x2-1=0},下列关系式错误的是(　　) A.1∈A　　B.{-1}∈A　　C.⌀⊆A　　D.{-1,1}⊆A 2.命题“∀x>0,x2+2x-3>0”的否定是(　　) A.∃x>0,x2+2x-3≤0　　B.∃x≤0,x2+2x-3<0 C.∀x≤0,x2+2x-3≤0　　D.∀x>0,x2+2x-3<0 3.设全集U={x∈N*|x≤7},集合A={1,2,5},B={3,5,6},则(∁UA)∩B的子集个数为(　　) A.3　　B.4　　C.7　　D.8 4.设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|≤1”的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 5.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.4　　B.8　　C.7　　D.16 6.已知命题p:∀x>0,x2>x,命题q:∃x<0,x3+1>0,则(　　) A.p和q均为真命题　　B.¬p和q均为真命题 C.p和¬q均为真命题　　D.¬p和¬q均为真命题 7.当一个非空数集G满足:如果a,b∈G,那么a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时,∈G,我们称G是一个数域.有以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域G有非零元素,则2 024∈G;③集合P={x|x=2k,k∈Z}是一个数域;④有理数集是一个数域.其中正确的是(　　) A.①②④　　B.②③④　　C.①④　　D.①② 8.集合M={2 025,1 111,-2 028,150,-1,584,0,3}有8个元素,设M的所有非空子集为Mi(i=1,2,…,255),Mi中所有元素的乘积为mi,则m1+m2+m3+…+m255=(　　) A.0 　　B.1 　　C.-1 　　D.2 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知非空集合A,B,C都是R的子集,满足B⊆A,A∩C=⌀,则(　　) A.A∪B=A　　 B.A∩(∁RC)=A　　 C.B∩C=B　　 D.B∩(∁RC)=B 10.设集合A={-3,x+2,x2-4x},若5∈A,则x的值可以为(　　) A.3　　B.-1　　C.5　　D.-3 11.给定实数集A,定义集合M={m∈R|∀a∈A,都有m≥a},若M是非空集合,则称集合M中最小的元素为集合A的上确界,记作sup A.以下说法正确的是(　　) A.若数集A中有2 024个元素,则数集A一定有上确界 B.若数集A中元素没有最大值,则数集A一定没有上确界 C.若数集A,B均有上确界,则数集{a+b|a∈A,b∈B}一定也有上确界,为sup A+sup B D.若数集A,B均有上确界,则数集{ab|a∈A,b∈B}一定也有上确界,为sup Asup B 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知集合A={x|-1<x≤2},B={x|m-1≤x<m+2}.若A∩B=⌀,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  13.命题p:∀x∈R,x2-2x+a≠0是假命题,则实数a的取值范围为　　　　.  14.用C(A)表示非空集合A中的元素的个数,定义A*B=|C(A)-C(B)|,已知A={x|x2-2 024x-2 025=0},B={x|(2x2+ax)(x2+2ax+6)=0},若A*B=1,a的所有可能取值构成集合M,则C(M)=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知命题p:关于x的方程x2-2ax+a2+2a-8=0有实数根. (1)若p是真命题,求实数a的取值范围; (2)记p是真命题时,实数a的取值集合为M,若集合N={a|m-2≤a≤m+8},“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 16.(15分)已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1. 17.(15分)设集合A={x|x2-3x+2=0},非空集合B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的值. 18.(17分)非空集合A是正实数集的子集,满足对任意的x∈A,总有∉A,记集合T(A)=(x,y)x∈A,y∈A,∈A. (1)求证:对任意的x∈A,(x,x)∉T(A); (2)若T(A)中只有1个元素(a,b),求证:a=b2; (3)若集合A={a,b,c,d,e},且a<b<c<d<e,T(A)中恰有10个元素,求证:c2=ae. 19.(17分)已知n为正整数,集合Mn={(x1,x2,…,xn)|xi∈{0,1},i=1,2,…,n},对于Mn中任意两个元素α=(a1,a2,…,an)和β=(b1,b2,…,bn),定义:α-β=(|a1-b1|,|a2-b2|,…,|an-bn|),d(α,β)=|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|. (1)当n=3时,设α=(1,0,1),β=(0,1,1),写出α-β,并计算d(α,β); (2)若集合S满足S⊆M2,且∀α,β∈S,d(α,β)=2,求集合S中元素个数的最大值,并写出此时的集合S; (3)若α,β∈Mn,任取γ∈Mn,证明:d(α-γ,β-γ)=d(α,β). 答案全解全析 1.B　∵A={x|x2-1=0}={1,-1},∴1∈A,{-1}⊆A,⌀⊆A,{-1,1}⊆A,故B错误,A,C,D正确. 2.A　由全称量词命题的否定为存在量词命题,可知原命题的否定为∃x>0,x2+2x-3≤0. 3.B　因为U={x∈N*|x≤7}={1,2,3,4,5,6,7},所以∁UA={3,4,6,7},所以(∁UA)∩B={3,6},所以(∁UA)∩B的子集个数为22=4. 4.D　由|x-1|≤1可得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2, 因为由“0<x<5”推不出“0≤x≤2”,且由“0≤x≤2”推不出“0<x<5”, 所以“0<x<5”是“|x-1|≤1”的既不充分也不必要条件. 5.B　由已知得A={x|x2-5x+6=0}={x|(x-2)(x-3)=0}={2,3},B={x|0<x<6,x∈N}={1,2,3,4,5},因为A⊆C⊆B,所以C中一定含有元素2,3,可能含有元素1,4,5,所以C的个数即为集合{1,4,5}的子集个数,为23=8. 6.B　对于命题p,当x=1时,x2=x,所以p为假命题,则¬p为真命题; 对于命题q,当x=-时,x3+1=>0,所以q为真命题. 综上可知,¬p和q均为真命题. 7.A　当a=b,且a,b∈G时,a-b=0∈G, 所以0是任何数域的元素,故①正确; 当a=b≠0,且a,b∈G时,由数域的定义知=1∈G, 所以1+1=2∈G,1+2=3∈G,……,1+2 023=2 024∈G,故②正确; 当a=2,b=4时,=∉P,故③错误; 如果a,b∈Q,那么a+b,a-b,ab∈Q,且当b≠0时,∈Q,所以有理数集是一个数域,故④正确. 8.C　M的所有非空子集为Mi(i=1,2,…,255)分为以下几种情况: ①含0的子集有27=128个,这些子集中的元素均满足乘积为0; ②不含0,不含-1,但含有其他元素的子集,有26-1=63(去掉空集)个; ③不含0,含有-1且含有其他元素的子集,有26-1=63个; ④只含-1的子集有一个,即{-1},元素乘积为-1. 其中②③中的集合是一一对应的,且元素乘积为相反数,其乘积之和为0. 综上,m1+m2+m3+…+m255=0×128+0+(-1)=-1. 9.ABD　作出Venn图,如图所示: 由图可知A∪B=A,A∩(∁RC)=A,B∩C=⌀,B∩(∁RC)=B,因此A、B、D正确,C错误. 10.BC　若5∈A,则x+2=5或x2-4x=5. 若x+2=5,则x=3,此时x2-4x=9-12=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去. 若x2-4x=5,则x=-1或x=5, 当x=-1时,A={-3,1,5},符合题意; 当x=5时,A={-3,7,5},符合题意. 综上所述,x=-1或x=5. 11.AC　对于A,若数集A中有2 024个元素,则数集A中的元素一定有最大值,所以数集A一定有上确界,故A正确; 对于B,若A=xx=,n>1,当n>1时,x=<1, 所以sup A=1,即数集A有上确界,故B错误; 对于C,若数集A,B均有上确界,则设sup A=p,sup B=q, 由上确界的定义可知,∀a∈A,b∈B,都有a≤p,b≤q, 所以a+b≤p+q,即sup{a+b|a∈A,b∈B}=p+q=sup A+sup B,故C正确; 对于D,若A={-2,-1},B={1,2},则数集A,B有上确界,且sup A=-1,sup B=2,此时{ab|a∈A,b∈B}={-4,-2,-1},则sup{ab|a∈A,b∈B}=-1,而sup Asup B=-2,故D错误. 12.答案　{m|m>3或m≤-3} 解析　因为m+2-(m-1)=3,所以B≠⌀,要使A∩B=⌀, 则需m-1>2或m+2≤-1,解得m>3或m≤-3. 13.答案　{a|a≤1} 解析　因为命题p:∀x∈R,x2-2x+a≠0为假命题, 所以¬p:∃x∈R,x2-2x+a=0为真命题,即方程x2-2x+a=0有实数解, 故Δ=4-4a≥0,解得a≤1,即a的取值范围为{a|a≤1}. 14.答案　5 解析　由x2-2 024x-2 025=0得(x-2 025)(x+1)=0,解得x=2 025或x=-1,则A={-1,2 025},即C(A)=2. ∵A*B=|C(A)-C(B)|=1, ∴C(B)=3或C(B)=1. 由(2x2+ax)(x2+2ax+6)=0得x(2x+a)(x2+2ax+6)=0.① 当a=0时,方程为2x2(x2+6)=0,所以x=0, 此时B={0},C(B)=1,符合题意. 当a≠0时,由①得x=0或x=-或x2+2ax+6=0, 因为-≠0,所以C(B)≠1,故C(B)=3. 当方程x2+2ax+6=0有两个不等实根时,Δ=(2a)2-4×6>0,解得a<-或a>,显然x=0不是x2+2ax+6=0的实根,则x=-是方程x2+2ax+6=0的一个实根,则+2a+6=0,解得a=±2,经检验,满足题意; 当方程x2+2ax+6=0有两个相等实根时,Δ=(2a)2-4×6=0,得a=±,经检验,满足题意. 综上所述,M={0,,-,2,-2},∴C(M)=5. 15.解析　(1)当p为真命题时,x2-2ax+a2+2a-8=0有实数根,即Δ=(-2a)2-4(a2+2a-8)=-8a+32≥0,(4分) 解得a≤4,即实数a的取值范围是{a|a≤4}.(7分) (2)由(1)知,M={a|a≤4}, 因为N={a|m-2≤a≤m+8},“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件,所以N⫋M,(10分) 因此m+8≤4,解得m≤-4, 即实数m的取值范围是{m|m≤-4}.(13分) 16.证明　充分性:若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,充分性成立.(5分) 必要性:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b4+2b2+1)=0,∴a4-(b2+1)2=0,(8分) ∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,(10分) ∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2-1=0,(12分) 即a2-b2=1,必要性成立.(14分) 综上,a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.(15分) 17.解析　(1)x2-3x+2=0即(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2,所以A={1,2}.(2分) 因为B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0},A∩B={2}, 所以4+2(a-1)+a2-5=0,即a2+2a-3=0, 解得a=1或a=-3,(4分) 当a=1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},符合A∩B={2}; 当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},符合A∩B={2}. 综上,a=1或a=-3.(7分) (2)若A∪B=A,则B⊆A.由(1)知A={1,2},因为B≠⌀,所以B={1}或B={2}或B={1,2}.(9分) 当B={1}时,有无解;(11分) 当B={2}时,有得a=-3;(13分) 当B={1,2}时,有无解. 综上,实数a的值为-3.(15分) 18.证明　(1)假设x0∈A,(x0,x0)∈T(A). 由题意得x0>0,=1∈A.(2分) 因为对任意的x∈A,∉A, 所以取x=1∈A,得∉A,矛盾, 所以假设不成立,故对任意的x∈A,(x,x)∉T(A).(5分) (2)由(a,b)∈T(A),得a,b>0,a,b∈A,∈A,(7分) 显然=b,由定义知∈T(A),(9分) 又T(A)中只有一个元素,所以必有(a,b)=,即b=, 所以a=b2.(11分) (3)易得A的二元子集有{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e},共10个. 因为对任意的x∈A,总有∉A,所以1∉A, 同时,若(p,q)∈T(A),则∈A,从而∉A,所以必有(q,p)∉T(A).(12分) 因为T(A)中恰有10个元素,所以A的每个二元子集中的元素组成的数对都是T(A)中的一个元素,即对任意的p,q∈A,若p≠q,则(p,q)∈T(A)或(q,p)∈T(A),即∈A或∈A.(14分) 若a<1<e,则<a<e<,此时∉A且∉A,与上述结果矛盾,所以0<a<e<1或1<a<e.(15分) 当0<a<e<1时,A中所有元素都小于1,于是对任意的p,q∈A,若p>q>0,则1<,故∉A,所以必有∈A,此时a<<<<,故a,,,,是A中的五个不同的元素,所以=b,=c,=d,=e,解得e2=d,e3=c,e4=b,e5=a,因此c2=e6=ae.(16分) 当1<a<e时,A中所有元素都大于1,于是对任意的p,q∈A,若p>q>0,则1>,故∉A,所以必有∈A,此时<<<<e,故,,,,e是A中的五个不同的元素,所以=a,=b,=c,=d,解得a2=b,a3=c,a4=d,a5=e,因此c2=a6=ae. 综上所述,c2=ae.(17分) 19.解析　(1)α-β=(1,1,0),d(α,β)=2.(3分) (2)当α=(0,0)时,由d(α,β)=2可得β=(1,1);(5分) 当α=(0,1)时,同理可得β=(1,0);(7分) 当α=(1,1)时,β=(0,0);当α=(1,0)时,β=(0,1). 所以集合S中元素个数的最大值是2,(9分) 此时S={(0,0),(1,1)}或S={(0,1),(1,0)}.(10分) (3)证明:设α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),γ=(c1,c2,…,cn), 则ai,bi,ci∈{0,1},|ai-ci|,|bi-ci|∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),(12分) 所以α-γ=(|a1-c1|,|a2-c2|,…,|an-cn|)∈Mn, β-γ=(|b1-c1|,|b2-c2|,…,|bn-cn|)∈Mn, 所以d(α-γ,β-γ)=||a1-c1|-|b1-c1||+||a2-c2|-|b2-c2||+…+||an-cn|-|bn-cn||,(14分) 当ci=0时,||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|(i=1,2,3,…,n); 当ci=1时,||ai-ci|-|bi-ci||=|(1-ai)-(1-bi)|=|ai-bi|(i=1,2,3,…,n). 所以d(α-γ,β-γ)=d(α,β).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $