第四章 指数函数与对数函数（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 本单元卷聚焦指数函数与对数函数，融合AI算力、普洱茶冲泡等真实情境，适配高中数学第四章复习，全面考查运算求解、逻辑推理及数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|二分法、函数图像对称、对数运算|结合精确度考查二分法应用（题1）| |多项选择|3/18|对数命题判断、函数定义域|定义区间长度考查数学抽象（题11）| |填空|3/15|函数奇偶性、最值|通过偶函数性质简化运算（题12）| |解答|5/77|函数模型、综合应用|普洱茶温度数据建模考查数据分析（题16）|

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 第四章　指数函数与对数函数 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的正数零点的近似值时,得到参考数据如下: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.415)≈0.005 4 f(1.406)≈-0.056 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.01)可以是(　　) A.1.25　　B.1.375　　C.1.41　　D.1.5 2.函数y=-2x与y=的图象(　　) A.关于x轴对称　　B.关于y轴对称　　 C.关于直线y=x对称　　D.关于原点对称 3.已知log23=a,log27=b,则log4256用a,b可表示为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 4.设a=0.50.4,b=log0.50.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c　　B.c<b<a　　C.c<a<b　　D.b<c<a 5.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破,以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长,现有一台计算机每秒能进行×1012次运算,用它处理一段自然语言的翻译,需要进行2126次运算,那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为(参考数据:lg 2≈0.301,100.829≈6.745)(　　) A.6.745×1022秒　　B.6.745×1023秒　　 C.6.745×1025秒　　D.6.745×1021秒 6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时, f(x)=-x,则不等式f(x-2)<4的解集为(　　) A.(1,3)　　B.(-∞,3)　　 C.(1,+∞)　　D.(-∞,1)∪(3,+∞) 7.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2]　　B.　　 C.　　D. 8.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,使得f(x2)=2f(x1),则x1·f(x2)的取值范围是(　　) A.　　B.　　 C.[4,+∞)　　D.∪[4,+∞) 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列命题中正确的是(　　) A.-+-=-45 B.2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2=1 C.若xlog34=1,则4x+4-x= D.若2m=3n=k且+=2,则k=6 10.已知函数f(x)=a·+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则(　　) A.a=-2,b=2　　B. f(x)的值域为[0,2) C.若x<y<0,则f(x)<f(y)　　D.若f(x)=f(y),且x≠y,则x+y=0 11.定义区间(α,β)的长度为β-α,记函数f(x)=lg[ax-(1+a2)x2](其中a>0)的定义域的长度为L(a),则下列说法正确的有(　　) A.L(a)= B.L(a)的值域为 C.L(a)在(0,1)上单调递增 D.给定常数k∈(0,1),当a∈[1-k,1+k]时,L(a)的最小值为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.若f(x)为定义在R上的偶函数,函数g(x)=f(x)(ex-e-x)+2,则g(-2 026)+g(2 026)=　　　　　.  13.已知a∈R,函数f(x)=|2x+22-x-a|+a在区间[0,2]上的最大值是5,则a的取值范围是　　　　　.  14.已知函数f(x)=若方程1-m2+2mf(x)=[f(x)]2有且仅有5个不同的实数根,则实数m的取值范围是　　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)求值: (1)-(-9.6)0-+1.5-2; (2)log25×log45-lo3-log24+. 16.(15分)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种普洱茶用95 ℃的水冲泡,等茶水温度降至60 ℃饮用,口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1分钟测量一次茶水温度,得到茶水温度y(单位:℃)与时间t(单位:分钟)的部分数据如表所示: 时间t/分钟 0 1 2 3 4 5 茶水温度y/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型:①y=at+b(a<0),②y=a·bt+d(a>0,0<b<1),③y=loga(t+b)+c(b>0,a>1),请根据上表中的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并利用前3组数据求出相应的解析式; (2)根据(1)中所求模型,解决下列问题. (i)推测实验室室温(注:茶水温度接近室温时,将趋于稳定); (ii)求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间.(参考数据:lg 3≈0.48,lg 5≈0.7) 17.(15分)已知函数f(x)=(log2x-2)log2. (1)求函数f(x)的最小值; (2)若对于任意的x∈[2,16], f(x)<mlog4x恒成立,求m的取值范围; (3)若关于x的方程|f(x)|=b有两个不同的实数解,求实数b的取值范围. 18.(17分)已知函数y=f(x),甲、乙、丙、丁四位同学研究该函数,分别得到如下结论: 甲:函数y=f(x)图象的对称中心为(-1,2); 乙:f(0)=0; 丙:函数y=f(x)只有单调递增区间,没有单调递减区间; 丁:函数y=f(x)的图象与两坐标轴共有3个交点. 其中有且只有3位同学的结论是正确的. (1)给出下列四个函数:f(x)=kx+b(k≠0), f(x)=(a≠0), f(x)=ax2+bx+c(a≠0), f(x)=kax+b(a>0且a≠1),其中只有一个函数满足题意,求满足题意的f(x)的解析式; (2)已知函数g(x)=f(3x). (i)若g(x)的定义域为[0,1],求g(x)的值域; (ii)探究函数y=g(x)图象的对称中心的坐标,并证明你探究的结论. 19.(17分)对于函数y=f(x),记所有满足∀s,t∈(0,+∞),s>t,都有f(s)≥f(t)的函数构成集合A;所有满足∀s,t∈(0,+∞),都有f(s+t)≥f(s)+f(t)的函数构成集合B. (1)分别判断函数①h(x)=2x+1,②m(x)=x2是不是集合B中的元素,并说明理由; (2)若f(x)=lo(x+a)(a≥0)是集合B中的元素,求a的最小值; (3)若g(x)=xf(x),求证:f(x)∈A是g(x)∈B的充分不必要条件. 答案全解全析 1.C　由题表中数据可得, f(1.406)·f(1.415)<0,且1.415-1.406=0.009<0.01, ∴函数f(x)=x3+x2-2x-2的正数零点在(1.406,1.415)内, 结合选项可知,方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 2.D　解法一:设f(x)=-2x,则-f(-x)=-(-2-x)=, 所以函数y=-2x与函数y=的图象关于原点对称. 解法二:在同一平面直角坐标系内作出函数y=-2x与y=的图象,如图, 由图可知,函数y=-2x与y=的图象关于原点对称. 3.B　log4256=== =. 4.C　∵0<a=0.50.4<0.50=1,b=log0.50.3>log0.50.5=1,c=log80.4<log81=0,∴c<a<b. 5.C　设处理这段自然语言的翻译所需时间为t秒,由题意得×1012×t=2126,两边同时取对数,得lg=lg 2126,即lg 5-2lg 2+12+lg t=126lg 2,则lg t=126lg 2-lg 5+2lg 2-12=128lg 2-lg -12=129lg 2-13≈25.829, 所以t=1025.829=1025×100.829≈6.745×1025. 6.A　当x≤0时, f(x)=-x,易知f(x)在(-∞,0]上单调递减. 因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增. 又f(1)=f(-1)=-(-1)=4, 所以不等式f(x-2)<4等价于f(|x-2|)<f(1),结合单调性得|x-2|<1,即-1<x-2<1,解得1<x<3, 所以不等式f(x-2)<4的解集为(1,3). 7.C　因为函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[1,+∞)上单调递增,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增, 所以y=x2-ax+3a在区间[1,+∞)上单调递增,且x2-ax+3a>0在[1,+∞)上恒成立, 所以解得-<a≤2,所以a的取值范围是. 8.D　当0<x1<x2<1时,f(x1), f(x2)∈(0,1), 若f(x2)=2f(x1),则f(x1)∈, 即∈,所以x1∈, 此时x1·f(x2)=2x1f(x1)=2, 因为y=x3在上单调递增, 所以x1·f(x2)=2∈. 当0<x1<1≤x2时, f(x1)=∈(0,1), f(x2)=∈[2,+∞),所以f(x2)>2f(x1),不满足题意. 当1≤x1<x2时, f(x1)=, 若f(x2)=2f(x1),则x1·f(x2)=2x1f(x1)=2x1·, 令g(x)=2x·2x,x∈[1,+∞), 易知g(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以g(x)≥g(1)=4,即x1·f(x2)∈[4,+∞). 综上所述,x1·f(x2)的取值范围是∪[4,+∞). 9.ABC　对于A,原式=-+-1=-49+-1=-45,故A正确; 对于B,2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2=(2lg 2+lg 5)(lg 2+lg 5)-lg 2=2lg 2+lg 5-lg 2=lg 2+lg 5=1,故B正确; 对于C,由xlog34=1,得x==log43,即4x=3, 所以4x+4-x=4x+=3+=,故C正确; 对于D,由2m=3n=k,得m=log2k,n=log3k,且k>0, 即=logk2,=logk3, 所以+=logk2+logk3=logk6=2,解得k=,故D错误. 10.ABD　对于A,∵f(x)的图象过原点, ∴f(0)=0,∴a+b=0①, ∵x→∞时,→0,∴x→∞时, f(x)→b, 又函数f(x)的图象无限接近直线y=2,∴b=2②, 由①②知a=-2,b=2,因此A正确. 对于B,由a=-2,b=2,得f(x)=+2, ∵∈(0,1],∴+2∈[0,2),因此B正确. 对于C,由上述分析画出函数f(x)的大致图象如图所示, 由函数的图象知, f(x)在x∈(-∞,0]上单调递减, ∵x<y<0,∴f(x)>f(y),因此C错误. 对于D,易知函数f(x)=+2为偶函数, ∵f(x)=f(y),x≠y,∴-x=y,∴x+y=0,因此D正确. 11.ACD　对于A,令ax-(1+a2)x2>0,其中a>0,解得0<x<,故f(x)的定义域为,故L(a)=,A正确; 对于B,因为a>0,所以L(a)==≤=,当且仅当a=,即a=1时,等号成立,又L(a)=>0,所以L(a)的值域为,B错误; 对于C,任取a1,a2∈(0,1)且a1<a2, 则L(a1)-L(a2)=-===, 因为a1,a2∈(0,1)且a1<a2, 所以a1-a2<0,1-a1a2>0,1+>0,1+>0, 故L(a1)-L(a2)=<0, 即L(a1)<L(a2), 故L(a)=在(0,1)上单调递增,C正确; 对于D,和C选项同理,由定义法可知L(a)=在(1,+∞)上单调递减,结合C选项知,给定常数k∈(0,1),当a∈[1-k,1]时,L(a)单调递增,当a∈[1,1+k]时,L(a)单调递减,故L(a)的最小值为L(1-k)或L(1+k), L(1-k)-L(1+k)=- = = =, 因为k∈(0,1),所以-2k3<0, 又k2-2k+2=(k-1)2+1>0,k2+2k+2=(k+1)2+1>0, 所以<0,即L(1-k)<L(1+k), 所以L(a)的最小值为,D正确. 12.答案　4 解析　由题意知g(-x)=f(-x)(e-x-ex)+2=-f(x)(ex-e-x)+2=-g(x)+4,故g(x)+g(-x)=4, 则g(-2 026)+g(2 026)=4. 13.答案　 解析　令m=2x,则由x∈[0,2]得m∈[1,4],2x+22-x=m+,易知y=m+在[1,2]上单调递减,在[2,4]上单调递增,故m+∈[4,5],即2x+22-x∈[4,5]. 设t=2x+22-x,则f(x)=|2x+22-x-a|+a可转化为g(t)=|t-a|+a,t∈[4,5], 易知函数g(t)=|t-a|+a的图象关于直线t=a对称, 因此,当a≤时,g(t)max=|5-a|+a=5,符合题意; 当a>时,g(t)max=|4-a|+a=2a-4=5,解得a=,舍去. 综上所述,a的取值范围是. 14.答案　(1,2) 解析　令f(x)=t,则原方程化为1-m2+2mt=t2, 即[t-(m-1)][t-(m+1)]=0,解得t=m-1或t=m+1. 易知y=ex+2-1在(-∞,0]上单调递增, 令ex+2-1=0,得x=-2, 故函数f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,0]上单调递增,且当x→-∞时, f(x)→1, f(0)=e2-1. 作出函数y=f(x)的图象,如图所示, 观察图象得,当t<0或t>e2-1时,方程f(x)=t有1个实数根; 当t=0或1≤t≤e2-1时,方程f(x)=t有2个不同的实数根; 当0<t<1时,方程f(x)=t有3个不同的实数根, 由方程1-m2+2mf(x)=[f(x)]2有且仅有5个不同的实数根,得或 即或则1<m<2, 所以实数m的取值范围是(1,2). 15.解析　(1)-(-9.6)0-+1.5-2 =-1-+(3分) =-1-+=-1=.(6分) (2)log25×log45-lo3-log24+ =-log52×log25+log33-2log22+2(10分) =-+1-2+2=.(13分) 16.解析　(1)由题表中数据可知,函数单调递减且递减速度逐渐变慢,(2分) 模型③y=loga(t+b)+c(b>0,a>1)为单调递增函数,不符合题意.(3分) 模型①y=at+b(a<0)为一次函数模型,不符合递减速度逐渐变慢,因此模型①不符合,(4分) 选模型②y=a·bt+d(a>0,0<b<1), 则解得 所以y=70·0.9t+25(t≥0).(7分) (2)(i)因为当t趋于无穷大时,y无限接近25,所以推测实验室室温为25 ℃.(10分) (ii)令70·0.9t+25=60,则0.9t=,(12分) 所以t=log0.9===≈7.5,(14分) 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为7.5分钟.(15分) 17.解析　(1)由题意得函数y=f(x)的定义域为(0,+∞), f(x)=(log2x-2)log2=(log2x-2)(log2x-1), 令s=log2x,则s∈R,故求f(x)的最小值即求y=(s-2)(s-1)=s2-3s+2在R上的最小值.(3分) 由y=s2-3s+2=-结合二次函数的性质得当s=时,ymin=-,故f(x)min=-.(5分) (2)由f(x)<mlog4x,得(log2x-2)(log2x-1)<log2x. 令t=log2x,由x∈[2,16],得t∈[1,4]. 由题意可知,对于任意的t∈[1,4],(t-2)(t-1)<t恒成立,即t+-3<恒成立.(7分) 令h(t)=t+-3,t∈[1,4],则h(t)max<. 由对勾函数的单调性可知h(t)在[1,]上单调递减,在[,4]上单调递增,且h(1)=0,h(4)=, 所以当t∈[1,4]时,h(t)max=h(4)=.(9分) 因此<,解得m>3,即m的取值范围是(3,+∞).(10分) (3)结合(1)可知,y=-在上单调递减,在上单调递增,令log2x=,得x==2,结合复合函数的单调性可知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且f(2)=-, 令f(x)=0,得x=2或x=4. 画出函数|f(x)|=的大致图象,如图: (12分) 则函数y=|f(x)|在(0,2)上单调递减,在(2,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,(13分) 因此当b∈{0}∪时,关于x的方程|f(x)|=b有两个不同的实数解.(15分) 18.解析　(1)函数f(x)=kx+b(k≠0)一定不满足丁的结论,且甲、乙、丙的结论不能同时满足,不符合题意; 函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)一定不满足甲、丙的结论,不符合题意; 函数f(x)=kax+b(a>0且a≠1)一定不满足甲、丁的结论,不符合题意.(3分) 因此函数f(x)=(a≠0)满足题意,且满足甲、乙、丙的结论,不满足丁的结论.(4分) 解法一:因为f(x)图象的对称中心为(-1,2), 所以设f(x)=+2, 由f(0)=0,得+2=m+2=0,所以m=-2, 所以f(x)=2-=.(7分) 解法二:因为f(x)==·=·,且其图象的对称中心为(-1,2), 所以-=-1,=2,即b=a,c=2a, 因为f(0)=0,所以=0,所以d=0, 所以f(x)==.(7分) (2)(i)函数g(x)=f(3x)=2-,(8分) 易知g(x)在[0,1]上单调递增,且g(0)=2-=1,g(1)=2-=. 所以g(x)的值域为.(10分) (ii)解法一:函数y=g(x)图象的对称中心为(0,1).(12分) 证明:设P(m,n)是函数g(x)图象上的任一点, 则g(m)==n,(13分) 设P(m,n)关于(0,1)的对称点为Q,易得Q(-m,2-n),(14分) 因为g(-m)==,且2-n=2-=, 所以g(-m)=2-n, 即点Q(-m,2-n)也在g(x)的图象上.(16分) 所以g(x)的图象关于点(0,1)中心对称.(17分) 解法二:函数y=g(x)图象的对称中心为(0,1).(12分) 证明:g(x)===1+,(13分) 设h(x)=,x∈R, 因为h(-x)===-=-h(x),(15分) 所以h(x)=为奇函数,其图象的对称中心为(0,0), 所以g(x)=1+h(x)的图象的对称中心为(0,1).(17分) 19.解析　(1)①不是.(1分) ∀s,t∈(0,+∞),h(s+t)-h(s)-h(t)=2(s+t)+1-(2s+1)-(2t+1)=-1<0, 因此h(s+t)<h(s)+h(t), 所以h(x)=2x+1不是集合B中的元素.(3分) ②是.(4分) ∀s,t∈(0,+∞),m(s+t)-m(s)-m(t)=(s+t)2-s2-t2=2st>0,所以m(s+t)>m(s)+m(t), 所以m(x)=x2是集合B中的元素.(6分) (2)当a≥0时,∀s,t∈(0,+∞), f(s+t)=lo(s+t+a), f(s)+f(t)=lo(s+a)+lo(t+a)=lo[(s+a)(t+a)], (s+a)(t+a)-(s+t+a)=st+(a-1)s+(a-1)t+a(a-1), (思路探究:f(x)=lo(x+a)(a≥0)是集合B中的元素⇔(s+a)(t+a)-(s+t+a)≥0恒成立,此时含参数的不等式恒成立不易解决(本题难点),局部按参数整理变形后,观察得出当a≥1时,不等式恒成立,结论成立;当0≤a<1时,考虑到s+a<1,t+a<1,s+t+a>1时, f(s+t)<0<f(s)+f(t),因此可取特例说明结论不成立)  当a≥1,s,t∈(0,+∞)时,(s+a)(t+a)-(s+t+a)≥st>0, 因为y=lox在(0,+∞)上单调递减, 所以f(s+t)>f(s)+f(t),即f(x)=lo(x+1)∈B;(9分) 当0≤a<1时,令s=t=, 则f(s+t)=lo(s+t+a)=lo1=0, f(s)=f(t)=lo=lo>0, 所以f(s+t)<f(s)+f(t),因此f(x)=lo(x+a)∉B. 综上所述,a的最小值为1.(12分) (3)证明:充分性. 因为f(x)∈A,所以∀s,t∈(0,+∞),s+t>s,都有f(s+t)≥f(s),进而sf(s+t)≥sf(s),同理tf(s+t)≥tf(t), 两式相加得(s+t)f(s+t)≥sf(s)+tf(t), 即xf(x)∈B,所以充分性成立.(14分) 必要性.(方法技巧:必要性不成立,举反例说明) 设g(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数), ∀s,t∈(0,+∞),[s]+[t]≤[s+t], 所以g(x)=[x]∈B,(15分) 此时f(x)=,当1<x<2时, f(x)=, 因此f(x)在(1,2)上单调递减, 故f(x)=∉A,所以必要性不成立.(16分) 综上所述, f(x)∈A是g(x)∈B的充分不必要条件.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $