专题强化练2 三个“二次”的应用（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 本专题强化练聚焦三个“二次”的应用，通过基础巩固、综合提升、拓展创新三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，培养数学抽象、逻辑推理与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次不等式解集与系数关系、充要条件判断、函数图象识别|单选题形式，直接应用概念与性质，夯实基础| |综合提升|二次函数性质综合、根与系数关系应用|多选题设计，融合多个知识点，提升推理能力| |拓展创新|含参不等式整数解、不等式组应用|填空与解答题，结合实际情境，培养创新意识与应用能力|

专题专项练 专题强化练2　三个“二次”的应用 1.(2026江苏南京一中月考)若一元二次不等式ax2+bx+c<0(a,b,c∈R)的解集为{x|-1<x<2},则b-c+的最小值为(　　) A.-4　　B.-2　　C.2　　D.4 2.(2026河南安阳一中月考)已知命题p:方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,命题q:不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0均有解,则命题p成立是命题q成立的(　　) A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 3.(2026江苏无锡期中)若不等式cx2+ax+b>0的解集为x-1<x<,则函数y=ax2-bx-c的图象大致为(　　) 　　　　　　 4.(多选题)(2026浙江湖州期中)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则(　　) A.a>0 B.∀n∈R,a+b≥an2+bn C.ax+b>0的解集为{x|x>2} D.cx2+bx+a<0的解集为x-1<x< 5.(多选题)(2026吉林长春吉大附中月考)已知不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},则下列四个结论中正确的是(　　) A.a2=4b B.若不等式x2+ax+b<c的解集为{x|-3<x<1},则a+b+c=7 C.若不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1<x<x2},则x1x2>0 D.若不等式x2+ax+b<c的解集为{x|x1<x<x2},且|x1-x2|=4,则c=4 6.(2026浙江强基联盟期中)若集合A={x∈N*|x2-2x+a<0}有且只有两个元素,则实数a的取值范围是　　　　.  7.(2026北京大兴期中)若关于x的不等式(ax-1)2<x2恰有3个整数解,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  8.(2025上海实验学校月考)关于x的不等式组的整数解组成的集合为A. (1)当k=3时,求集合A; (2)若集合A={-2},求实数k的取值范围; (3)若集合A中有2 019个元素,求实数k的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题专项练 专题强化练2　三个“二次”的应用 1.D 2.A 3.A 4.BD 5.ABD 1.D　由一元二次不等式ax2+bx+c<0(a,b,c∈R)的解集为{x|-1<x<2},可得a>0,-1,2为ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)的两个实数根,故即 则b-c+=a+≥2=4,当且仅当a=,即a=2时取等号,故b-c+的最小值为4. 2.A　若命题p成立,即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根, 则需满足 若命题q成立,即不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0均有解,有两种情况: 第一种情况,不等式是一元二次不等式, 此时不等式所对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象必须与x轴有两个交点, 所以 第二种情况,不等式是一元一次不等式,则需满足 综上可知,由命题p能推出命题q,但是由命题q不能推出命题p, 即命题p成立是命题q成立的充分不必要条件. 3.A　因为cx2+ax+b>0的解集为x-1<x<,所以方程cx2+ax+b=0的两根分别为和-1,且c<0, 则解得a=c,b=-c, 故函数y=ax2-bx-c=x2+x-c=(x+2)(x-1)的图象开口向下,且与x轴的交点坐标为(1,0)和(-2,0),故A选项的图象符合. 4.BD　由题意可知,函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则a<0,A错误; 因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,对称轴为直线x=1,所以该函数在x=1处取得最大值, 则∀n∈R,an2+bn+c≤a×12+b×1+c,即an2+bn≤a+b,B正确; 二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴方程为x=1,即-=1,可得b=-2a, 由ax+b>0得ax-2a>0,又a<0,所以x-2<0,解得x<2,故ax+b>0的解集为{x|x<2},C错误; 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),则a-b+c=a+2a+c=3a+c=0,可得c=-3a, 不等式cx2+bx+a<0即为-3ax2-2ax+a<0,即3x2+2x-1<0,解得-1<x<,故不等式cx2+bx+a<0的解集为x-1<x<,D正确. 5.ABD　对于A,因为不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b,所以A正确; 对于B,x2+ax+b<c变形为x2+ax+b-c<0,其解集为{x|-3<x<1},所以得故a+b+c=7,所以B正确; 对于C,不等式x2+ax-b<0的解集为{x|x1<x<x2},由根与系数的关系知x1x2=-b=-<0,所以C错误; 对于D,不等式x2+ax+b<c的解集为{x|x1<x<x2},即x2+ax+b-c<0的解集为{x|x1<x<x2},由根与系数的关系知x1+x2=-a,x1x2=b-c=-c,则|x1-x2|===2=4,解得c=4,所以D正确. 6.答案　-3≤a<0 解析　令y=x2-2x+a,由题意知y<0有两个正整数解, ∵函数y=x2-2x+a的图象的对称轴为直线x=1,∴这两个解只能是1,2, 则当x=2时,y=a<0,且x=3时,y=3+a≥0,∴-3≤a<0. 7.答案　 解析　由(ax-1)2<x2得[(a+1)x-1]·[(a-1)x-1]<0, 由题意可知(a+1)(a-1)>0(恰有3个整数解说明对应的函数为二次函数,且其图象开口向上),解得a>1或a<-1. 当a>1时,[(a+1)x-1][(a-1)x-1]<0的解集为,且0<<, 因为不等式有3个整数解, 所以解得≤a<. 当a<-1时,[(a+1)x-1][(a-1)x-1]<0的解集为,且-<<0, 因为不等式有3个整数解,所以解得-<a≤-. 综上,实数a的取值范围是a-<a≤-或≤a<. 8.解析　(1)当k=3时,原不等式组可化为解得-3<x<-,满足条件的整数x不存在,故A=⌀. (2)由x2-x-2>0得x<-1或x>2. 因为有唯一整数解x=-2, 且方程2x2+(2k+5)x+5k=(2x+5)(x+k)=0的两个根分别为-k和-,所以结合数轴可得-2<-k≤3,(借助数轴得到此不等式,要注意等号能否取到) 所以-3≤k<2. (3)当-k<-时,由A中有2 019个元素可得A={-3,-4,…,-2 021}(借助数轴找到这2 019个整数), 所以-2 022≤-k<-2 021,解得2 021<k≤2 022. 当-k>-时,由A中有2 019个元素可得A={-2,3,4,…,2 020}(借助数轴找到这2 019个整数,注意-2是A中的元素), 所以2 020<-k≤2 021,解得-2 021≤k<-2 020. 所以实数k的取值范围为{k|2 021<k≤2 022或-2 021≤k<-2 020}. 7 学科网（北京）股份有限公司 $