专题强化练1 利用基本不等式求最大（小）值（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 聚焦“利用基本不等式求最值”，通过基础巩固、综合提升、创新拓展三层设计，实现从公式直接应用到n阶不等式迁移的知识进阶，培养数学推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|基本不等式直接应用|选择题（1-6）强化“一正二定三相等”条件判断，培养运算能力| |综合提升|条件变形与综合应用|填空题（7-8）、解答题（9）训练配凑、换元技巧，发展推理意识| |创新拓展|n阶不等式迁移应用|创新题（10）结合n元均值不等式推广，提升数学抽象与模型观念|

专题专项练 专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值 1.(2026河南驻马店部分学校月考)已知m>n>0,则2m++的最小值为(　　) A.4+1　　B.4+2　　C.2+4　　D.2+8 2.(2026江苏南京金陵中学月考)已知a>0,b>0且a+b=1,则的最小值是(　　) A.49　　B.51　　C.53　　D.55 3.(2026广东深圳期中)已知a>b>0,+=4,则5a-4b的最小值为(　　) A.　　B.4　　C.　　D.2 4.(2026云南名校联盟联考)已知正实数x,y满足xy=x+y+8,则x+9y的最小值是(　　) A.22　　B.26　　C.28　　D.30 5.(2026陕西榆林段考)存在三个实数a1,a2,a3满足下列两个等式:①a1a2a3=2;②a1+a2+a3=0,M表示这三个实数a1,a2,a3中的最大者,则(　　) A.M的最大值是2　　B.M的最小值是2 C.M的最大值是　　D.M的最小值是2 6.(2026江西三新协同教研共同体月考)记max{a,b}=已知m>0,n>0,x=m+,y=+n,则max{x,y}的最小值为(　　) A.2　　B.2　　C.4　　D.3 7.(2026福建宁德高级中学月考)若x>0,y>0,且+=,则4x+3y的最小值为　　　　.  8.(2026上海风华中学月考)若对任意x>-1,恒有>n,则n的取值范围是　　　　.  9.(2026河北沧衡名校联盟期中)已知实数x,y满足x2+y2-xy=3. (1)求x,y的取值范围和xy的最大值; (2)求x2+y2的最大值; (3)求x+y的最小值. 创新点　基本不等式的迁移应用 10.(2026四川绵阳外国语学校月考)教材中的基本不等式可以推广到n阶:若a1,a2,…,an>0,则≥,n∈N*,n≥2,当且仅当a1=a2=…=an时取等号,利用此结论解决下列问题: (1)若x,y,z>0,求++的最小值; (2)若0<x<,求x3(2-3x)的最大值; (3)对任意k∈N*,判断与的大小关系并加以证明. 答案与分层梯度式解析 专题专项练 专题强化练1　利用基本不等式求最大(小)值 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 1.B　因为m>n>0,所以m+n>0,m-n>0, 则2m++=m+n+++m-n≥2+2=4+2, 当且仅当即时等号成立, 故2m++的最小值为4+2. 2.A　因为a>0,b>0且a+b=1, 所以===(a+b)=25++≥25+2=49, 当且仅当=,即b=,a=时取等号,所以的最小值是49. 3.D　设5a-4b=s(a-b)+t(a+b)=(s+t)a-(s-t)b, 则解得 则5a-4b=(a-b)+(a+b) = =5++ ≥5+2=2, 当且仅当=,即a=,b=时,等号成立, 所以5a-4b的最小值为2. 方法技巧 将所求式进行变形,使其恰好为题目中分式分母的形式,再运用基本不等式求解. 4.C　由题得x(y-1)=y+8,因为x>0,y>0,所以y>1,同理x>1. 解法一(因式分解):将xy=x+y+8变形为(x-1)(y-1)=9, 则x+9y=(x-1)+9(y-1)+10≥2+10=28, 当且仅当x-1=9(y-1),即x=10,y=2时取等号,所以x+9y的最小值为28. 解法二(消元):由xy=x+y+8可得y=,所以x+9y=x+9×=x+9×=x-1++10≥2+10=28, 当且仅当x-1=,即x=10,y=2时取等号,所以x+9y的最小值为28. 5.B　由题意可知,a1,a2,a3中有2个负数,1个正数, 假设a1,a2是负数,a3是正数,则M=a3, 所以a3=-a1-a2≥2=2,则a1a2≤,当且仅当a1=a2=-1时取等号. 又a1a2a3=2,所以a1a2a3=2≤,即a3≥2,所以M的最小值为2. 6.D　设t=max{x,y},由max{x,y}的定义,得t≥m+且t≥+n(m>0,n>0). 得2t≥m+++n=+. 由基本不等式可得+≥2+2=2+4=6,当且仅当m=1,n=2时取等号, 故2t≥6,即t≥3. 当m=1,n=2时,x=3,y=3,此时max{x,y}=3,等号成立. 故max{x,y}的最小值为3. 7.答案　31 解析　由+=得+=1, 所以4x+3y=(x+1)+3(x+y)-1 =[(x+1)+3(x+y)]-1 =2+18++-1 ≥19+2 =19+12=31, 当且仅当=且+=1,即x=7,y=1时取等号, 所以4x+3y的最小值为31. 解后反思 观察题中所给式子,分母是x+1和x+y,求4x+3y的最小值,关键是将4x+3y用x+1和x+y表示,可用待定系数法求解,令4x+3y=m(x+1)+n(x+y)-m,可得m=1,n=3,故4x+3y=(x+1)+3(x+y)-1. 8.答案　{n|n<2} 解析　==3-,x>-1. 令t=x+1,则t>0,3-=3-=3-≥3-=2,当且仅当t=,即t=1时取等号, 因为对任意x>-1,恒有n<,所以n<=2(易错警示:n=2时不成立,不能取等). 故n的取值范围是{n|n<2}. 方法技巧 对于齐二次分式,先分离常数,然后进行配凑,最后进行变形化为可用基本不等式的形式,进而求出最值. 9.解析　(1)x2+y2-xy=3,即x2-yx+y2-3=0(点拨:将其看作关于x的一元二次方程), 因为关于x的方程有解,所以Δ=y2-4(y2-3)≥0,可得y2≤4,即-2≤y≤2. 同理,-2≤x≤2. 所以x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,即xy≤3, 当且仅当x=y=±时取等号,即xy的最大值为3. (2)由xy≤,得-xy≥-, 所以3=x2+y2-xy≥,即x2+y2≤6,当且仅当x=y=±时取等号, 所以x2+y2的最大值为6. (3)x2+y2-xy=3,即(x+y)2-3xy=3, 又xy≤,所以-3xy≥-(x+y)2, 因此3=(x+y)2-3xy≥(x+y)2,则(x+y)2≤12, 解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-时左侧等号成立,当且仅当x=y=时右侧等号成立, 所以当x=y=-时取得最小值,最小值为-2. 10.解析　(1)由已知得≥=2,所以++≥6,当且仅当==,即2x=y=z时取等号,所以++的最小值为6. (2)x3(2-3x)=x·x·x·(2-3x)≤=, 当且仅当x=2-3x,即x=时取等号, 所以x3(2-3x)的最大值为. (3)<,k∈N*. 证明如下: 当k=1时(k=1时需要单独证明),=(1+1)1=2,==,则2<; 当k≥2时,=××…×=××…××1共(k+1)项相乘,k项为1+,1项为1≤ == =, 显然1+≠1,所以等号不能取,所以<. 综上,<. 7 学科网（北京）股份有限公司 $