第二章 一元二次函数、方程和不等式 高考模拟练（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过“应用实践”与“迁移创新”分层设计，以高考模拟题为载体，构建从基础运算到创新应用的知识巩固路径，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |应用实践|不等式解法、函数性质、实际应用|10道题涵盖选择、填空、解答，从单一不等式（如线性规划）到综合含参问题（如恒成立求范围），结合月考真题强化运算能力| |迁移创新|新定义“远离”问题|1道题融合逻辑推理与数学表达，通过分类讨论与证明培养创新思维，体现数学眼光与理性精神|

高考模拟练 应用实践 1.(2026江苏苏州昆山陆家高级中学月考)已知实数x,y满足1≤x+y≤4,-1≤x-y≤2,则4x-2y的取值范围是(　　) A.-4≤4x-2y≤10　　B.-3≤4x-2y≤6　　 C.-5≤4x-2y≤13　　D.-2≤4x-2y≤10 2.(2026湖南邵阳二中月考)关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0有且仅有3个正整数解,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|3<a<4}　　B.{a|4<a≤5}　　 C.{a|3≤a<4}　　D.{a|4≤a<5} 3.(2026山东济宁期中)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为M,则下列说法错误的是　(　　) A.若M=⌀,则a<0且b2-4ac≤0 B.若==,则关于x的不等式a'x2+b'x+c'>0的解集也为M C.若M={x|-1<x<2},则关于x的不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3} D.若M={x|x≠x0,x0为常数},且a<b,则的最小值为5+2 4.(多选题)(2026河北保定期中)已知关于x的不等式(a+m)x2+(2b-m)x-1<0的解集为x-<x<1,且a>0,b>0,则下列说法正确的是(　　) A.a+m<0　　 B.a+2m=5+2b　　 C.+的最小值为9　　 D.2a-+3的最大值为1 5.(2026云南红河川个旧星河高级中学月考)当0≤m≤3时,不等式x2-(m+2)x+m-3<0恒成立,则x的取值范围为(　　) A.{x|-1<x<5}　　B.{x|-1<x<3}　　 C.{x|0<x<3}　　D.{x|0<x<5} 6.(2026上海中学月考)已知集合M={x|(x2-4x+c1)(x2-4x+c2)(x2-4x+c3)(x2-4x+c4)=0}={x1,x2,…,x7}⊆Z,且c1≤c2≤c3≤c4,则c4-c1的值不可能是(　　) A.4　　B.9　　C.16　　D.64 7.(多选题)(2026四川成都七中月考)已知a,b均为正实数,且a+b=1,则下列说法正确的是(　　) A.ab的最大值为 B.+的最小值为5 C.的最小值为 D.+不小于 8.(2026天津大学附属中学月考)已知x>0,y>0,且x+y=1,若+≥m+4恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.  9.(2026江苏南京师范大学附属实验学校期中)科技创新是企业发展的源动力,是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础.某科技企业最新研发了一款大型电子设备,并投入生产应用.经调研,该企业生产此设备获得的月利润p(单位:万元)与投入的月研发经费x(15≤x≤40,单位:万元)有关:当投入的月研发经费不高于36万元时,p=-x2+8x-90;当投入的月研发经费高于36万元时,p=0.4x+54.对于企业而言,研发利润率y=×100%是优化企业管理的重要依据之一,y越大,研发利润率越高,反之越小. (1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值; (2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%,求月研发经费x的取值范围. 10.(2026黑龙江省实验中学月考)已知函数y=ax2-(2a+2)x+4. (1)是否存在实数a,使得方程y=0有两个不相等的实数根x1,x2,且+=1成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由; (2)若关于x的不等式y>-(x2+2)的解集是实数集R,求实数a的取值范围; (3)求关于x的不等式y<8-4x的解集. 迁移创新 11.(2026广东湛江第二十一中学月考)若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m. (1)若2比3x-4远离1,求x的取值范围; (2)设y=,其中x∈{x|x>0且x≠},则x与y哪一个更远离?并说明理由; (3)若x+y=2,则y与x2+y2哪一个更远离?并说明理由. 答案与分层梯度式解析 高考模拟练 1.D 2.C 3.B 4.BC 5.C 6.A 7.ACD 1.D　设4x-2y=m(x+y)+n(x-y), 则(m+n)x+(m-n)y=4x-2y, 所以解得 所以4x-2y=(x+y)+3(x-y), 因为1≤x+y≤4,-1≤x-y≤2, 所以-3≤3(x-y)≤6, 因此-2≤(x+y)+3(x-y)≤10,即-2≤4x-2y≤10. 2.C　由x2-(a+1)x+a≤0可得(x-1)(x-a)≤0. 当a=1时,不等式的解集为{1},不符合题意,舍去; 当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1},其正整数解至多有1个,不符合题意,舍去; 当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a},因为不等式有且仅有3个正整数解,故正整数解为1,2,3,所以3≤a<4. 综上,实数a的取值范围是{a|3≤a<4}. 3.B　对于A,由ax2+bx+c>0无解,得a<0且b2-4ac≤0,故A中说法正确; 对于B,令===k, 若k<0(易错点),则a'x2+b'x+c'>0等价于ax2+bx+c<0,此时,关于x的不等式a'x2+b'x+c'>0的解集不为M,故B中说法错误; 对于C,由题可知a<0且方程ax2+bx+c=0的两根分别为-1,2,则⇒则a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax等价于a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax,所以a(x2-3x)<0,所以x(x-3)>0,解得x<0或x>3,所以不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为{x|x<0或x>3},故C中说法正确; 对于D,由题可得则c=,且b>a>0,所以=, 令b-a=m,则m>0,b=m+a, 所以= ===++5≥2+5=5+2,当且仅当=⇒m=a,即b=(1+)a,c=a时等号成立, 所以的最小值为5+2,故D中说法正确. 4.BC　因为关于x的不等式(a+m)x2+(2b-m)x-1<0的解集为x-<x<1,所以a+m>0,故A错误; 由题意可知,关于x的方程(a+m)x2+(2b-m)x-1=0的两根分别为-,1, 由根与系数的关系得可得两式相加得a+2m-2b=5,即a+2m=5+2b,两式相减得a+2b=1,故B正确; 由a+2b=1,a>0,b>0,可得+=(a+2b)=5++≥5+2=9,当且仅当即a=b=时,等号成立,故C正确; 2a-+3=2(1-2b)-+3=5-≤5-2=1,当且仅当即a=0,b=时,等号成立,但a>0,所以等号不成立,故D错误. 5.C　因为当0≤m≤3时,不等式x2-(m+2)x+m-3<0恒成立, 所以(1-x)m+x2-2x-3<0恒成立(看成关于m的一元一次不等式), 令y=(1-x)m+x2-2x-3, 则 解得0<x<3,故C正确. 方法技巧 变更主元法:一个恒成立的不等式中含有m和x,传统意义上,习惯将x看作变量,将m看作参数.但是如果题目给出m的范围,求x的范围,那么此时要更换主元,将m看作变量,x看作参数.根据对关于m的函数的研究求出x的范围. 6.A　对于方程x2-4x+m=0的2个整数解a,b,有 所以a,b的可能取值为2和2,3和1,4和0,5和-1,6和-2,7和-3,8和-4,9和-5,10和-6,…(和为4的整数), 则m=4,3,0,-5,-12,-21,-32,-45,-60,…(c1,c2,c3,c4为m的某些值), 又c1≤c2≤c3≤c4,所以c4=4(根据M有7个元素可知4个一元二次方程x2-4x+ci=0(i=1,2,3,4)中,有一个方程有两个相等的根,另三个方程各有两个不相等的根,所以一定存在方程x2-4x+4=0), 易知当c1=-5时(易错点:c1最大可取-5),c4-c1取得最小值,为9,所以c4-c1的值不可能为4. 7.ACD　对于A,由基本不等式可得ab≤=,当且仅当即a=b=时,等号成立,所以ab的最大值为,故A正确; 对于B,+=+=++2≥2+2=2+2,当且仅当即时,等号成立,所以+的最小值为2+2,故B错误; 对于C,=a2b2+(a2+b2)+=a2b2+(a+b)2-ab+=a2b2+-ab+=+≥,当且仅当即或时,等号成立,所以的最小值为,故C正确; 对于D,由b>0,得+>+(对不等式放缩), +=+=a+2-4++b+1-2+=+-2=(a+2+b+1)-2=-2≥5+2-2=,当且仅当即时,等号成立,所以+的最小值为,故+>,故D正确. 8.答案　{m|m≤1} 解析　因为+≥m+4恒成立, 所以m+4≤. 因为x>0,y>0,且x+y=1,所以x+1+y=2, 所以+=[(x+1)+y]=≥5+2=, 当且仅当=且x+y=1,即x=,y=时取等号,所以+的最小值为, 所以m+4≤,解得m≤1, 所以实数m的取值范围是{m|m≤1}. 9.解析　(1)由已知得当15≤x≤36时,y=×100%=×100%≤×100%=200%,当且仅当x=,即x=30时取等号; 当36<x≤40时,y=×100%=×100%, ∵36<x≤40,∴≤<,∴≤<,∴≤0.4+<,∴175%≤y<190%. ∵200%>190%,∴当月研发经费为30万元时,研发利润率取得最大值200%. (2)由(1)可知,此时研发利润率为×100%, 令-x-+8≥1.9,整理得x2-61x+900≤0,解得25≤x≤36. 因此,当研发利润率不小于190%时,月研发经费x(单位:万元)的取值范围是{x|25≤x≤36}. 10.解析　(1)不存在实数a满足题意, 理由如下: 由y=0,得ax2-(2a+2)x+4=0, 若存在实数a使得方程y=0有两个不相等的实数根x1,x2,且+=1成立, 则a≠0,x1≠0,x2≠0,x1≠x2, 由根与系数的关系得 由+=1,得=1,则=1,解得a=1,此时方程为x2-4x+4=0,即(x-2)2=0,解得x1=x2=2,不满足题意, 因此,不存在实数a满足题意. (2)由y>-(x2+2),得ax2-(2a+2)x+4>-(x2+2),整理得(a+1)x2-(2a+2)x+6>0. 当a+1=0,即a=-1时,不等式为6>0,此时不等式恒成立,符合题意; 当a+1≠0,即a≠-1时,由不等式的解集是实数集R, 得解得-1<a<5. 综上所述,实数a的取值范围为{a|-1≤a<5}. (3)由y<8-4x得ax2-(2a+2)x+4<8-4x,整理得ax2-(2a-2)x-4<0,即(ax+2)(x-2)<0. 若a=0,则不等式为2x-4<0,解得x<2. 若a≠0,则当a>0时,不等式为(x-2)<0,解得-<x<2. 当a<0时,不等式为(x-2)>0. 当-<2,即a<-1时,解不等式得x<-或x>2; 当-=2,即a=-1时,不等式为(x-2)2>0,解得x≠2; 当->2,即-1<a<0时,解不等式得x<2或x>-. 综上所述,当a<-1时,原不等式的解集为xx<-或x>2;当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠2};当-1<a<0时,原不等式的解集为xx<2或x>-;当a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};当a>0时,原不等式的解集为x-<x<2. 11.解析　(1)根据题意可得|2-1|>|3x-4-1|,所以|3x-5|<1,解得<x<2. (2)x比y更远离,理由如下: 要证x比y更远离, 只需证|x-|>, 即证|x-|>, 因为x>0且x≠, 所以|x-|>0, 所以只需证1>, 即证|x+1|>-1, 因为x>0,所以x+1>1, 所以|x+1|>1>-1, 所以x比y更远离. (3)x2+y2比y更远离,理由如下: 因为x2+y2≥=2,当且仅当x=y=1时等号成立, 所以=x2+y2-. ①当y≥时,-=y--x2+y2-=y-x2-y2=y-(2-y)2-y2=-2y2+5y-4=-<0,即<. ②当y<时,-=-y-=-y-x2-y2+1=-y-(2-y)2-y2+1=-2y2+3y-3=-<0,即<. 综上,<,即x2+y2比y更远离. 素养评析 本题第(1)问考查了学生的数学运算素养,根据定义直接列式|2-1|>|3x-4-1|;第(2)(3)问考查了学生逻辑推理和数学运算素养,首先根据定义列式,然后判断符号去绝对值,分类讨论解不等式. 7 学科网（北京）股份有限公司 $