2.2.2 基本不等式的其他应用（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 分层递进设计，覆盖基本不等式的比较、证明及实际应用，从基础巩固到综合创新，培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|比较大小、简单不等式证明、基础实际问题|含教材改编题，如第4题；简单应用题如仓储费用计算（第7题），巩固概念理解| |能力提升练|复杂比较、多条件证明、跨情境综合应用|含跨学科情境题（第8题杠杆原理），综合证明题（第3题三问递进），提升逻辑推理与建模能力|

第2课时　基本不等式的其他应用 基础过关练 题组一　利用基本不等式比较大小 1.(2026山东枣庄第九中学月考)已知a>b>0,则下列不等式恒成立的是(　　) A.b>>　　B.>b> C.>>b　　D.>>b 2.(2026江苏扬州中学月考)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则(　　) A.a<v<　　B.<v< C.<v<　　D.<v<b 3.(2026福建莆田四中月考)某食品加工厂生产某种食品,第一年产量为5 kg,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　) A.x=　　B.x≤ C.x>　　D.x≥ 题组二　利用基本不等式证明不等式 4.(教材习题改编)已知a,b,c是三个不全相等的正数,求证:++>3. 5.(2026河北保定十八校联考)已知x>0,y>0,证明: (1)≥4;(2)≥4. 6.(2026上海吴淞中学月考)已知a,b都是正实数,且a+b=1,求证: (1)≥4;(2)+≤. 题组三　利用基本不等式解决实际问题 7.(2026山西大同期中)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,则每批应生产产品(　　) A.30件　　B.60件　　C.80件　　D.100件 8.(2026湖南常德一中月考)为净化水质,向一个游泳池中加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过　　　　h后池水中药品的浓度达到最大.  9.(2026北京通州月考)据市场调查,某超市的某种商品每月的销售量y(单位:百件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=+2,其中20<x<50.已知该商品的成本为10元/件,则该超市每月销售该商品所获得的利润最少为　　　　元.  10.(2026江苏常州一中月考)在只剩一面墙的破屋基础上修建新屋(修四面墙),已知旧墙长12米,新屋的面积预定为112平方米,且保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋,这项工程的费用要求是:①新料砌墙的费用为a元/米;②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%;③拆旧墙的一部分,利用旧料来砌同样长度的新墙,费用相当于用新料砌墙的50%.在这种情况下,旧墙保留约多少米最为合算?(结果保留1位小数) 11.(2026山东泰安二中月考)某地方政府准备建造一个面积为3 000平方米的矩形运动场地(如图所示,包括阴影部分和中间三个矩形区域),其中阴影部分为走道,走道宽度均为2米,中间的三个矩形区域铺设塑胶地面(其中两个小矩形的形状、大小相同),塑胶地面总面积为S平方米. (1)设矩形运动场地相邻的两边分别为x米和y米,试写出S关于x的关系式,并给出x的取值范围; (2)怎样设计能使S取得最大值?并求出最大值. 能力提升练 题组一　利用基本不等式比较大小 1.(2026重庆西南大学附属中学月考)汽车现在已经是我们出行不可或缺的工具之一,小明经常驾车出差,每次出差需要加油两次,两次加油的单价不同.现有两种方案,第一种方案:每次加油200元,第二种方案:每次加油30升.则更经济实惠的方案是(　　) A.第一种　　B.第二种　　C.不确定　　D.一样实惠 2.(2026安徽合肥第十中学月考)如图所示的是一个矩形和一个正方形,矩形的相邻两边的边长分别为a,b(a>0,b>0),当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x,当正方形的面积与矩形面积相等时正方形的边长为y,当正方形的对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z,则　(　　) A.x≥y≥z　　B.z≥x≥y　　C.x≥z≥y　　D.z≥y≥x 题组二　利用基本不等式证明不等式 3.(2026江苏南京期中)已知a,b,c均为正实数. (1)若a+b+c=2,求证:++≥; (2)求证:++≥++; (3)若++=1,求证:a+b+c≥36. 4.(2025广西桂林期中)已知a,b,c均为正实数. (1)证明:a+b+c≥+; (2)证明:≥,并求2m+(m>2)的最小值; (3)若abc=1,求证:++>2. 题组三　基本不等式的综合应用 5.(2026江苏无锡江阴二中月考)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月储存货物费y2(单位:元)与x成正比;若在距离车站6 km处建仓库,则y2=4y1.要使这两项费用之和最小,则仓库到车站的距离应为(　　) A.2 km　　B.3 km　　C.4 km　　D.5 km 6.(2026山东泰安一中月考)中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长求三角形的面积:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=4,b+c=6,则此三角形面积的最大值为(　　) A.3　　B.2　　C.2　　D.3 7.某校高一(3)班的小北为学校设计的冬季运动会会徽“冬日雪花”获得一等奖.他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑,其中会徽的六个直角三角形(图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块矩形材料(如图1中矩形ABCD)的周长为4 cm,其中较长的边AD=x cm,将△BCD沿BD向△ABD折叠,使点C到点C'处,且BC'交AD于点E. (1)用x表示图1中△BAE的面积; (2)已知镀金工艺是2元/平方厘米,试求会徽的镀金部分所需的最大费用. 　　 创新点　基本不等式与“杠杆原理”的融合 8.(2026湖南邵阳二中月考)一家黄金专卖店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ≠1),一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于10 g,为什么? (2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,那么要使得三次黄金质量总和最小,商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少?请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第2课时　基本不等式的其他应用 基础过关练 1.C 2.A 3.B 7.B 1.C　由a>b>0,得>>=b. 2.A　设从甲地到乙地的距离为c,则小王从甲地到乙地往返的时间分别是和,所以v===, 由0<a<b,得+>2,可得<,即v<,故B错误; v-a=-a==,由0<a<b,得>0,即a<v,故A正确; 由a+b>2,得>>v,>>v,故C,D错误. 3.B　由题意得5(1+a)(1+b)=5(1+x)2且a,b,x>0, 则由基本不等式可得x=-1≤-1=, 当且仅当a+1=b+1,即a=b时取等号,故x≤. 4.证明　∵a,b,c是三个不全相等的正数, ∴三个不等式+≥2,+≥2,+≥2(待证不等式左侧拆分后可得证明方向)的等号不能同时成立, 则+++++>6, ∴+++-1>3, 即++>3. 名师点睛 利用基本不等式证明不等式时,要先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的形式;若题目中还有已知条件,应注意已知条件和所证不等式之间的联系. 5.证明　(1)因为x>0,y>0,所以x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立, y+≥2,当且仅当y=1时,等号成立. 故≥4,当且仅当x=y=1时,等号成立. (2)因为x>0,y>0,所以xy>0. =xy++2 ≥2+2=4, 当且仅当xy=1时,等号成立. 6.证明　(1)因为a,b>0,所以a+b≥2,所以1≥2,平方得1≥4ab, 所以≥4,当且仅当a=b=时,等号成立,得证. (2)要证+≤,即证(+)2≤2,即证a+b+2=1+2≤2, 只需证≤,即证ab≤,即证≥4,由(1)可知≥4成立, 所以+≤成立. 一题多解 柯西不等式:设a1,a2,b1,b2∈R,且b1,b2≠0,则(+)·(+)≥(a1b1+a2b2)2,当且仅当=时等号成立. 第(2)问由柯西不等式得[()2+()2](12+12)≥(×1+×1)2,即2(a+b)≥(+)2,即(+)2≤2,所以+≤,当且仅当a=b=时,等号成立,所以+≤成立. 7.B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,则y==+≥2=30,当且仅当=,即x=60时等号成立, 故每批应生产产品60件. 8.答案　2 解析　当t=0时,C=0; 当t>0时,C==≤=5,当且仅当t=,即t=2时取等号. 因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大. 9.答案　8 000 解析　设该超市每月销售该商品所获得的利润为L元, 由已知得每件该商品的利润为(x-10)元,每月的销售量为100y件, ∴L=100y(x-10)=100(x-10)=200(x-20+10)=200×+(x-20)+20 ≥200×2+20 =200×40=8 000, 当且仅当=x-20,即x=30时取等号, ∴该超市每月销售该商品所获得的利润最少为8 000元. 10.解析　设保留旧墙x米,易知0<x≤12, 利用旧料来砌的新墙长度为(12-x)米, 又新屋的面积预定为112平方米,所以用新料砌墙的长度应为2×+x-(12-x)=米, 因此总费用(单位:元)为25%·ax+(12-x)·50%·a+a=a,0<x≤12. 利用基本不等式得+≥2=28,当且仅当x=8时,等号成立, 又x=8≈11.3<12,满足题意, 所以旧墙保留约11.3米最为合算. 11.解析　(1)依题意得xy=3 000,则y=, 由已知得解得6<x<500. 由2a+3×2=x,得a=, 则S=×(y-4)+×(y-6) = =(x-6)(y-5)=(x-6) =3 000-5x-6×+30 =3 030-,6<x<500. (2)由(1)得S=3 030-,6<x<500, 所以S=3 030-≤3 030-2=3 030-2×300=2 430, 当且仅当5x=,即x=60,y=50时等号成立. 所以当x=60,y=50时,S取得最大值2 430. 能力提升练 1.A 2.B 5.B 6.B 1.A　设第一次加油的单价为m元/升,第二次加油的单价为n元/升,m>0,n>0,m≠n. 则方案一的均价(单位:元)为=, 方案二的均价(单位:元)为=, 因为m>0,n>0,m≠n,所以<=,>,所以<,所以方案一更经济实惠或直接用调和平均数与算术平均数的关系得<. 2.B　由题意可得,a+b=2x,ab=y2,=z,且a,b>0, 由基本不等式可得a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立,所以x≥y, 因为(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),所以a2+b2≥,当且仅当a=b时等号成立, 所以2z2≥,所以z≥x,所以z≥x≥y. 3.证明　(1)由a,b,c均为正实数,且a+b+c=2, 可得++=(a+b+c)=1++++1++++1=++++++3≥ ×2+2+2+3=, 当且仅当=,=,=,即a=b=c=时等号成立, 故++≥. (2)由a,b,c>0及基本不等式可得a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立, 即(a+b)2≥4ab,即≥4, 则+=≥. 同理,+≥,+≥, 所以2≥++, 即++≥++,当且仅当a=b=c时等号成立. (3)由a,b,c均为正实数,且++=1,得a+b+c=(a+b+c)=1++++4++++9=14++++++≥14+2+2+2=36, 当且仅当=,=,=,即a=6,b=12,c=18时等号成立, 故a+b+c≥36. 一题多解 利用权方和不等式求解: (1)++=++≥=,当且仅当==,即a=b=c=时等号成立,故++≥. (2)+=+≥=,当且仅当=时等号成立, 同理+≥,+≥, 故++≥++,当且仅当a=b=c时等号成立. (3)++=++≥=,当且仅当==,即a=6,b=12,c=18时等号成立,故a+b+c≥36. 4.解析　(1)证明:由基本不等式得a+≥,+c≥,∴a+b+c≥+,当且仅当a==c时等号成立,问题得证. (2)要证≥,即证a+b+c≥3,即证a3+b3+c3≥3abc,即证a3+b3+c3-3abc≥0.证明如下: a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) =(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, 当且仅当a=b=c时等号成立, ∴不等式a3+b3+c3≥3abc成立. 故不等式≥成立. ∵m>2,∴m-2>0,∴2m+=(m-2)+(m-2)++4≥3+4=7, 当且仅当m-2=,即m=3时,等号成立,∴2m+的最小值为7. (3)证明:令a=,b=,c=,x,y,z均不为0,则===, 由基本不等式得|x|≤,∴=≥, 同理,≥,≥, ∴++≥=2, 当且仅当时取“=”,显然不存在这种情况, ∴++>2. 名师点津 当a1,a2,…,an均大于0时,≤≤≤,当且仅当a1=a2=…=an时取等号. 5.B　由题意设y1=,y2=k2x,k1>0,k2>0, ∵在距离车站6 km处建仓库时,y2=4y1,∴6k2=,∴k1=9k2,则y1+y2=+k2x≥2=6k2, 当且仅当=k2x,即x=3时等号成立, 所以要使这两项费用之和最小,则仓库到车站的距离应为3 km. 6.B　由题意可知,p==5, 所以S= ==, 又bc≤=9,所以S≤=2,当且仅当b=c=3时等号成立,所以三角形面积的最大值为2. 7.解析　(1)因为AD=x cm,所以AB=(2-x)cm. 由AD>AB>0得1<x<2. 设ED=a cm,则AE=(x-a)cm. 因为∠AEB=∠C'ED,∠EAB=∠DC'E,AB=DC',所以△BAE≌△DC'E, 所以BE=ED=a cm. 在Rt△BAE中,由勾股定理得BA2+AE2=BE2,即(2-x)2+(x-a)2=a2, 解得a=,所以AE=x-a= cm, 所以S△BAE=AB·AE=(2-x)·=3-cm2(1<x<2). (2)设会徽的镀金费用为y元, 则y=6·S△BAE·2=12×≤12×(3-2)=36-24,当且仅当x=,即x=时等号成立, 所以会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-24)元. 8.解析　(1)设天平左臂长为m,右臂长为n(m≠n),第一次放的黄金为x g,第二次放的黄金为y g, 则5m=xn,my=5n(杠杆原理), 得x=,y=, 所以x+y=+≥2=10, 当且仅当=,即m=n时取等号, 又m≠n,所以x+y>10,因此顾客购得的黄金大于10 g. (2)设第三次放的黄金为z g,则10m=zn, 代入=,可得2x=z, 故三次黄金质量总和为x+y+z=3x+y≥2=10,当且仅当3x=y,即x=,y=5时取等号, 此时λ===,因此当λ=时,三次黄金质量总和最小. 7 学科网（北京）股份有限公司 $