第一章 集合与常用逻辑用语 专题专项练（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语，以“易混易错+思想方法”双层次设计，通过错题归因与思想应用实现从基础巩固到能力提升的知识进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |易混易错练|集合元素意义、互异性、空集讨论、端点值取舍|针对高频易错点，结合具体错题案例（如元素互异性验证、空集特殊情况），强化推理意识与运算严谨性| |思想方法练|数形结合（Venn图、数轴）、分类讨论、转化与化归|通过综合题型（如集合关系与逻辑命题转化），培养几何直观与数学思维，体现模型意识与应用能力|

专题专项练 易混易错练1 易错点1　忽略集合中元素的意义 1.(2026吉林长春实验中学月考)设全集U=Z,集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=3k-1,k∈Z},则∁U(A∪B)=(　　) A.⌀　　B.{x|x=3k+1,k∈Z} C.{x|x=3k+2,k∈Z}　　D.{x|x=3k+3,k∈Z} 2.(多选题)(2025江西抚州南城一中月考)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈P,都有a+b,a-b,ab,∈P(除数b≠0),则称P是一个数域.例如:有理数集Q是一个数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是一个数域.下列关于数域的命题中是真命题的为(　　) A.0,1是任何数域中的元素 B.若数集M,N都是数域,则M∪N是一个数域 C.存在无穷多个数域 D.若数集M,N都是数域,则整数集Z⊆(M∩N) 易错点2　忽略集合中元素的互异性 3.(2026重庆西大附中月考)已知集合A={1,x,y},B={1,x2,2y},若A=B,则实数y的取值集合为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2026福建龙岩第一中学月考)若1∈{0,m,m2-2m+1},则m=　　　　.  易错点3　忽略对空集情况的讨论 5.(2026江苏苏州高新第一中学月考)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素,但互不为对方的子集,则称两个集合构成“偏食”.对于集合A=,B={x|ax2=1,a≥0},若两个集合构成“全食”或“偏食”,则a的值为　　　　.  6.(2025湖南长沙雅礼中学月考)已知A={x|-2≤x≤3},B={x|a-5<x<3a},全集U=R. (1)若a=,求A∪B,A∩B; (2)若B∩(∁UA)=B,求实数a的取值范围. 7.(2026广东东莞光明中学月考)已知集合A={x|x2+2(a-1)x+a2-1=0},B={x|x2-4x=0}. (1)若0∈A,求实数a的值; (2)若A⊆B,求实数a的取值范围. 易错点4　忽略对端点值的取舍 8.(多选题)(2026福建福州期中)命题“∀x∈{x|1≤x<2},x2-a<0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　) A.a>4　　B.a≥4　　C.a≥6　　D.a>7 9.(2025山东十校第一次联合考试)已知集合A={x|-3<x<0},B={x|m-1<x<1+m}. (1)若(∁RA)∩B=⌀,求实数m的取值范围; (2)若集合A∩B中仅有一个整数元素,求A∪B. 专题专项练 思想方法练1 一、数形结合思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用 1.(多选题)(2026广东惠州正弘实验学校月考)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　　) A.B∩(A∪C)　　B.(∁UB)∩(A∪C) C.B∩∁U(A∪C)　　D.(A∩B)∪(B∩C) 2.(多选题)(2026江苏南通海门中学月考)已知全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,A∩(∁UB)={1,9},A∩B={3},(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7},则下列结论正确的为(　　) A.8∈B　　B.A的子集的个数为8 C.{9}⊆A　　D.6∉∁U(A∪B) 3.设p:x≤3a或x≥a(a<0),q:-4≤x<-2,且q是p的充分不必要条件,则实数a的取值范围为　　　　　　　.  二、分类讨论思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用 4.(2026天津第一中学期中)已知集合A={0,2},B={x|(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0,x∈R},|A|表示非空集合A中元素的个数,A※B=若A※B=1,则实数a的所有可能的取值构成的集合为　　　　.  5.(2026福建宁德期中)设命题p:∀x∈R,mx2-mx+2>0,命题q:∃x∈{x|0≤x≤3},2x-2≥|m|. (1)若p为真命题,求实数m的取值范围; (2)若命题p,q有且只有一个是真命题,求实数m的取值范围. 三、转化与化归思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用 6.(2026山东青岛第二中学月考)已知[x]表示不超过x的最大整数,集合A={x∈Z|0<[x]<3},B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0},且A∩(∁RB)=⌀,则集合B的子集的个数为(　　) A.4　　B.8　　C.16　　D.18 7.(2026安徽C10教育联盟期中)若“∃x∈{x|1≤x≤4},x+a≥0”是假命题,则实数a的取值范围是　　　　　.  8.(2026安徽宿州灵璧中学期中)已知m∈R,集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|m-3<x≤m+2}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求m的取值范围; (2)若命题“∀x∈B,x∈∁RA”是真命题,求m的取值范围; (3)若命题“∃x∈A,x∈B”是真命题,求m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题专项练 易混易错练1 1.B 2.ACD 3.D 8.ACD 1.B　集合A是由被3整除的数组成的集合,集合B是由被3除余2的数组成的集合(易错点),故∁U(A∪B)是由被3除余1的数组成的集合,故∁U(A∪B)={x|x=3k+1,k∈Z}. 易错警示 集合A,B中元素的表达形式不一致,准确理解集合中元素的意义是解题的关键. 2.ACD　对于A,根据定义,由a∈P(a≠0),可得a-a=0∈P,=1∈P,则0,1是任何数域中的元素,故A是真命题; 对于B,不妨设M={a+b|a,b∈Q},N={c+d|c,d∈Q}, 取x=1+∈M,y=1+∈N,则x-y=-∉(M∪N),故M∪N不是一个数域,故B是假命题; 对于C,由题可知,任何一个形如{a+b|a,b∈Q}(k是素数)的集合都是数域,因为素数有无穷多个,且k不同时集合也不同,所以存在无穷多个数域,故C是真命题; 对于D,由0,1是任何数域中的元素可得1+1=2,0-1=-1也是任何数域中的元素,……,依次类推,整数集是任何数域的子集,若数集M,N都是数域,则Z⊆M,Z⊆N,则Z⊆(M∩N),故D是真命题. 3.D　由A=B可得或 ∴或或由集合中元素的互异性(易错点)可知 则实数y的取值集合为. 易错警示 在有限集中,已知集合中的某个元素或已知集合之间的关系求解参数时,一定要检验所得结果是否满足集合中元素的互异性. 4.答案　2 解析　由1∈{0,m,m2-2m+1},可得m=1或m2-2m+1=1. 当m=1时,m2-2m+1=0,不满足集合中元素的互异性(易错点),舍去; 当m2-2m+1=1时,解得m=0(舍去)或m=2, 当m=2时,集合为{0,2,1},满足题意. 综上,m=2. 5.答案　0或1或4 解析　若a=0,则B=⌀,满足B为A的子集,此时A与B构成“全食”; 若a>0,则B=, 若A与B构成“全食”或“偏食”,则=1或=,解得a=1或a=4. 综上,a的值为0或1或4. 易错警示 因为空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以解决含参数的集合与确定集合之间的关系问题时,要注意含参数的集合是空集的特殊情况. 6.解析　(1)因为a=, 所以B=x-<x<, 又A={x|-2≤x≤3}, 所以A∪B=x-<x≤3,A∩B=x-2≤x<. (2)因为B∩(∁UA)=B,所以B⊆(∁UA), 因为A={x|-2≤x≤3},U=R,所以∁UA={x|x<-2或x>3}. 当B=⌀时(易错点),可得3a≤a-5,解得a≤-,满足B⊆(∁UA); 当B≠⌀时,由B⊆(∁UA)可得或解得-<a≤-或a≥8. 综上,a的取值范围是aa≤-或a≥8. 7.解析　(1)由0∈A,可得a2-1=0,解得a=±1. (2)由x2-4x=x(x-4)=0,解得x=0或x=4,即集合B={0,4}, 因为A⊆B,所以A=⌀或{0}或{4}或{0,4}. 当A=⌀时(易错点),Δ=4(a-1)2-4(a2-1)=8-8a<0,解得a>1; 当A={0}时,解得a=1; 当A={4}时,无解; 当A={0,4}时,解得a=-1. 综上,实数a的取值范围为{a|a≥1或a=-1}. 8.ACD　∀x∈{x|1≤x<2},x2-a<0,则a>x2恒成立,又1≤x2<4,所以a≥4(易错点), 结合选项知A,C,D都是“a≥4”的充分不必要条件. 易错警示 本题中x取不到2,所以x2取不到4,故a可以取到4.解题时可以单独分析端点值,判断能否取到. 9.解析　(1)由m+1>m-1可知,B≠⌀, 易知∁RA={x|x≤-3或x≥0}, 因为(∁RA)∩B=⌀,所以 解得-2≤m≤-1. (2)A={x|-3<x<0}中的整数元素为-2,-1, 因为集合A∩B中仅有一个整数元素(对A∩B中的整数进行分类讨论),所以这个整数元素为-2或-1. 当这个整数元素为-2时,m-1<-2<m+1≤-1,解得-3<m≤-2, 则 所以A∪B={x|m-1<x<0}; 当这个整数元素为-1时,-2≤m-1<-1<m+1,解得-1≤m<0, 则所以A∪B={x|-3<x<1+m}. 综上,当A∩B中仅有整数-2时,A∪B={x|m-1<x<0};当A∩B中仅有整数-1时,A∪B={x|-3<x<1+m}. 一题多解 对于(1),由(∁RA)∩B=⌀可知B⊆A,又B≠⌀,故解得-2≤m≤-1. 易错警示 已知含参的无限集合的关系求解参数的取值范围时,借助数轴较为直观,空心圈和实心点要标注明确,要注意检验端点值能否取到. 专题专项练 思想方法练1 1.AD 2.ABC 6.C 1.AD　由题图可知阴影部分区域用集合符号可以表示为(A∩B)∪(B∩C)或B∩(A∪C). (数与图形之间的相互转化,是数形结合思想的基础,题图的阴影部分中的元素一定在B中,还要在A中或C中,表示为集合运算式子可以是先交后并:(A∩B)∪(B∩C),也可以是先并后交:B∩(A∪C)) 2.ABC　全集U={x|x<10,x∈N*}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 由题意作出Venn图: 由Venn图知A={1,3,9},B={2,3,5,8},(将条件表示到Venn图中,得到集合A、B,由此解决问题) ∴8∈B,故A正确; 集合A中有3个元素,故A的子集的个数为23=8,故B正确; ∵9∈A,∴{9}⊆A,故C正确; 由Venn图知∁U(A∪B)={4,6,7},∴6∈∁U(A∪B),故D错误. 3.答案　 解析　记A={x|x≤3a或x≥a}(a<0),B={x|-4≤x<-2},则“q是p的充分不必要条件”等价于“B是A的真子集”,利用数轴表示B⫋A,如图所示, 或 (利用数轴直观表示集合间的关系,从而确定参数满足的条件) 则或 解得a≤-4或-≤a<0, 所以实数a的取值范围为a-≤a<0或a≤-4. 思想方法 数形结合包括两种情形:第一种情形是“以数解形”,第二种情形是“以形助数”.求解与集合有关的问题时,常常借助数轴和Venn图,从而使问题直观、形象,便于求解. 4.答案　{0,1,-2} 解析　由已知得|A|=2,因为A※B=1, 所以|B|=1或|B|=3.(对||A|-|B||=1进行分类讨论) 当|B|=1时,a=0或a=1(方程(ax-1)·(x-1)(x2-ax+1)=0有明确的解x=1,所以ax-1=0和x2-ax+1=0的解为1或不存在). 当|B|=3时,关于x的方程(ax-1)(x-1)(x2-ax+1)=0有3个不相等的实数解, 所以关于x的方程x2-ax+1=0有两个相等的解,且这两个相等的解不为1和由于a≠0且a≠1,所以方程(ax-1)·(x-1)(x2-ax+1)=0有明确的解x=1和x=, 则Δ=a2-4=0,解得a=±2要验证x2-ax+1=0的解是不是1,. 当a=2时,x2-2x+1=0的两个解均为1,不符合题意; 当a=-2时,x2+2x+1=0的两个解均为-1,符合题意. 综上,a的所有可能的取值构成的集合为{0,1,-2}. 5.解析　(1)当m=0时(m为最高次项系数,需要对m是不是0进行分类讨论),不等式为2>0,显然在R上恒成立,符合题意; 当m≠0时,(点拨:y=mx2-mx+2的图象开口向上,且与x轴无交点)解得0<m<8. 综上,实数m的取值范围为{m|0≤m<8}. (2)若q:∃x∈{x|0≤x≤3},2x-2≥|m|为真命题,则(2x-2)max≥|m|. 由0≤x≤3,得-2≤2x-2≤4, 所以|m|≤4,解得-4≤m≤4. 因为p,q有且只有一个是真命题(分p真q假和p假q真两种情况进行讨论), 所以当p真q假时, 解得4<m<8; 当p假q真时, 解得-4≤m<0. 综上,实数m的取值范围为{m|-4≤m<0或4<m<8}. 思想方法 分类讨论的关键是确定逻辑划分的标准,通过对问题的分类依次求解(或证明),综合各类结论,进而得到问题的解.在本章中主要是对集合是不是空集、方程与不等式的最高次项系数是不是0、元素与集合之间的关系等进行讨论. 6.C　由题设可知,A={x∈Z|0<[x]<3}={1,2}, 因为A∩(∁RB)=⌀,所以A⊆B, (A∩(∁RB)=⌀的意思是集合A与集合∁RB没有公共元素,则集合A的元素都在∁RB的补集中,即A⊆∁R(∁RB),而B=∁R(∁RB),因此A⊆B) 因为x2+ax=0的解为x=0或x=-a,x2+2x+b=0的两根x1,x2满足x1+x2=-2,所以1,2不同时为方程x2+ax=0或x2+2x+b=0的根, 若1是x2+ax=0的根,2是x2+2x+b=0的根, 则有解得 故B={x|(x2-x)(x2+2x-8)=0}={0,1,2,-4}; 若2是x2+ax=0的根,1是x2+2x+b=0的根, 则有解得 故B={x|(x2-2x)(x2+2x-3)=0}={0,1,2,-3}. 所以集合B总是有4个元素,所以集合B的子集的个数为24=16. 方法技巧 一个集合与其补集是互为补集的关系,因此对集合关系的理解可以借助集合及其补集间的互相转化来完成,如A∩(∁RB)=⌀等价于A⊆B,进而解决问题. 7.答案　{a|a<-4} 解析　若“∃x∈{x|1≤x≤4},x+a≥0”是假命题,则“∀x∈{x|1≤x≤4},x+a<0”是真命题,(由命题与命题的否定的真假相反进行转化,p假和¬p真对应参数的范围是一致的) 所以a<-x对任意x∈{x|1≤x≤4}恒成立,即a<(-x)min,(将命题是真命题转化为不等式恒成立问题,进一步转化为最大(小)值问题)易得(-x)min=-4, 所以a<-4,故实数a的取值范围是{a|a<-4}. 8.解析　(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则A⫋B.(将充分不必要条件转化为集合间的真包含关系) 所以解得1≤m<2. 所以m的取值范围是{m|1≤m<2}. (2)若命题“∀x∈B,x∈∁RA”是真命题,则B⊆∁RA.(全称量词命题为真命题转化为集合间的包含关系) 易得∁RA={x|x<-1或x>3}. 因为m+2>m-3恒成立,所以B≠⌀, 所以m+2<-1或m-3≥3, 解得m<-3或m≥6. 所以m的取值范围是{m|m<-3或m≥6}. (3)因为“∃x∈A,x∈B”是真命题,所以A∩B≠⌀.(存在量词命题为真命题转化为集合交集不为空集) 当A∩B=⌀时,因为B≠⌀,所以m+2<-1或m-3≥3,解得m<-3或m≥6. 所以当A∩B≠⌀时,m的取值范围是{m|-3≤m<6}. 所以若命题“∃x∈A,x∈B”是真命题,则m的取值范围是{m|-3≤m<6}. 思想方法 转化与化归思想在本章中的应用主要体现在集合的运算性质与集合之间关系的转化,充分条件、必要条件与集合间关系的转化,命题的真假与相关知识的转化,即利用集合、方程、不等式等知识求解参数的值或取值范围等方面. 7 学科网（北京）股份有限公司 $