第一章 集合与常用逻辑用语 高考真题练（同步练习）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

**基本信息** 以高考真题为核心，分层设置基础-中档题与竞赛拔高题，覆盖集合运算、关系及常用逻辑用语，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |高考真题练（基础-中档）|集合交并补运算、子集关系、命题真假判断及充要条件|12道高考选择题，从单一运算（如第1-4题）到综合应用（如第9-10题含子集与补集结合），融入估算、特例等解题技巧，适配单元复习基础巩固| |学科竞赛（拔高）|集合计数、子集元素和、三元子集乘积及数集构造|4道竞赛填空题，需抽象建模（如第14题子集元素和规律）与逻辑推理（如第16题互素与整除关系分析），提升数学思维与创新意识|

高考真题练 考点1　集合的基本运算 1.(2025全国二卷,3)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　) A.{0,1,2}　　B.{1,2,8}　　 C.{2,8}　　D.{0,1} 2.(2025北京,1)已知集合M={x|2x-1>5},N={1,2,3},则M∩N=(　　) A.{1,2,3}　　B.{2,3}　　C.{3}　　D.⌀ 3.(2025天津,1)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(　　) A.{1,2,3,4}　　B.{2,3,4} C.{2,4}　　D.{4} 4.(2024北京,1)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N=(　　) A.{x|-1≤x<1}　　B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4}　　D.{x|x<4} 5.(2024新课标Ⅰ,1)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=①(　　) A.{-1,0}　　B.{2,3}　　 C.{-3,-1,0}　　D.{-1,0,2} ①关键点拨→估算范围或代入检验 6.(2024全国甲文,2)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B=(　　) A.{1,2,3}　　B.{3,4,9}　　 C.{1,2,3,4}　　D.{2,3,4,5} 7.(2024全国甲理,2)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)=(　　) A.{1,4,9}　　B.{3,4,9}　　 C.{1,2,3}　　D.{2,3,5} 考点2　集合的基本关系和基本运算的应用 8.(2025全国一卷,2)已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则∁UA中元素的个数为(　　) A.0　　B.3　　C.5　　D.8 9.(2023新课标Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2　　B.1　　C.　　D.-1 10.(2023全国乙理,2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=①(　　) A.∁U(M∪N)　　B.N∪∁UM C.∁U(M∩N)　　D.M∪∁UN ①心中有“数”→德·摩根定律 考点3　常用逻辑用语 11.(2024新课标Ⅱ,2)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x①.则(　　) A.p和q都是真命题　　 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题　　 D.¬p和¬q都是真命题 ①关键点拨→找特例 12.(2024天津,2)已知a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 学科竞赛 13.(2025重庆高中数学联赛初赛)设集合A={1,2,3,…,2 025},B={3x|x∈A},C={x|3x∈A},则B∩C的元素个数为　　　　.  14.(2024数学奥林匹克竞赛内蒙古赛区初赛)集合M={1,2,3,5,6}的全部非空子集的元素和等于　　　　.  15.(2024全国高中数学联赛北京赛区预赛)设整数集合A={a1,a2,a3,a4,a5},若A的所有三元子集中三个元素之积组成的集合为B={-30,-15,-10,-6,-5,-3,2,6,10,15},则集合A=　　　　.  16.(2024数学奥林匹克竞赛广西赛区选拔赛)设A为数集{1,2,3,…,2 024}的n(n∈N*)元子集,且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系,则n的最大值为　　　　.  答案与分层梯度式解析 高考真题练 1.D 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.C 9.B 10.A 11.B 12.C 1.D　∵x3=x,∴x=0或x=±1,即B={0,1,-1},又A={-4,0,1,2,8},∴A∩B={0,1}. 2.D　解不等式2x-1>5,可得M={x|x>3},故M∩N=⌀. 3.D　因为A={1,3},B={2,3,5}, 所以A∪B={1,2,3,5}, 又全集U={1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={4}. 4.C　利用数轴可得M∪N={x|-3<x<4}. 5.A　第一步:解不等式. A={x|-5<x3<5}={x|-<x<}, 第二步:估算范围. 因为1=<<=2(估算范围时,从13=1,23=8等立方的形式着手), 所以A中包含的整数有-1,0,1, 第三步:交集运算. 故A∩B={-1,0}. 考场速决 因为(A∩B)⊆B,所以可以将集合B中的5个元素分别代入不等式-5<x3<5,只有-1,0符合. 6.C　依题意得,集合B中的元素x满足x+1=1,2,3,4,5,9,则x可能的取值为0,1,2,3,4,8,即B={0,1,2,3,4,8}, 所以A∩B={1,2,3,4}. 7.D　因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81}, 则A∩B={1,4,9},∁A(A∩B)={2,3,5}. 8.C　由题意知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5}, 则∁UA={2,4,6,7,8},共有5个元素. 9.B　∵A⊆B,A={0,-a},∴0∈B. 当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B. 综上,a=1. 10.A　由题意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1<x<1},∁UM={x|x≥1},∁UN={x|x≤-1或x≥2}, 则∁U(M∪N)={x|x≥2},∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1},N∪∁UM={x|x>-1},M∪∁UN={x|x<1或x≥2}. 考场速决 观察发现:“x≥2”在∁UN中,也在∁UM中,因此在(∁UM)∩(∁UN),即∁U(M∪N)中. 11.B　 真题降维 关键信息 信息处理 思维方法 命题p:∀x∈R,|x+1|>1 判断全称量词命题真假的方法:“全真为真,一假为假” 可以通过找反例判定为假命题 命题q:∃x>0,x3=x 判断存在量词命题真假的方法:“全假为假,一真为真” 可以通过找特例判定为真命题 ¬p和¬q的真假性 命题与命题的否定的真假相反 将原命题的真假转化为否定的真假 对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,¬p是真命题, 对于q而言,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,¬q是假命题. 综上,¬p和q都是真命题. 12.C　由a3=b3可得a=b,由3a=3b可得a=b,所以二者互为充要条件. 13.答案　225 解析　由题意得B={3,6,9,…,6 075}(集合A中元素的3倍),C=集合A中元素的,故B∩C={3,6,9,…,675},则B∩C的元素个数为=225. 14.答案　272 解析　集合M={1,2,3,5,6}的子集有以下情形: 含有元素1的子集有24=16个(若包含元素1,则元素2有包含、不包含两种情况,元素3,5,6同理,相当于{2,3,5,6}的子集个数);同理,含有元素2,3,5,6的子集均有24=16个, 故所有非空子集的元素的和为16×(1+2+3+5+6)=272. 15.答案　{-2,-1,1,3,5} 解析　A的所有三元子集共有10个(可按规律列举计数), A中的每个元素在这些三元子集中均出现了6次(若包含a1,则需要从a2,a3,a4,a5四个中选两个,共6种情况,所以包含a1的三元子集共6个,其余元素同理), 故(a1a2a3a4a5)6=(-30)×(-15)×(-10)×(-6)×(-5)×(-3)×2×6×10×15(题目给的信息是三元子集的元素之积,所以研究总的乘积), 则|a1a2a3a4a5|=30, 因为集合B中的元素有6个负数4个正数, 所以集合A中的元素有2个负数3个正数或1个负数4个正数,所以a1a2a3a4a5=±30, 不妨设|a1|≤|a2|≤|a3|≤|a4|≤|a5|, 当三个元素之积的绝对值最大时(从元素之积的绝对值最大、最小两种角度综合分析),a3a4a5=-30,a1a2==-1或a1a2=1(此时a1=a2=1或a1=a2=-1,不满足集合中元素的互异性,故舍去), 又A为整数集合,所以a1=1,a2=-1或a1=-1,a2=1; 当三个元素之积的绝对值最小时,a1a2a3=2,又a1a2=-1,所以a3=-2,a4a5=15, 由上述分析知集合A中的元素有2个负数3个正数,故a4、a5均为正整数,所以a4=3,a5=5, 故A={-2,-1,1,3,5}. 16.答案　506 解析　由A中的任意两个数不互素可知存在素数p,使得A中的每个数均能被p整除, 在数集{1,2,3,…,2 024}的n(n∈N*)元子集中,使得任意两个数不互素的元素最多的子集是偶数子集(先从元素不互素入手){2,4,…,2 024},共有1 012个元素,显然其中有的元素满足整除关系,注意到1 012的2倍是2 024(小于或等于1 012的偶数全部要剔除), 于是集合A={1 014,1 016,…,2 024},其中任意两个数既不互素又不存在整除关系,此时A中有506个元素. 若从{2k|1≤k≤506}中任取一数,则它与A中的某个数存在整除关系. 因此,n的最大值是506. 7 学科网（北京）股份有限公司 $