第一章 集合与常用逻辑用语（课件）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了集合与常用逻辑用语的核心知识，涵盖集合概念、运算、子集关系及命题否定、充要条件等内容，通过基础题到综合题的梯度设计，构建从概念理解到应用拓展的知识网络。 其亮点在于注重数学核心素养培养，如数域定义辨析题发展抽象能力，充要条件证明题提升推理意识，创新题如子集乘积求和强化数学语言表达，分层练习满足不同学生需求，助力教师精准把握学情，提升复习效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知集合A={x|x2-1=0},下列关系式错误的是 ( ) A.1∈A　    B.{-1}∈A　    C.⌀⊆A　    D.{-1,1}⊆A     B     解析　∵A={x|x2-1=0}={1,-1},∴1∈A,{-1}⊆A,⌀⊆A,{-1,1}⊆A,故B错误,A,C,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.命题“∀x>0,x2+2x-3>0”的否定是 ( ) A.∃x>0,x2+2x-3≤0　    B.∃x≤0,x2+2x-3<0 C.∀x≤0,x2+2x-3≤0　    D.∀x>0,x2+2x-3<0     A     解析　由全称量词命题的否定为存在量词命题,可知原命题的否定为∃x>0,x2+2x-3≤0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.设全集U={x∈N*|x≤7},集合A={1,2,5},B={3,5,6},则(∁UA)∩B的子集个数为 ( ) A.3　    B.4　    C.7　    D.8     B     解析　因为U={x∈N*|x≤7}={1,2,3,4,5,6,7},所以∁UA={3,4,6,7},所以(∁UA)∩B={3,6},所以(∁UA)∩B的 子集个数为22=4. 第1讲　描述运动的基本概念 4.设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|≤1”的 ( ) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件     D     解析　由|x-1|≤1可得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2, 因为由“0<x<5”推不出“0≤x≤2”,且由“0≤x≤2”推不出“0<x<5”, 所以“0<x<5”是“|x-1|≤1”的既不充分也不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为 ( ) A.4　    B.8　    C.7　    D.16     B     解析　由已知得A={x|x2-5x+6=0}={x|(x-2)(x-3)=0}={2,3},B={x|0<x<6,x∈N}={1,2,3,4,5},因为A⊆C⊆B, 所以C中一定含有元素2,3,可能含有元素1,4,5,所以C的个数即为集合{1,4,5}的子集个数,为23=8. 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知命题p:∀x>0,x2>x,命题q:∃x<0,x3+1>0,则 ( ) A.p和q均为真命题　    B.¬p和q均为真命题 C.p和¬q均为真命题　    D.¬p和¬q均为真命题     B     解析　对于命题p,当x=1时,x2=x,所以p为假命题,则¬p为真命题; 对于命题q,当x=- 时,x3+1= >0,所以q为真命题. 综上可知,¬p和q均为真命题. 第1讲　描述运动的基本概念 7.当一个非空数集G满足:如果a,b∈G,那么a+b,a-b,ab∈G,且b≠0时, ∈G,我们称G是一个数域.有以下 关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域G有非零元素,则2 024∈G;③集合P={x|x=2k,k∈Z}是 一个数域;④有理数集是一个数域.其中正确的是 ( ) A.①②④　    B.②③④　    C.①④　    D.①②     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当a=b,且a,b∈G时,a-b=0∈G, 所以0是任何数域的元素,故①正确; 当a=b≠0,且a,b∈G时,由数域的定义知 =1∈G, 所以1+1=2∈G,1+2=3∈G,……,1+2 023=2 024∈G,故②正确; 当a=2,b=4时, = ∉P,故③错误; 如果a,b∈Q,那么a+b,a-b,ab∈Q,且当b≠0时, ∈Q,所以有理数集是一个数域,故④正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.集合M={2 025,1 111,-2 028,150,-1,584,0,3}有8个元素,设M的所有非空子集为Mi(i=1,2,…,255),Mi中所 有元素的乘积为mi,则m1+m2+m3+…+m255= ( ) A.0 　    B.1 　    C.-1 　    D.2     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    M的所有非空子集为Mi(i=1,2,…,255)分为以下几种情况: ①含0的子集有27=128个,这些子集中的元素均满足乘积为0; ②不含0,不含-1,但含有其他元素的子集,有26-1=63(去掉空集)个; ③不含0,含有-1且含有其他元素的子集,有26-1=63个; ④只含-1的子集有一个,即{-1},元素乘积为-1. 其中②③中的集合是一一对应的,且元素乘积为相反数,其乘积之和为0. 综上,m1+m2+m3+…+m255=0×128+0+(-1)=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知非空集合A,B,C都是R的子集,满足B⊆A,A∩C=⌀,则 ( ) A.A∪B=A　    B.A∩(∁RC)=A　     C.B∩C=B　    D.B∩(∁RC)=B     ABD     解析　作出Venn图,如图所示:   由图可知A∪B=A,A∩(∁RC)=A,B∩C=⌀,B∩(∁RC)=B,因此A、B、D正确,C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 10.设集合A={-3,x+2,x2-4x},若5∈A,则x的值可以为 ( ) A.3　    B.-1　    C.5　    D.-3     BC     解析　若5∈A,则x+2=5或x2-4x=5. 若x+2=5,则x=3,此时x2-4x=9-12=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去. 若x2-4x=5,则x=-1或x=5, 当x=-1时,A={-3,1,5},符合题意; 当x=5时,A={-3,7,5},符合题意. 综上所述,x=-1或x=5. 第1讲　描述运动的基本概念 11.给定实数集A,定义集合M={m∈R|∀a∈A,都有m≥a},若M是非空集合,则称集合M中最小的元素为 集合A的上确界,记作sup A.以下说法正确的是 ( ) A.若数集A中有2 024个元素,则数集A一定有上确界 B.若数集A中元素没有最大值,则数集A一定没有上确界 C.若数集A,B均有上确界,则数集{a+b|a∈A,b∈B}一定也有上确界,为sup A+sup B D.若数集A,B均有上确界,则数集{ab|a∈A,b∈B}一定也有上确界,为sup Asup B     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若数集A中有2 024个元素,则数集A中的元素一定有最大值,所以数集A一定有上确界,故A 正确; 对于B,若A= x x= ,n>1 ,当n>1时,x= <1, 所以sup A=1,即数集A有上确界,故B错误; 对于C,若数集A,B均有上确界,则设sup A=p,sup B=q, 由上确界的定义可知,∀a∈A,b∈B,都有a≤p,b≤q, 所以a+b≤p+q,即sup{a+b|a∈A,b∈B}=p+q=sup A+sup B,故C正确; 对于D,若A={-2,-1},B={1,2},则数集A,B有上确界,且sup A=-1,sup B=2,此时{ab|a∈A,b∈B}={-4,-2,-1},则 sup{ab|a∈A,b∈B}=-1,而sup Asup B=-2,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知集合A={x|-1<x≤2},B={x|m-1≤x<m+2}.若A∩B=⌀,则实数m的取值范围是_________________.     {m|m>3或m≤-3} 解析　因为m+2-(m-1)=3,所以B≠⌀,要使A∩B=⌀, 则需m-1>2或m+2≤-1,解得m>3或m≤-3. 第1讲　描述运动的基本概念 13.命题p:∀x∈R,x2-2x+a≠0是假命题,则实数a的取值范围为_____________.     {a|a≤1}     解析　因为命题p:∀x∈R,x2-2x+a≠0为假命题, 所以¬p:∃x∈R,x2-2x+a=0为真命题,即方程x2-2x+a=0有实数解, 故Δ=4-4a≥0,解得a≤1,即a的取值范围为{a|a≤1}. 第1讲　描述运动的基本概念 14.用C(A)表示非空集合A中的元素的个数,定义A*B=|C(A)-C(B)|,已知A={x|x2-2 024x-2 025=0},B={x|(2x2 +ax)(x2+2ax+6)=0},若A*B=1,a的所有可能取值构成集合M,则C(M)=_________.     5     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由x2-2 024x-2 025=0得(x-2 025)(x+1)=0,解得x=2 025或x=-1,则A={-1,2 025},即C(A)=2. ∵A*B=|C(A)-C(B)|=1,∴C(B)=3或C(B)=1. 由(2x2+ax)(x2+2ax+6)=0得x(2x+a)(x2+2ax+6)=0.① 当a=0时,方程为2x2(x2+6)=0,所以x=0, 此时B={0},C(B)=1,符合题意. 当a≠0时,由①得x=0或x=- 或x2+2ax+6=0, 因为- ≠0,所以C(B)≠1,故C(B)=3. 当方程x2+2ax+6=0有两个不等实根时,Δ=(2a)2-4×6>0,解得a<- 或a> ,显然x=0不是x2+2ax+6=0的实 根,则x=- 是方程x2+2ax+6=0的一个实根,则 +2a +6=0,解得a=±2 ,经检验,满足题意; 第1讲　描述运动的基本概念 当方程x2+2ax+6=0有两个相等实根时,Δ=(2a)2-4×6=0,得a=± ,经检验,满足题意. 综上所述,M={0, ,- ,2 ,-2 },∴C(M)=5. 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知命题p:关于x的方程x2-2ax+a2+2a-8=0有实数根. (1)若p是真命题,求实数a的取值范围; (2)记p是真命题时,实数a的取值集合为M,若集合N={a|m-2≤a≤m+8},“a∈M”是“a∈N”的必要不 充分条件,求实数m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当p为真命题时,x2-2ax+a2+2a-8=0有实数根,即Δ=(-2a)2-4(a2+2a-8)=-8a+32≥0, (4分) 解得a≤4,即实数a的取值范围是{a|a≤4}. (7分) (2)由(1)知,M={a|a≤4}, 因为N={a|m-2≤a≤m+8},“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件,所以N⫋M, (10分) 因此m+8≤4,解得m≤-4, 即实数m的取值范围是{m|m≤-4}. (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1. 证明　充分性:若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1,充分性成立. (5分) 必要性:若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b4+2b2+1)=0,∴a4-(b2+1)2=0, (8分) ∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0, (10分) ∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2-1=0, (12分) 即a2-b2=1,必要性成立. (14分) 综上,a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)设集合A={x|x2-3x+2=0},非空集合B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)x2-3x+2=0即(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2,所以A={1,2}. (2分) 因为B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0},A∩B={2}, 所以4+2(a-1)+a2-5=0,即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3, (4分) 当a=1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},符合A∩B={2}; 当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},符合A∩B={2}. 综上,a=1或a=-3. (7分) (2)若A∪B=A,则B⊆A.由(1)知A={1,2},因为B≠⌀,所以B={1}或B={2}或B={1,2}. (9分) 当B={1}时,有 无解; (11分) 当B={2}时,有 得a=-3; (13分) 当B={1,2}时,有 无解.综上,实数a的值为-3. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)非空集合A是正实数集的子集,满足对任意的x∈A,总有 ∉A,记集合T(A)= (x,y) x∈A,y∈A,  ∈A . (1)求证:对任意的x∈A,(x,x)∉T(A); (2)若T(A)中只有1个元素(a,b),求证:a=b2; (3)若集合A={a,b,c,d,e},且a<b<c<d<e,T(A)中恰有10个元素,求证:c2=ae. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)假设x0∈A,(x0,x0)∈T(A). 由题意得x0>0, =1∈A. (2分) 因为对任意的x∈A, ∉A, 所以取x=1∈A,得 ∉A,矛盾, 所以假设不成立,故对任意的x∈A,(x,x)∉T(A). (5分) (2)由(a,b)∈T(A),得a,b>0,a,b∈A, ∈A, (7分) 显然 =b,由定义知 ∈T(A), (9分) 又T(A)中只有一个元素,所以必有(a,b)= ,即b= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以a=b2. (11分) (3)易得A的二元子集有{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e},共10个. 因为对任意的x∈A,总有 ∉A,所以1∉A, 同时,若(p,q)∈T(A),则 ∈A,从而 ∉A,所以必有(q,p)∉T(A). (12分) 因为T(A)中恰有10个元素,所以A的每个二元子集中的元素组成的数对都是T(A)中的一个元素,即对任 意的p,q∈A,若p≠q,则(p,q)∈T(A)或(q,p)∈T(A),即 ∈A或 ∈A. (14分) 若a<1<e,则 <a<e< ,此时 ∉A且 ∉A,与上述结果矛盾,所以0<a<e<1或1<a<e. (15分) 当0<a<e<1时,A中所有元素都小于1,于是对任意的p,q∈A,若p>q>0,则1< ,故 ∉A,所以必有 ∈A,此 时a< < < < ,故a, , , , 是A中的五个不同的元素,所以 =b, =c, =d, =e,解得e2=d,e3=c,e4=b,e5=a, 第1讲　描述运动的基本概念 因此c2=e6=ae. (16分) 当1<a<e时,A中所有元素都大于1,于是对任意的p,q∈A,若p>q>0,则1> ,故 ∉A,所以必有 ∈A,此时  < < < <e,故 , , , ,e是A中的五个不同的元素,所以 =a, =b, =c, =d,解得a2=b,a3=c,a4=d,a5=e,因 此c2=a6=ae. 综上所述,c2=ae. (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)已知n为正整数,集合Mn={(x1,x2,…,xn)|xi∈{0,1},i=1,2,…,n},对于Mn中任意两个元素α=(a1,a2,…, an)和β=(b1,b2,…,bn),定义:α-β=(|a1-b1|,|a2-b2|,…,|an-bn|),d(α,β)=|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|. (1)当n=3时,设α=(1,0,1),β=(0,1,1),写出α-β,并计算d(α,β); (2)若集合S满足S⊆M2,且∀α,β∈S,d(α,β)=2,求集合S中元素个数的最大值,并写出此时的集合S; (3)若α,β∈Mn,任取γ∈Mn,证明:d(α-γ,β-γ)=d(α,β). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)α-β=(1,1,0),d(α,β)=2. (3分) (2)当α=(0,0)时,由d(α,β)=2可得β=(1,1); (5分) 当α=(0,1)时,同理可得β=(1,0); (7分) 当α=(1,1)时,β=(0,0);当α=(1,0)时,β=(0,1). 所以集合S中元素个数的最大值是2, (9分) 此时S={(0,0),(1,1)}或S={(0,1),(1,0)}. (10分) (3)证明:设α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),γ=(c1,c2,…,cn), 则ai,bi,ci∈{0,1},|ai-ci|,|bi-ci|∈{0,1}(i=1,2,3,…,n), (12分) 所以α-γ=(|a1-c1|,|a2-c2|,…,|an-cn|)∈Mn, β-γ=(|b1-c1|,|b2-c2|,…,|bn-cn|)∈Mn, 所以d(α-γ,β-γ)=||a1-c1|-|b1-c1||+||a2-c2|-|b2-c2||+…+||an-cn|-|bn-cn||, (14分) 第1讲　描述运动的基本概念 当ci=0时,||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|(i=1,2,3,…,n); 当ci=1时,||ai-ci|-|bi-ci||=|(1-ai)-(1-bi)|=|ai-bi|(i=1,2,3,…,n). 所以d(α-γ,β-γ)=d(α,β). (17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $