第一章 子集个数问题（课件）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了集合中子集、真子集的概念、性质及个数公式，通过要点回顾、知识辨析、公式推导等方式建立知识网络，串联子集性质、个数公式与含限制条件的子集问题，帮助学生构建完整的集合知识体系。 其亮点在于采用“概念辨析-公式应用-典例突破”的复习策略，如通过“集合A有3个元素求子集个数”等问题引导学生抽象出2ⁿ公式，结合“确定必含元素转化子集个数”的典例培养数学抽象和逻辑推理能力。分层设计满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升知识巩固效果。

第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 02　子集个数问题 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.子集的概念 对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A⊆ B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”). 2.集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A 与集合B相等,记作A=B. 3.真子集的概念 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A). 第1讲　描述运动的基本概念 4.子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A. (2)子集的传递性:若A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C;若A⫋B,且B⫋C,则A⫋C. (3)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.即对于任意的集合A,都有⌀⊆A;当A≠⌀时,⌀⫋ A. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.若集合A中有3个元素,则集合A的子集有多少个? 2.已知集合B⊆A,则由a∉A能否得到a∉B? 答案    1.8个.    2.能得到. 提示    1.设A={a,b,c},则A的子集有⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},共8个. 2.根据B⊆A画出Venn图.   由图可知,若a∉A,则一定有a∉B. 第1讲　描述运动的基本概念 1.假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则: (1)A的子集的个数是2n; (2)A的非空子集的个数是2n-1; (3)A的真子集的个数是2n-1; (4)A的非空真子集的个数是2n-2. 2.含有限制条件的子集问题,可根据条件列出所有适合题意的子集,采用列举法解决,元素较多时一般先 固定或排除某些元素,剩余元素根据条件选择,转化为求子集个数(或限制条件的子集个数)问题.特别 地,设有限集合A,B中分别含有m,n个元素(m,n∈N*,m<n),则: (1)当A⊆C⊆B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m; (2)当A⫋C⊆B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m-1; 第1讲　描述运动的基本概念 (3)当A⊆C⫋B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m-1; (4)当A⫋C⫋B时,符合条件的有限集C的个数为2n-m-2. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.A中有n(n∈N*)个元素,则其每个元素均有“在子集中”和“不在子集中”两种情况,故集合A的子集 个数为 =2n. 2.特殊条件子集问题的通法: 若集合中元素个数为n(n∈N*),其中固定或排除的元素个数为m(m∈N*,m<n),则当剩余(n-m)个元素自由 选择时,问题转化为求含有(n-m)个元素的集合的子集个数,为2n-m,非自由选择时,根据条件取舍. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)已知集合A={1,2},B={x|-1<x<6,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为____________; 满足条件A⫋C⫋B的集合C的个数为____________. (2)设集合I={0,1,2,3,4},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择 方法共有____________种. 　    49　     　    14　     　    16　     思路点拨    (1)先确定集合B,再研究集合C中必含、可含的元素个数,转化为相应集合的子集或真子集. (2)先由题意得到0∉B,接着分集合B中最小的元素为1,2,3,4,结合子集个数的结论进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知A={1,2},B={x|-1<x<6,x∈N}={0,1,2,3,4,5}, 当A⊆C⊆B时,C中元素必有1,2,其余元素可从0,3,4,5中选取,可以选取0个,也可以选取1~4个,故C的个数 等于集合{0,3,4,5}的子集的个数,为24=16. 当A⫋C⫋B时,C中元素必有1,2,其余元素可从0,3,4,5中选取,且最少选取1个(若选取0个,则A=C,不符合), 最多选取3个(若选取4个,则C=B,不符合),故C的个数等于集合{0,3,4,5}的非空真子集的个数,为24-2=14. (2)由已知得0∉B. ①当集合B中最小的元素为1时,A={0}, 此时集合B的个数等于集合{2,3,4}的子集的个数,为23=8,所以此时不同的选择方法数为1×8=8; ②当集合B中最小的元素为2时,集合A中最大的元素为0或1, 此时集合B的个数等于集合{3,4}的子集的个数,为22=4,集合A的个数等于集合{0,1}的非空子集的个数, 为22-1=3, 第1讲　描述运动的基本概念 所以此时不同的选择方法数为4×3=12(点拨:任意1个B都对应3个A,而符合条件的B有4个); ③当集合B中最小的元素为3时,集合A中最大的元素为0或1或2, 此时集合B的个数等于集合{4}的子集的个数,为21=2,集合A的个数等于集合{0,1,2}的非空子集的个数, 为23-1=7, 所以此时不同的选择方法数为2×7=14; ④当集合B中最小的元素为4时,集合A中最大的元素为0或1或2或3, 此时集合B={4},集合A的个数等于集合{0,1,2,3}的非空子集的个数,为24-1=15, 所以此时不同的选择方法数为1×15=15. 综上所述,不同的选择方法共有8+12+14+15=49种. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛　子集个数问题的本质是“集合中元素的确定性”与“子集组合规律”的转化,核心是“定 元素、套规律、避漏判”. 第1讲　描述运动的基本概念 $