2.2.2 基本不等式的其他应用（课件）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的其他应用，涵盖比较大小、证明不等式及实际问题解决，通过基础题组衔接前期知识，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 其亮点在于结合仓储费用、运动场地设计等实际情境，融入一题多解（如柯西不等式）及创新题型（杠杆原理融合），培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理证明、用数学语言表达模型的核心素养，助力学生提升应用能力，为教师提供丰富教学资源。

基础过关练 2.2　基本不等式 第2课时　基本不等式的其他应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用基本不等式比较大小 1.[2026山东枣庄第九中学月考]已知a>b>0,则下列不等式恒成立的是 ( ) A.b> > 　    B. >b>  C. > >b　    D. > >b     C     解析　由a>b>0,得 > > =b. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏扬州中学月考]小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b),其全程的平均速度为v,则  ( ) A.a<v< 　    B. <v<  C. <v< 　    D. <v<b     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设从甲地到乙地的距离为c,则小王从甲地到乙地往返的时间分别是 和 ,所以v= = =  , 由0<a<b,得 + >2 ,可得 < ,即v< ,故B错误; v-a= -a= = ,由0<a<b,得 >0,即a<v,故A正确; 由a+b>2 ,得 > >v, > >v,故C,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026福建莆田四中月考]某食品加工厂生产某种食品,第一年产量为5 kg,第二年的增长率为a,第三年 的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则 ( ) A.x= 　    B.x≤  C.x> 　    D.x≥      B     解析　由题意得5(1+a)(1+b)=5(1+x)2且a,b,x>0, 则由基本不等式可得x= -1≤ -1= , 当且仅当a+1=b+1,即a=b时取等号,故x≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用基本不等式证明不等式 4.[教材习题改编]已知a,b,c是三个不全相等的正数,求证: + + >3. 第1讲　描述运动的基本概念 证明　∵a,b,c是三个不全相等的正数, ∴三个不等式 + ≥2, + ≥2, + ≥2(待证不等式左侧拆分后可得证明方向)的等号不能同时成立, 则 + + + + + >6, ∴ + +  + -1 >3, 即 + + >3. 名师点睛　利用基本不等式证明不等式时,要先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用 基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的形式;若题 目中还有已知条件,应注意已知条件和所证不等式之间的联系. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河北保定十八校联考]已知x>0,y>0,证明: (1)  ≥4;(2)  ≥4. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)因为x>0,y>0,所以x+ ≥2,当且仅当x=1时,等号成立, y+ ≥2,当且仅当y=1时,等号成立. 故  ≥4,当且仅当x=y=1时,等号成立. (2)因为x>0,y>0,所以xy>0.   =xy+ +2 ≥2 +2=4, 当且仅当xy=1时,等号成立. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026上海吴淞中学月考]已知a,b都是正实数,且a+b=1,求证: (1) ≥4;(2) + ≤ . 证明    (1)因为a,b>0,所以a+b≥2 ,所以1≥2 ,平方得1≥4ab, 所以 ≥4,当且仅当a=b= 时,等号成立,得证. (2)要证 + ≤ ,即证( + )2≤2,即证a+b+2 =1+2 ≤2, 只需证 ≤ ,即证ab≤ ,即证 ≥4,由(1)可知 ≥4成立, 所以 + ≤ 成立. 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　柯西不等式:设a1,a2,b1,b2∈R,且b1,b2≠0,则( + )·( + )≥(a1b1+a2b2)2,当且仅当 = 时等 号成立. 第(2)问由柯西不等式得[( )2+( )2](12+12)≥( ×1+ ×1)2,即2(a+b)≥( + )2,即( + )2≤2,所 以 + ≤ ,当且仅当a=b= 时,等号成立,所以 + ≤ 成立. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用基本不等式解决实际问题 7.[2026山西大同期中]某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均 仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之 和最小,则每批应生产产品( ) A.30件　    B.60件　    C.80件　    D.100件     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,则y= = + ≥2 =3 0,当且仅当 = ,即x=60时等号成立, 故每批应生产产品60件. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖南常德一中月考]为净化水质,向一个游泳池中加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓 度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为C= ,则经过________h后池水中药品的浓度达到最大.     2     解析　当t=0时,C=0; 当t>0时,C= = ≤ =5,当且仅当t= ,即t=2时取等号. 因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026北京通州月考]据市场调查,某超市的某种商品每月的销售量y(单位:百件)与销售价格x(单位:元/ 件)满足关系式y= +2,其中20<x<50.已知该商品的成本为10元/件,则该超市每月销售该商品所获得 的利润最少为_____________元.     8 000     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设该超市每月销售该商品所获得的利润为L元, 由已知得每件该商品的利润为(x-10)元,每月的销售量为100y件, ∴L=100y(x-10)=100 (x-10)=200 (x-20+10)=200×  +(x-20)+20  ≥200× 2 +20  =200×40=8 000, 当且仅当 =x-20,即x=30时取等号, ∴该超市每月销售该商品所获得的利润最少为8 000元. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏常州一中月考]在只剩一面墙的破屋基础上修建新屋(修四面墙),已知旧墙长12米,新屋的 面积预定为112平方米,且保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋,这项工程的费用要求是:①新料砌墙 的费用为a元/米;②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%;③拆旧墙的一部分,利用旧料来砌同样长度的 新墙,费用相当于用新料砌墙的50%.在这种情况下,旧墙保留约多少米最为合算?(结果保留1位小数) 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设保留旧墙x米,易知0<x≤12, 利用旧料来砌的新墙长度为(12-x)米, 又新屋的面积预定为112平方米,所以用新料砌墙的长度应为2× +x-(12-x)= 米, 因此总费用(单位:元)为25%·ax+(12-x)·50%·a+ a= a,0<x≤12. 利用基本不等式得 + ≥2 =28 ,当且仅当x=8 时,等号成立, 又x=8 ≈11.3<12,满足题意, 所以旧墙保留约11.3米最为合算. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026山东泰安二中月考]某地方政府准备建造一个面积为3 000平方米的矩形运动场地(如图所示, 包括阴影部分和中间三个矩形区域),其中阴影部分为走道,走道宽度均为2米,中间的三个矩形区域铺设 塑胶地面(其中两个小矩形的形状、大小相同),塑胶地面总面积为S平方米. (1)设矩形运动场地相邻的两边分别为x米和y米,试写出S关于x的关系式,并给出x的取值范围; (2)怎样设计能使S取得最大值?并求出最大值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意得xy=3 000,则y= , 由已知得 解得6<x<500. 由2a+3×2=x,得a= , 则S= ×(y-4)+ ×(y-6) =  =(x-6)(y-5)=(x-6)  =3 000-5x-6× +30 第1讲　描述运动的基本概念 =3 030- ,6<x<500. (2)由(1)得S=3 030- ,6<x<500, 所以S=3 030- ≤3 030-2 =3 030-2×300=2 430, 当且仅当5x= ,即x=60,y=50时等号成立. 所以当x=60,y=50时,S取得最大值2 430. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2　基本不等式 第2课时　基本不等式的其他应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用基本不等式比较大小 1.[2026重庆西南大学附属中学月考]汽车现在已经是我们出行不可或缺的工具之一,小明经常驾车出 差,每次出差需要加油两次,两次加油的单价不同.现有两种方案,第一种方案:每次加油200元,第二种方 案:每次加油30升.则更经济实惠的方案是 ( ) A.第一种　    B.第二种　    C.不确定　    D.一样实惠     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设第一次加油的单价为m元/升,第二次加油的单价为n元/升,m>0,n>0,m≠n. 则方案一的均价(单位:元)为 = , 方案二的均价(单位:元)为 = , 因为m>0,n>0,m≠n,所以 < = , > ,所以 < ,所以方案一更经济实惠 或直 接用调和平均数与算术平均数的关系得 <  . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026安徽合肥第十中学月考]如图所示的是一个矩形和一个正方形,矩形的相邻两边的边长分别为a, b(a>0,b>0),当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x,当正方形的面积与矩形面积相等时正 方形的边长为y,当正方形的对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z,则     ( )   A.x≥y≥z　    B.z≥x≥y　    C.x≥z≥y　    D.z≥y≥x     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可得,a+b=2x,ab=y2, = z,且a,b>0, 由基本不等式可得a+b≥2 ,当且仅当a=b时等号成立,所以x≥y, 因为(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),所以a2+b2≥ ,当且仅当a=b时等号成立, 所以2z2≥ ,所以z≥x,所以z≥x≥y. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二    利用基本不等式证明不等式 3.[2026江苏南京期中]已知a,b,c均为正实数. (1)若a+b+c=2,求证: + + ≥ ; (2)求证: + + ≥ + + ; (3)若 + + =1,求证:a+b+c≥36. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)由a,b,c均为正实数,且a+b+c=2, 可得 + + =  (a+b+c)=  1+ + + +1+ + + +1 =   + + + + + +3 ≥  × 2 +2 +2 +3 = , 当且仅当 = , = , = ,即a=b=c= 时等号成立, 故 + + ≥ . (2)由a,b,c>0及基本不等式可得a+b≥2 ,当且仅当a=b时等号成立, 即(a+b)2≥4ab,即 ≥4, 则 + = ≥ . 第1讲　描述运动的基本概念 同理, + ≥ , + ≥ , 所以2 ≥ + + , 即 + + ≥ + + ,当且仅当a=b=c时等号成立. (3)由a,b,c均为正实数,且 + + =1,得a+b+c=(a+b+c) =1+ + + +4+ + + +9=14+ +  + + + + ≥14+2 +2 +2 =36, 当且仅当 = , = , = ,即a=6,b=12,c=18时等号成立, 故a+b+c≥36. 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　利用权方和不等式求解: (1) + + = + + ≥ = ,当且仅当 = = ,即a=b=c= 时等号成立,故 + + ≥ . (2) + = + ≥ = ,当且仅当 = 时等号成立, 同理 + ≥ , + ≥ , 故 + + ≥ + + ,当且仅当a=b=c时等号成立. (3) + + = + + ≥ = ,当且仅当 = = ,即a=6,b=12,c=18时等号成立,故a+b+c≥36. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025广西桂林期中]已知a,b,c均为正实数. (1)证明:a+b+c≥ + ; (2)证明: ≥ ,并求2m+ (m>2)的最小值; (3)若abc=1,求证: + + >2. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由基本不等式得a+ ≥ , +c≥ ,∴a+b+c≥ + ,当且仅当a= =c时等号 成立,问题得证. (2)要证 ≥ ,即证a+b+c≥3 ,即证a3+b3+c3≥3abc,即证a3+b3+c3-3abc≥0.证明如下: a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) = (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, 当且仅当a=b=c时等号成立, ∴不等式a3+b3+c3≥3abc成立. 第1讲　描述运动的基本概念 故不等式 ≥ 成立. ∵m>2,∴m-2>0,∴2m+ =(m-2)+(m-2)+ +4≥3 +4=7, 当且仅当m-2= ,即m=3时,等号成立,∴2m+ 的最小值为7. (3)证明:令a= ,b= ,c= ,x,y,z均不为0,则 = = = , 由基本不等式得|x| ≤ ,∴ = ≥ , 同理, ≥ , ≥ , ∴ + + ≥ =2, 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当 时取“=”,显然不存在这种情况, ∴ + + >2. 名师点津　当a1,a2,…,an均大于0时, ≤ ≤ ≤ ,当且 仅当a1=a2=…=an时取等号. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　基本不等式的综合应用 5.[2026江苏无锡江阴二中月考]一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列 信息:每月土地占地费y1(单位:元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月储存货物费y2(单位:元)与 x成正比;若在距离车站6 km处建仓库,则y2=4y1.要使这两项费用之和最小,则仓库到车站的距离应为  ( ) A.2 km　    B.3 km　    C.4 km　    D.5 km     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意设y1= ,y2=k2x,k1>0,k2>0, ∵在距离车站6 km处建仓库时,y2=4y1,∴6k2= ,∴k1=9k2,则y1+y2= +k2x≥2 =6k2, 当且仅当 =k2x,即x=3时等号成立, 所以要使这两项费用之和最小,则仓库到车站的距离应为3 km. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026山东泰安一中月考]中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长求 三角形的面积:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S= 求 得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=4,b+c=6,则此三角形面积的最大值为 ( ) A.3 　    B.2 　    C.2 　    D.3      B 解析　由题意可知,p= =5, 所以S=  = = , 又bc≤ =9,所以S≤ =2 ,当且仅当b=c=3时等号成立,所以三角形面积的最大值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.某校高一(3)班的小北为学校设计的冬季运动会会徽“冬日雪花”获得一等奖.他的设计灵感来自三 个全等的矩形的折叠拼凑,其中会徽的六个直角三角形(图2阴影部分)要利用镀金工艺上色.已知一块 矩形材料(如图1中矩形ABCD)的周长为4 cm,其中较长的边AD=x cm,将△BCD沿BD向△ABD折叠,使点 C到点C'处,且BC'交AD于点E. (1)用x表示图1中△BAE的面积; (2)已知镀金工艺是2元/平方厘米,试求会徽的镀金部分所需的最大费用.  　      第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为AD=x cm,所以AB=(2-x)cm.由AD>AB>0得1<x<2. 设ED=a cm,则AE=(x-a)cm. 因为∠AEB=∠C'ED,∠EAB=∠DC'E,AB=DC',所以△BAE≌△DC'E,所以BE=ED=a cm. 在Rt△BAE中,由勾股定理得BA2+AE2=BE2,即(2-x)2+(x-a)2=a2, 解得a= ,所以AE=x-a=  cm, 所以S△BAE= AB·AE= (2-x)· = 3-  cm2(1<x<2). (2)设会徽的镀金费用为y元, 则y=6·S△BAE·2=12× ≤12×(3-2 )=36-24 ,当且仅当x= ,即x= 时等号成立, 所以会徽的镀金部分所需的最大费用为(36-24 )元. 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　基本不等式与“杠杆原理”的融合 创新题型 8.[2026湖南邵阳二中月考]一家黄金专卖店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长 之比为λ(λ≠1),一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放 在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡, 最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于10 g,为什么? (2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,那么要 使得三次黄金质量总和最小,商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少?请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设天平左臂长为m,右臂长为n(m≠n),第一次放的黄金为x g,第二次放的黄金为y g, 则5m=xn,my=5n(杠杆原理), 得x= ,y= , 所以x+y= + ≥2 =10, 当且仅当 = ,即m=n时取等号, 又m≠n,所以x+y>10,因此顾客购得的黄金大于10 g. (2)设第三次放的黄金为z g,则10m=zn, 代入 = ,可得2x=z, 故三次黄金质量总和为x+y+z=3x+y≥2 =10 ,当且仅当3x=y,即x= ,y=5 时取等号, 此时λ= = = ,因此当λ= 时,三次黄金质量总和最小. 第1讲　描述运动的基本概念 $