2.2.1 基本不等式、求最大(小)值及其应用（课件）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

该高中数学课件聚焦“基本不等式”第1课时，承接第二章一元二次函数、方程和不等式内容，通过题组构建“理解基本不等式—利用不等式求最值—解决实际应用问题”的学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于融入几何直观（如《几何原本》半圆图形证明均值不等式）、一题多解（配凑法、换元法等）和实际应用（恒成立问题），以数学眼光观察数量关系，用数学思维发展推理能力，借数学语言表达问题解决过程。学生能提升探究能力，教师可高效开展分层教学。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式、求最大(小)值及其应用 基础过关练 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对基本不等式的理解 1.[2026海南海口第一中学月考]设a,b∈R,且a<b<0,则 ( ) A. < 　    B. >  C. ≥ 　    D. + >2     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为a<b<0,所以 > ,故A错误; 对于B,因为a<b<0,所以 < <0,所以- >- >0, 又-a>-b>0,所以 ·(-a)> ·(-b)>0,即 > ,故B错误; 对于C,因为a<b<0,所以 <0, >0,所以 < ,故C错误; 对于D,因为a<b<0,所以 >0, >0,所以 + ≥2 =2, 当且仅当 = ,即a=b时,等号成立, 又a<b,所以 + >2,故D正确. 易错警示　利用基本不等式解题要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三个条件同时满足才能得 出结论. 第1讲　描述运动的基本概念 2.不等式a2+ ≥4中,等号成立的条件是( ) A.a=2　    B.a=±2 C.a= 　    D.a=±      D     解析　该不等式等号成立的条件为a2= ,即a=± . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山西吕梁月考]已知m>0,n>0,则“m+n≤ ”是“16mn≤1”的 ( ) A.充分不必要条件　     B.必要不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当m>0,n>0时,m+n≥2 ,当且仅当m=n时取等号,则当m+n≤ 时,有2 ≤m+n≤ ,则16mn≤ 1,充分性成立; 取m= ,n=1(举特例),满足16mn≤1,但m+n= > ,必要性不成立. 综上所述,“m+n≤ ”是“16mn≤1”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用基本不等式求最大(小)值 4.[多选题][2026河北保定一中月考]下列选项正确的是     ( ) A.当x>1时,x+ 的最小值是3 B.已知x<0,则x+ 的最大值是-2 C.当0<x<10时, 的最大值是5 D.设x∈R,则x2+2+ 的最小值为2     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由x>1,得x-1>0,则x+ =x-1+ +1≥2 +1=3,当且仅当x-1= ,即x=2时等 号成立,所以A正确. 对于B,当x<0时,-x>0,所以x+ =- ≤-2 =-2, 当且仅当-x= ,即x=-1时等号成立,所以B正确. 对于C, ≤ =5,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,所以C正确. 对于D,x2+2+  ≥2 =2, 但x2+2= 无解,所以等号不成立,所以D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026吉林长春期末]已知0<x<4,则 + 的最小值为 ( ) A. 　    B. 　     C.2　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由0<x<4,得4-x>0,则 + = [x+(4-x)] =  5+ +  ≥  5+2  = , 当且仅当 = ,即x= 时取等号, 所以 + 的最小值为 . 解题模板　解决分式形式的代数式的最大(小)值问题时,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”, 如本题中的x+(4-x)是定值4,从而进行常值代换求最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[易错题][2026江苏连云港期中]已知m<10,则m+ 的最大值为 ( ) A.4　    B.6　    C.8　    D.16     A     解析　因为m<10,所以10-m>0,则m+ =m-10+ +10=10- 10-m+  ≤10-2× = 10-6=4,当且仅当10-m= ,即m=7时取等号,所以m+ 的最大值为4. 易错警示　求整式+分式形式的代数式的最大(小)值时,要检验各项是不是正数,若均不是正数,则可提 取负号后再用基本不等式,如本题中将所求式子变形为10- 求解. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026北京中国人民大学附属中学月考]已知x>0,y>0,且 + = ,则x+y的最小值为 ( ) A.5　    B.6　    C.7　    D.8     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(常值代换法):x+y=(x+3)+y-3=[(x+3)+y]×2 -3(“1”的代换) =2 -3≥1+4 =1+4=5, 当且仅当 = ,且 + = ,即x=1,y=4时取等号,故x+y的最小值为5. 解法二(消元法):由 + = 得y= = +2(分离常数), 所以x+y=x+ +2=x+1+ +1(配项)≥1+2 =1+4=5, 当且仅当x+1= ,且 + = ,即x=1,y=4时等号成立,故x+y的最小值为5. 第1讲　描述运动的基本概念 拓展解法　万能k法:令k=x+y,k>0,则y=k-x,代入 + = ,整理得x2+(3-k)x+6-k=0,方程有解即Δ≥0,解得 k≥5或k≤-3(舍去)(要满足k>0),所以x+y的最小值为5. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026福建厦门期中]已知x>-1,则 的最小值为 ( ) A.4　    B.7　    C.11　    D.24     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(配凑法):因为x>-1,所以x+1>0, = =x+1+ +3 或 =  =x+4+ =x+1+ +3  ≥2 +3=7, 当且仅当x+1= ,即x=1时等号成立,所以 的最小值为7. 解法二(换元法):令t=x+1,则t>0,x=t-1, 则 = = =t+ +3≥2 +3=7, 当且仅当t= ,即t=2,x=1时取等号,所以 的最小值为7. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[教材习题改编]已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为_________. 解析　∵0<x<1,∴4-3x>0,∴x(4-3x)= ·3x·(4-3x)≤ · = , 当且仅当3x=4-3x,即x= 时取等号. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用基本不等式求最大(小)值的应用 10.[2026河北NT20名校联合体期中]若不等式 + ≥2a-3对任意的m∈ m 0<m<  恒成立,则实 数a的最大值为 ( ) A. 　    B. 　     C.6　    D.-6     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为0<m< ,所以1-2m>0,则 + = [(1-2m)+2m]=5+ + ≥5+2 =9, 当且仅当 = ,即m= 时取等号, 由已知得9≥2a-3,解得a≤6,所以a的最大值为6. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026山西临汾一中月考]已知a>0,b>0,若不等式 ≤ 恒成立,则实数m的最大值为  ( ) A.64　    B.25　    C.13　    D.12     B 解析　由a>0,b>0,得a+b>0,所以不等式 ≤ 恒成立即m≤ ·(a+b)恒成立,故m≤  .易得 ·(a+b)= (a+b)=13+ + ≥13+2 =25, 当且仅当 = ,即b= a时等号成立, 故 ·(a+b)的最小值为25, 所以m≤25,即实数m的最大值为25. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　解决不等式恒成立问题时,常将不等式变形(参变分离等),再将不等式恒成立问题转化为最 大(小)值问题,符合“一正、二定、三相等”的则利用基本不等式求解最大(小)值. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026广东广州第四中学月考]已知x>0,y>0,且 + =1,若2x+y≥m恒成立,则实数m的最大值是_____.     9     解析　因为x>0,y>0,且 + =1, 所以2x+y=(2x+y) (“1”的代换) =5+ + ≥5+2 =9, 当且仅当x=y=3时,等号成立,故2x+y的最小值为9. 因为2x+y≥m恒成立,所以m≤(2x+y)min=9, 所以实数m的最大值是9. 第1讲　描述运动的基本概念 2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式、求最大(小)值及其应用 能力提升练 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对基本不等式的理解 1.[2026河南名校期中联考]已知a,b∈R,设甲:a+b≥2,乙:a2+b2≥2,则甲是乙的 ( ) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件     A     解析　当a+b≥2时,a2+b2≥ ≥ =2,当且仅当a=b=1时取等号,则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充 分条件; 当a2+b2≥2时,不妨取a=-2,b=0,此时a+b<2,则“a+b≥2”不是“a2+b2≥2”的必要条件, 所以甲是乙的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026山东济宁三校联考]若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是( ) A.ab≥1　    B.a2+b2≥2　     C. + ≤ 　    D. + ≥2     BD     解析　因为a>0,b>0,所以a+b=2≥2 ,所以ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,故A错误; a2+b2≥ =2,当且仅当a=b=1时取等号,故B正确; 令a=b=1,满足a+b=2,但 + ≤ 不成立,故C错误;  + =  =  1+1+ +  =1+  ≥1+ ×2 =2,当且仅当a=b=1时取等号,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏无锡天一中学月考]《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成 了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证 明,并称之为“无字证明”.如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O 上,且CD⊥AB,CE⊥OD于点E.设AC=a,BC=b,则该图形可以直接完成的“无字证明”为 ( )   A.2ab<a2+b2　    B. < 　     C. < 　    D. >      BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵AB=AC+CB=a+b,∴DO= AB= . 连接AD,BD,易知∠ADB=90°.   在Rt△ADB中,由射影定理可知CD2=AC·CB,∴CD= . ∵OD>CD,∴ > (a>0,b>0,a≠b),故B正确. 同理,在Rt△OCD中,由射影定理可知CD2=DE·OD,即DE= = = , 第1讲　描述运动的基本概念 ∵CD>DE,∴ > ,故C正确. 对于A,D选项,∵a2+b2在图中没有相应的线段与之对应,∴无法判断. 知识链接　平均值不等式:利用几何关系得出OD>CD>DE,即 > > (a>0,b>0,a≠b),其中 ,  , = 分别为a,b的算术平均数、几何平均数和调和平均数. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026上海七宝中学月考]《九章算术》中有“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问 勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一 般解法:如图(1),用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一 个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图(2)所示的矩形, 该矩形的长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图(3),设D 为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正 确的是 ( )                 BCD     A.由题图(1)和题图(2)的面积相等得d=  B.由AE≥AF可得 ≥  C.由AD≥AE可得 ≥  D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab 第1讲　描述运动的基本概念 信息提取    AF是斜边上的高,AD是斜边上的中线,AE是正方形的对角线,AE等于正方形边长的 倍. 解析　由题图(1)和题图(2)的面积相等可得ab=(a+b)d,得d= ,故A错误; 由题意知题图(3)的面积为 ab=  ·AF,故AF= ,由D是斜边BC的中点得AD= BC=   , 易知题图(3)中正方形的边长为d= ,则AE= ,由AE≥AF可得 ≥ ,化简可得  ≥ ,故B正确; 由AD≥AE可得  ≥ ,化简可得 ≥ ,故C正确; 由AD≥AF可得  ≥ ,化简可得a2+b2≥2ab,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　利用基本不等式求最大(小)值 5.[2026山东日照实验高级中学段考]已知0<x< ,则 + 的最小值为 ( ) A. 　    B.2　     C. 　    D.4     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为0<x< ,所以3-2x>0,所以 + = + =  [2x+(3-2x)] 利用 [2x+(3- 2x)]=1进行代换  =  2+ + +2  ≥  = , 当且仅当 = ,即x= 时等号成立,所以 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏南京期中]已知x>0,y>0,且x+y=1,则 + 的最小值为 ( ) A.1　    B.2　     C. 　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意得,1=x+y= (2x+y)+ (x+3y),因为x>0,y>0, 所以 + =   (2x+y)+ (x+3y)  = + + ≥ +2 = + , 当且仅当 = 且x+y=1, 即x= ,y= 时取等号,故 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　权方和不等式:若a,b,x,y均是正实数,则 + ≥ ,当且仅当 = 时,等号成立.  + = + ≥ = ,当且仅当 = 且x+y=1,即x= ,y=  时,等号成立,所以 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.已知a>b>0,则a2+ 的最小值为( ) A.8　    B.8 　     C.16　    D.16      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵a>b>0,∴a-b>0,则b(a-b)≤ = , ∴a2+ ≥a2+ =a2+ ≥2 =16,当且仅当 即 时,等号成立,故a2+ 的 最小值为16. 易错警示　两次利用基本不等式求最大(小)值时要注意两点:一是不等号的方向必须相同,二是不等式 中的等号能同时成立. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026安徽亳州一中月考]已知正实数a,b,c满足b+c=1,则 + 的最小值为__________.     16     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为a,b,c>0,b+c=1, 所以 + =a· + =a· + =a· + =a· + ≥a 2  +2 + =8a+ =8(a+1)+ -8≥2 -8=16, 当且仅当  即 时,等号成立.故所求最小值为16. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026天津第一百中学月考]已知a>0,b>0. (1)若a+b=4,求 + 的最小值及此时a,b的值; (2)若2a2+b2=4a+4b,求 + 的最小值及此时a,b的值; (3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵a+b=4,a>0,b>0, ∴ + =  (a+b)= + + ≥ +2 = ,当且仅当4a2=b2,即a= ,b= 时取等号,∴ + 的 最小值为 ,此时a= ,b= . (2)∵2a2+b2=4a+4b, ∴ + = = = + ≥2 = , 当且仅当2a2=b2,即a=1+ ,b= +2时取等号, ∴ + 的最小值为 ,此时a=1+ ,b= +2. (3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6, ∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2 =12,当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a= ,b= 时取等号,∴5a+9 第1讲　描述运动的基本概念 b的最小值为12,此时a= ,b= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用基本不等式求最大(小)值的应用 10.[2026重庆月考]已知x>0,y>0,且x+y=5,若 + ≥2m+1恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.m≤ 　    B.m≤ 　     C.m≤ 　    D.m≤4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为x+y=5,所以x+1+y+2=8, 又x>0,y>0, 所以 + =  [(x+1)+(y+2)]=  5+ +   ≥  5+2  = , 当且仅当 即x= ,y= 时取等号,所以 + 的最小值为 . 因为 + ≥2m+1恒成立,所以2m+1≤ ,解得m≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026湖南邵阳二中月考]若“∃x∈ x  ≤x≤2 ,3x2-λx+1<0”是假命题,则实数λ的最大值为 __________.     2  解析　由题意得“∀x∈ x  ≤x≤2 ,3x2-λx+1≥0”是真命题, 故当x∈ x  ≤x≤2 时,3x+ ≥λ恒成立,即λ≤ , 由基本不等式,得3x+ ≥2 =2 ,当且仅当3x= ,即x= 时,等号成立,故λ≤2 . 则实数λ的最大值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026河南安阳一中月考]设x>y>z,n∈N,且 + ≥ 恒成立,则n的最大值为_________.     4     解析　因为x>y>z,所以x-y>0,y-z>0,x-z>0, 则 + ≥ 恒成立等价于n≤ (x-z)恒成立, 则n≤ .  (x-z)= [(x-y)+(y-z)]=2+ + ≥2+2× =4, 当且仅当 = ,即x-y=y-z时等号成立,所以n≤4,又n∈N,所以n的最大值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026山东济宁育才中学月考]设a>b>0,若a2+λb2≤ 恒成立,则实数λ的最大值为_________.     6     解析　因为a>b>0,所以由a2+λb2≤ 恒成立, 可得λ≤ = = 恒成立,即λ≤ , (点拨:分子二次,分母一次,利用配凑法或换元法分离常量) 令t= -1,因为a>b>0,所以 >1,则t>0, =t+1,所以 = = =t+ +2≥2 +2=6,当且 仅当t= ,即t=2,a=3b时等号成立,所以λ≤6,即λ的最大值为6. 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　利用柯西不等式解决求最值问题 创新题型 14.[2026山东枣庄期中]柯西不等式:∀a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,且b1b2…bn≠0,有( + +…+ )( + +… + )≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当 = =…= 时,等号成立.用它可以解决一些数学问题,如:若x+2y= 2,则由柯西不等式得(x2+y2)(12+22)≥(x+2y)2,可得x2+y2≥ ,当且仅当 = ,且x+2y=2,即x= ,y= 时取等 号,故x2+y2的最小值为 .运用柯西不等式,解决下列问题: (1)若x+2y+2z=3 ,求x2+y2+z2的最小值; (2)求 + + 的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由柯西不等式可得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2=27, 所以x2+y2+z2≥3, 当且仅当 = = ,且x+2y+2z=3 ,即x= ,y=z= 时取等号,故x2+y2+z2的最小值为3. (2)由柯西不等式可得[x+(3x-32)+4(17-x)]· 12+12+  ≥( + + )2, 所以( + + )2≤36× =81,则 + + ≤9, 当且仅当 = =2 ,即x=16时等号成立, 故 + + 的最大值为9. 第1讲　描述运动的基本概念 $