2.1 等式性质与不等式性质（课件）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了不等式的表示、大小比较、性质及应用，通过基础题组（不等关系表示）、提升题组（性质应用）和创新题型串联核心知识点，帮助学生建立从具体到抽象的知识网络。 其亮点在于以“现实情境-逻辑推理-模型应用”为主线，如用平流层高度问题培养数学眼光，通过作差法比较代数式大小发展数学思维，分层练习（基础过关、能力提升、创新迁移）满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升知识巩固效果。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 第1讲　描述运动的基本概念 2.1　等式性质与不等式性质 基础过关练 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　用不等式(组)表示不等关系 1.[2026辽宁锦州期末]平流层一般是指地球表面以上10 km(不含)到50 km(不含)的区域,下述不等式中, x(单位:km)能表示平流层高度的是 ( ) A.|x+10|<50　    B.|x-10|<50　     C.|x+30|<20　    D.|x-30|<20     D     解析　由已知得10<x<50,结合选项可知D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材习题改编]某校高一年级的213名同学去参观科技馆,租用了某公交公司的x辆公交车.如果每辆 车坐30人,那么最后一辆车不空也不满,题目中所包含的不等关系为______________. 解析　由最后一辆车不空,可得不等式30(x-1)<213, 由最后一辆车不满,可得不等式30x>213, 因此,不等关系为  第1讲　描述运动的基本概念 题组二　数(式)的大小比较 3.[2026北京中国人民大学附属中学月考]已知0<a<1,则以下不等关系正确的是 ( ) A.a2> >a>-a　    B.a>a2> >-a C. >a>a2>-a　    D. >a2>a>-a     C     解析　由0<a<1,得-a<0, 则 -a= = >0,所以 >a,a-a2=a(1-a)>0,所以a>a2>0,所以 >a>a2>-a. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026重庆南开中学月考](1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小; (2)设a>b>0,比较 与 的大小. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)2x2+5x+3-(x2+4x+2)=x2+x+1= + >0,所以2x2+5x+3>x2+4x+2. (2)由a>b>0,得a-b>0, = >0, >0, 因此 = = =1+ >1,所以 > . 解题模板　在比较两个代数式的大小关系时,若两个代数式作差后可以进行配方或因式分解,则优先选 择作差法,将结果与0进行比较.若两个代数式同号,则可利用作商法,将结果与1进行比较. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　不等式的性质及其简单应用 5.[2026陕西“神·榆·靖”区域联考]已知-1<x<2,1<y<3,则3y-2x的取值范围是 ( ) A.0<3y-2x<5　    B.3<3y-2x<5　     C.-1<3y-2x<11　    D.-3<3y-2x<11     C     解析　∵-1<x<2,1<y<3,∴-4<-2x<2,3<3y<9,∴-1<3y-2x<11. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026浙江杭州高级中学期末]下列命题中,正确的有 ( ) A.若a>b,则a-c>b-c　    B.若a>b,则 <  C.若a>b,则ac2>bc2　    D.若ac2>bc2,则a>b     AD     解析　对于A,若a>b,则a+(-c)>b+(-c),即a-c>b-c,故A正确; 对于B,取a=1,b=-1,满足a>b,但 > ,故B错误; 对于C,当c=0时,ac2=bc2,故C错误; 对于D,若ac2>bc2,则c2>0,且ac2-bc2=c2(a-b)>0,则a>b,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026重庆大学城第一中学校月考]下列说法正确的是 ( ) A.若a>b,c>d,则a-c>b-d B.若a<b<0,则a2>ab>b2 C.若a>b>c>0,则 <  D.若a>b且 > ,则ab>0     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,取a=2,b=1,c=4,d=3,满足a>b,c>d,但a-c=b-d,故A错误; 对于B,由a<b<0,得a-b<0,故a2-ab=a(a-b)>0,ab-b2=b(a-b)>0, 故a2>ab>b2,故B正确; 对于C, - = = , 因为a>b>c>0,所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,故 <0,即 < ,故C正确; 对于D,由 > ,得 - = >0,由a>b得b-a<0,故ab<0,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026安徽合肥第九中学月考]已知3<x<7,1<y<2,则 的取值范围是________________. 解析　因为3<x<7,所以 < < ,又1<y<2,所以1<y2<4,所以 < < . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025广东广州月考] (1)已知0>a>b,c<0,求证: > ; (2)已知a>b>c>d,求证: < ; (3)已知a>b>c,a+b+c=0,求证: > . 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)因为0>a>b,所以 < , 又c<0,所以 > . (2)因为a>b>c>d,所以a-d>b-c>0, 所以 < . (3) - =  = , 因为a>b>c,a+b+c=0, 所以c<0,b-a<0,a-c>0,b-c>0, 所以 - = >0,即 > . 第1讲　描述运动的基本概念 2.1　等式性质与不等式性质 能力提升练 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　实数的不等关系 1.[2026河南信阳第二高级中学月考]某品牌手机为促进销售,准备对其特定型号的手机降价,有四种降 价方案:①先降价a%,再降价b%;②先降价 %,再降价a%;③先降价 %,再降价 %;④一次性降 价(a+b)%.其中a>b,则最终降价幅度最小的方案是 ( ) A.①　    B.②　    C.③　    D.④     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设手机原价为x,由题意知a>b,且a+b<100,不妨设a=20,b=10,则 ①x(1-a%)(1-b%)=x(1-20%)(1-10%)=0.8×0.9x=0.72x; ②x (1-a%)=x(1-0.15)×(1-0.2)=0.85×0.8x=0.68x; ③x  =x(1-0.15)×(1-0.15)=0.85×0.85x=0.722 5x; ④x[1-(a+b)%]=0.7x. 因为0.722 5x>0.72x>0.7x>0.68x,所以方案③降价幅度最小. 方法技巧　对于复杂的代数式的比较大小问题,可以考虑使用特殊值法进行比较. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026浙江丽水期末]为了加强家校联系,王老师组建了一个微信群,群里有学生、家长和各科老师.已 知该群中男学生人数多于女学生人数,女学生人数多于家长人数,家长人数多于老师人数,老师人数的 两倍多于男学生人数.则该微信群中老师人数的最小值为 ( ) A.3　    B.4　    C.5　    D.6     B     解析　设男、女学生人数分别为x,y,老师人数为z,家长人数为m,其中x,y,z,m都是正整数, 则由题意得 即z<m<y<x<2z, 由于m,x,y,z都是正整数,所以2z-z≥4,即z≥4, 当z=4时,m=5,y=6,x=7,2z=8,满足不等式,所以老师人数的最小值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026北京理工大学附属中学月考]已知A= -n,B=n- ,C= (n∈N*,n>2),则A,B,C的大小关系 是_____________________.     A<C<B(或B>C>A)     解析　因为A= -n= < =C, B=n- = > =C, 所以A,B,C的大小关系为A<C<B. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　不等式的性质及其应用 4.[2026安徽皖中名校联盟期中]有以下说法:①若a>b,d>c,且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则b<c<d<a;② 若a>b>0,则a+ >b+ ;③若a>b>-c>0,则ab>c2;④若0<a+b<2,2<a-b<4,则2<3a+b<8.其中正确的个数是  ( ) A.1　    B.2　    C.3　    D.4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于①,由a>b,且(c-a)(c-b)<0,得c-a<0,c-b>0,即b<c<a, ∵(d-a)(d-b)>0,且d>c>b,∴d>a,∴d>a>c>b,故①错误; 对于②,取a= ,b= ,满足a>b>0,但是a+ = +2= ,b+ = +3= ,∴a+ <b+ ,故②错误; 对于③,∵a>b>-c>0,∴ab>b2,b2>c2, ∴ab>c2,故③正确; 对于④,易得3a+b=2(a+b)+(a-b), ∵0<a+b<2, ∴0<2(a+b)<4,又2<a-b<4,∴2<2(a+b)+(a-b)<8,即2<3a+b<8,故④正确. 综上,正确的个数为2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题]火车站有某公司待运的甲种货物306吨,乙种货物230吨.现计划用A,B两种型号的货厢共50节 运送这批货物.已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节A型货厢,5吨甲种货物和7吨乙种货物可装 满一节B型货厢,据此安排A,B两种货厢的节数,下列方案中,满足题意的是 ( ) A.A型货厢28节,B型货厢22节 B.A型货厢29节,B型货厢21节 C.A型货厢31节,B型货厢19节 D.A型货厢30节,B型货厢20节     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设安排A型货厢x节,B型货厢y节,则x+y=50,x,y∈N. 由已知得 则28≤x≤30,x∈N, 所以 或 或 结合选项知A,B,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025河北石家庄精英中学月考]已知a<b<c且a+2b+c=0,则 的取值范围是___________. 　- < <1     解析　因为a+2b+c=0,a<b<c,所以a<0,c>0,由a+2b+c=0得c=-a-2b, 则c=-a-2b>0,解得 >- . 由b<c得b<-a-2b,整理得a<-3b,解得 >- . 由a<b得 <1. 综上,- < <1. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026福建厦门第六中学月考]若-3≤2a+b≤4,-1≤a-b≤2,则a+5b的取值范围是________________. 　-12≤a+5b≤11     解析　易得a+5b=2(2a+b)-3(a-b), 因为-3≤2a+b≤4,-1≤a-b≤2, 所以-6≤2(2a+b)≤8,-6≤-3(a-b)≤3,所以-12≤2(2a+b)-3(a-b)≤11,即-12≤a+5b≤11. 解题模板　利用不等式的性质求代数式的取值范围的方法:用已知式表示待求式,然后把已知范围整体 代入计算. 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　“糖水不等式”的迁移应用 创新题型 8.[2026山西临汾一中月考]已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),往糖水中加入m克糖(m>0)(假设全部溶解), 糖水变甜了. (1)将这个事实表示为一个不等式,并证明; (2)比较M= ,N= 的大小; (3)设x>0,y>0,z>0,证明:1< + + <2. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意,可得不等式 < (m>0,b>a>0). 证明: - = = , 由b>a>0,m>0,可得a-b<0,b+m>0, 所以 - <0,即 < . (2)由M= = ,N= 及(1)中的结论,可得 > ,即M>N. (3)证明:由x>0,y>0,z>0及(1)中的结论,可得 < , < , < , 所以 + + < + + =2①. 因为 = =1- , =1- , =1- , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 + + =3- , 由上述结论,可得 + + <2, 所以 + + >1②. 综合①②,得1< + + <2. 名师点睛　糖水不等式:若b>a>0,m>0,则 > ,可快速解决一类分式的比较大小问题,注意分母大于 分子,糖水不等式的倒数形式: > . 第1讲　描述运动的基本概念 $