专题05 有理数的乘方、近似数（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数乘方与近似数，以10类题型构建从概念到应用的递进训练，覆盖高频考点与易错点，渗透数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|50题|涵盖幂的概念、运算、符号规律、应用（含程序流程图、算24点）及科学记数法、近似数|从概念生成到运算推理，再到实际应用，体现数学思维的逻辑性与模型意识| |综合攻坚·知能拔高|15题|综合新定义运算、跨学科应用（如进制转换）及复杂混合运算|深化知识联系，培养数据意识与创新意识，提升综合解题能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05有理数的乘方、近似数 内容概览 目常考题型精准突破 题型1幂的概念 题型2有理数的乘方运算（高频） 题型3有理数乘方逆运算（难） 题型4乘方运算的符号规律 题型5乘方的应用 题型6程序流程图与有理数计算（高频） 题型7算“24”点（难） 题型8含乘方的有理数混合运算（高频） 题型9科学记数法（高频） 题型10近似数（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1幂的概念 1.关于-24的说法正确的是（) A.指数是-2 B.结果是-8 C.表示4个-2相加 D.表示4个-2相乘 2.24的意义是() A.2乘以4 B.2个4相乘 C.4个2相乘 D.4个2相加 3.计算-3可以表示为() A.-3×2 B.-3+2 C.-3×-3 D.-3+-3 4.某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个…你能由此说 明2°=1的合理性吗？ 1/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.用分数表示：-0.23= ◆题型2有理数的乘方运算 6.-1202= 7.若a=-3,b=-32,则a+b等于() A.-18 B.0 C.18 D.12 8.下列各组数中，数值相等的是() A.-23和-23B.++2和+-2C.--2和-+2D.--22和-22 24 9.计算：3 10.下列算式中，正确的是() A.--2日=4B.-22=4 c.-22=-4 D.-2=-8 ◆题型3有理数乘方逆运算 11.若3=9,4y=64,则x+y= 12" 12.已知n为正整数，化简：60=（) A.2 B.2n C.n2 D.2 13.若2”=8，则3m+1= l4.定义a,b之间一种运算，记作a,b:如果a=b,那么a,b=c.则2,8= 15.计算-0.252025×-42024的结果是（). B.4 C.-4 D.4 ◆题型4乘方运算的符号规律 16.在(-1)20，-24，--2，(-1)2中，结果是负数的有 个 17.计算： 4 (2)-53: 3)--32: 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④--2月. 18.2205×(-0.125)69= 19.下列各对数值相等的是() A.-25和--25 B.--32和-32 C.-3×2和-3×2 D.--32和--23 12026/ 5 20.计算 9/2025 的结果是() B.9 D.5 ◆题型5乘方的应用 21.把足够大的一张厚度为0.1mm的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过20mm,至少要对折 () A.6次 B.7次 C.8次 D.9次 22.一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，()天能长满半池。 A.20 B.10 C.39 D.30 23.一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一 半() A.6天 B.5天 C.8天 D.9天 24.如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中： A纸定义为面积为1，长与宽之比为2：1的纸张；沿Ao纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸： 再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得到两张A2纸…，依次类推，得到A3、A4、A5等纸张.裁剪一张规 格Ao纸最多可得到规格A纸的张数是() A A A A3 A A.16 B.32 C.64 D.128 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力 拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便 成了许多细细的面条.你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ ◆题型6程序流程图与有理数计算 26. 任意给一个非零数x,按如图所示的程序写出输出结果y,则y与x之间的关系式为()· 输入x平方+x ÷x 输出y A.y=x2+1 B.y=2x C.y=2x+1 D.y=x+1 27.有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入-2，则输出的结果是 是1 -10 输入 平方 大于8 输出 否 +6 28.定义一种对正整数n的“F'运算： ①当n为奇数时，Fn=3n+1: ②当n为偶数时，F口2（其中k是使Fm为奇数的正整数），两种运算交替重复进行。 F① F2 例如：取n=24 24 则 F②，3 第1次 第2 →10 若n=17,则第2026次“F”运算的结果是() A.52 B.13 C.4 D.1 29.如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字985，则输出结果为() 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开始 输入三位数a 各位数字重新排列， 组成最大的数和最小的数 用最大的数减最小的数 否 重复出现的数 是 输出 A.594 B.495 c.459 D.450 30.按程序输入数x=-2,先乘-3，若结果为负，再将此结果乘-3，直到结果为正输出，则输出结果为 ◆题型7算“24”点 31.小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： -3 -5 0 +3 +4 (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最 大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号）“+”、“一”、“×”、“ ÷”运算，使其结果等于24.（写出一种情况即可） 32.游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行 混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色（方块、红桃）扑克牌代 表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数.请用如图抽取出的4张牌，写出符合规则的算式. 33.你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、 乘、除四则运算，算其结果等于24或-24.现在四个数分别是-4、-3、3、5，请根据规则写出结果为24 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 或-24的等式 34.有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中 的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24'者获胜.现己抽出如图所 示的四张牌(A表示1)，则可算“24'点的算式是 一（写出一个即可） 8 ◆◆ 35.“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王)中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算 (每张牌必须用一次且只能用一次)，使得运算结果是24或-24.其中红色代表负数，黑色代表正数.现 抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成24的算式： ◆题型8含乘方的有理数混合运算 36.计算：-12025+(-3)2=3--1-51. 37.计算： 21-8=2号1 8计第：4x2刘 39.计算. 010-2号3x-21 (2)-392×18. 36 40.计算： @22-3 ◆题型9科学记数法 41.2025年1到5月，贵州省总发电量为1030.9亿千瓦时，同比增长6%，将数据1030.9亿用科学记数法 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 表示为() A.0.10309×1012B.1.0309×101 C.1.0309×109 D.10.309×109 42.2021年平潭接待游客6500000人次、旅游收入60亿元，分别增长41.6%、18%；南部湾度假区获评 省级旅游度假区，苏平旅游公路获评“第二届全国美丽乡村路”，将6500000用科学记数法表示为 () A.6.5×106 B.6.5×104 C.65×105 D.0.65×10 43.2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长.县域乡村活动丰富，舞龙舞狮、村晚、音乐节、 “村界杯”足球赛等轮番上演，我市某重点景区单日接待游客超400000人次，数据400000用科学记数法 表示为 44.国家邮政局数据显示，今年前4个月，我国快递业务量累计完成645.7亿件，同比增长5.1%.展现出 我国邮政快递业强劲的增长动力.将“645.7亿”用科学记数法表示为() A.6.457×103B.6.457×10 C.6.457×1010 D.64.57×10 45.2025年，人工智能Deepseek在全球范围内发展迅速，据统计，其平台第三季度月均活跃用户为 146000000,其中146000000用科学记数法表示为() A.0.146×109B.146×10 C.1.46×108 D.1.46×109 ◆题型10近似数 46.用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位 47.近似数0.2005精确到位，它有个有效数字。 48.一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是 49.数a四舍五入后的近似值为3.1，则a的取值范围是()· A.3.05≤a<3.15 B.3.14sa<3.15 C.3.144≤a<3.149 D.3.0≤a<3.2 50.近似数2.60万精确到 位 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(24-25六年级上山东烟台·期中)下列说法正确的是() A.0.318精确到百分位 B.3.6万精确到个位 C.5.07×10精确到十位 D.3000精确到千位 2.(2022四川内江模拟预测)光的速度约是30万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为() 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3×10米/秒B.0.3×10米/秒 C.30×10米/秒 D.3×103米/秒 3.(25-26七年级下江苏无锡·期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的x值为22，我们发现第1次输 出结果为11，第2次输出结果为14，…请你探索第2020次输出的结果为() x为偶数 输入x 输出 x为奇数 t+3 A.1 B.2 C.4 D.8 4. (2026河北石家庄·二模)有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图)，打结处用去的彩带长15厘 米.做这样一个礼品盒至少要硬纸()cm2 40厘米 10厘米 A.450π B.425π C.400π D.375π 5.(25-26七年级下·湖南邵阳·期中)在实数范围内定义一种新运算“@”，其运算规则为：a@b=1-ab, 1 12027 如：2@5=1-2×5=-9， 则22026 @ 的值为() 1 B.2 3 A.2 C.2 6.(22-23七年级上贵州铜仁期末)定义一种新运算a*b=a2-2ab,则5*-3的值为() A.40 B.45 C.50 D.55 7.(25-26七年级上河南开封·期末)对于有理数a,b,定义一种新运算“△”，规定a△b=a2-ab+7, 则-5△9=() A.77 B.-77 C.63 D.13 8.(25-26七年级下·江苏·期中)数的进制是一种计数方式.如十进制数用0至9这十个数字表示，满十 进一，如213=2×10+1×10+3；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数 1101可用式子1×2+1×2+0×2+1转换为十进制数13.下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数 14;②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十 进制数为111：④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 化为十进制数是7：正确的有（) 图1 图2 图3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 9.(25-26八年级上·江苏扬州阶段检测)用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是 (用科学记数法表示)· 10.(2026黑龙江哈尔滨.一模)定义一种新运算：a⑧b=a+ab-5,例如1⑧1=1+1×1-5.则 -287的值为 11.(2026陕西榆林·三模)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的 计算程序，当输入x=1时，输出的结果为 结果不为正数 结果为正数 输入x 计算x2-3 输出结果 12. （(202s媚2江袋化三模)计算：-1-05子1+-2- 三、解答题 13.(21-22七年级上·福建福州·期末)计算： 0-2f×4-61 14.（25-26七年级上·四川南充·阶段检测)对于任意有理数a,b,我们规定：a⑧b=a2-2b. 例如：3⑧4=32-2×4=9-8=1；6⑧8=62-2×8=36-16=20. (1)计算：-2⑧3=： (2)计算： 2 5 ⑧5 2 8 15. （26-27六年级·上海·小升初衔接)计算： 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-8层-五 2-1-1-0.5×3×10-2-1月 10/10函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05有理数的乘方、近似数 常考题型精准突破 ◆题型1幂的概念 1.D 2.C 3.C x 2°=1是合理的. ◆题型2有理数的乘方运算 6.1 7.B 8.A 16 9. 81 10.D ◆题型3有理数乘方逆运算 11.5 12.D 13.81 14.3 15.A ◆题型4乘方运算的符号规律 16.1 17.0)16 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)-125 (3)-9 (4)8 18.4-0.25 19.B 20.A ◆题型5乘方的应用 21.C 22.C 23.D 24.B 25. 拉扣7次后共有128根面条 ◆题型6程序流程图与有理数计算 26.D 27. 10 28.D 29.B 30.6 ◆题型7算“24”点 31.(1)抽取-5和+4两张卡片，幂最大，最大为625 (2)抽取+3、-5、+4三张卡片，乘积最小，最小为-60： (3)抽取-3、-5、0、+3,0-3×-3+-5=24（答案不唯一） 32.（(-9+7)×4×(-3)=24(答案不唯一)· 33.-4×-3×5-3=24(答案不唯一) 34.15÷1-2×8 35.4+-7×-5-3(答案不唯一) 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型8含乘方的有理数混合运算 36.-4 ”.喝 、59 38.-649 39.(1) -14 (2) -702片 40.(1)-16 (2)-73 ◆题型9科学记数法 41.B 42.A 43.4×105 44.C 45.C ◆题型10近似数 46.1.5990×101 47. 万分 四 48.8.395 49.A 50.百 综合攻坚·知能拔高 1.c 2.D 3.C 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.A 5.C 6.D 7.A 8.C 9.3.149×10 10.-15 11.1 12.-11 13.(04 (2)-12 14.(①)-2 (2)15 15.(1)-14 (2)-1 414 专题05 有理数的乘方、近似数 常考题型·精准突破 题型1 幂的概念 题型2 有理数的乘方运算（高频） 题型3 有理数乘方逆运算（难） 题型4 乘方运算的符号规律 题型5 乘方的应用 题型6 程序流程图与有理数计算（高频） 题型7 算“24”点（难） 题型8 含乘方的有理数混合运算（高频） 题型9 科学记数法（高频） 题型10 近似数（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1幂的概念 1．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 2．的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 【答案】C 【详解】解：的意义是个相乘． 3．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 4．某种细胞分裂时，1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，分裂3次变为8个……你能由此说明的合理性吗？ 【答案】 是合理的. 【分析】根据细胞分裂的规律可得分裂n次变为个，据此规律解答． 【详解】解：∵1个细胞分裂1次变为个； 分裂2次变为个； 分裂3次变为个， ∴这种细胞分裂n次变为个， 则没有分裂表示为个， ∴． 则是合理的． 5．用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． ◆题型2 有理数的乘方运算 6．________． 【答案】1 【详解】解：． 7．若，，则等于（     ）． A． B．0 C．18 D．12 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 8．下列各组数中，数值相等的是（     ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】注意乘方运算中括号对底数的影响，准确计算各选项数值． 【详解】解：A选项：，，数值相等，符合题意； B选项：，，数值不等，不符合题意； C选项：，，数值不等，不符合题意； D选项：，，数值不相等，不符合题意． 9．计算： ____________． 【答案】 【详解】解：原式． 10．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． ◆题型3 有理数乘方逆运算 11．若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 12．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同指数幂的除法法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 13．若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 14．定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 15．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． ◆题型4 乘方运算的符号规律 16．在，，，中，结果是负数的有_________个． 【答案】1 【分析】分别计算四个数的结果，判断正负性，统计负数的个数． 【详解】解：逐个计算各数并判断正负： ，结果为正数，不是负数； ，结果为负数，是符合要求的数； ，结果为正数，不是负数； ，结果为正数，不是负数； 统计可得，结果是负数的共有个． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是利用积的乘方公式进行简便运算．先将转化为，再写成以为底的幂，最后利用幂的运算性质化简． 【详解】解： ． 19．下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 20．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． ◆题型5 乘方的应用 21．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 22．一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【答案】C 【详解】解：根据分析，40天长满全池，则前一天的量是全池的一半，即半池，所以39天能长满半池． 23．一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【答案】D 【分析】水浮莲每天面积增加1倍，即后一天面积是前一天面积的2倍，可通过逆推直接得到长满一半池塘的天数． 【详解】解：∵水浮莲每天增加1倍， ∴后一天的水草面积为前一天水草面积的倍，即前一天水草面积是后一天水草面积的一半， ∵天刚好长满整个池塘， ∴长满池塘面积一半的时间为天． 24．如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是（     ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】根据已知条件可得纸面积是纸面积的2倍，纸面积是纸面积的2倍，由此规律即可得出答案． 【详解】解：由题意得：纸面积是纸面积的2倍， 纸面积是纸面积的2倍，则纸面积是纸面积的倍， 纸面积是纸面积的2倍，则纸面积是纸面积的倍， ∴纸面积是纸面积的倍， ∴裁剪一张规格纸最多可得到32张规格纸． 25．手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【答案】 拉扣7次后共有128根面条 【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2倍，可推得拉扣次后面条总根数为，代入计算即可得到最终结果. 【详解】解：根据题意可得 初始有1根面条， 第1次拉扣后面条根数是， 第2次拉扣后面条根数是， 第3次拉扣后面条根数是， …… 故第7次拉扣后面条根数是. 答：拉扣7次后共有128根面条. ◆题型6 程序流程图与有理数计算 26．任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序给出运算顺序列出代数式，然后化简式子即可得到与的关系式． 【详解】解：根据程序步骤列式： ， ， ． 27．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【答案】 10 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 28．定义一种对正整数n的“F”运算： ①当为奇数时，； ②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行． 例如：取，则：； 若，则第次“”运算的结果是（     ） A．52 B．13 C．4 D．1 【答案】D 【分析】根据题意，写出前几次的运算结果，发现其中的规律，通过计算得出从第6次开始，结果就只有1、4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论，从而进行求解． 【详解】解：当时， 则第1次“”运算的结果是：， 第2次“”运算的结果是：， 第3次“”运算的结果是：， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是：， 第6次“”运算的结果是：， 第7次“”运算的结果是：， 第8次“”运算的结果是：， … 观察以上结果，从第6次开始，结果就只有1、4两个数循环出现， 且当次数为奇数时，结果是4，次数为偶数时，结果是1， ∵是偶数， ∴最后结果是1． 29．如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序流程图的运算规则，依次计算每一次循环的结果，直到结果重复出现为止． 【详解】解：①若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ②若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ③若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ④若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时，与上一次运算结果相同，即重复出现； 所以输出的结果为． 30．按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 【答案】6 【分析】根据程序规则，将输入的数乘，判断结果符号，若结果为负则重新计算，若结果为正则输出，按照有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意进行计算：， ∵，满足输出条件， ∴输出结果为6． ◆题型7 算“24”点 31．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 32．游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 33．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 34．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 35．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． ◆题型8 含乘方的有理数混合运算 36．计算：． 【答案】 【分析】先算乘方、绝对值，再算除法，最后从左到右依次进行加减运算即可． 【详解】解： ． 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．计算： 【答案】 【分析】按照先算乘方、再算乘除、最后算加减的顺序计算，结合绝对值的性质计算即可． 【详解】解：原式 ． 39．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型9 科学记数法 41．2025年1到5月，贵州省总发电量为1030.9亿千瓦时，同比增长6%，将数据1030.9亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：亿． 42．2021年平潭接待游客人次、旅游收入60亿元，分别增长、18%；南部湾度假区获评省级旅游度假区，苏平旅游公路获评“第二届全国美丽乡村路”，将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，解题只需正确确定和的值即可． 【详解】解：是7位整数，满足的为，， ． 43．2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长．县域乡村活动丰富，舞龙舞狮、村晚、音乐节、“村界杯”足球赛等轮番上演，我市某重点景区单日接待游客超人次，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】将整数表示为科学记数法，需满足形式，其中，为整数，等于原数的整数位数减． 【详解】解：科学记数法的标准形式为，其中，为整数. 原数是位整数， 因此，， 可得． 44．国家邮政局数据显示，今年前4个月，我国快递业务量累计完成645.7亿件，同比增长．展现出我国邮政快递业强劲的增长动力．将“645.7亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：亿． 45．年，人工智能在全球范围内发展迅速，据统计，其平台第三季度月均活跃用户为，其中用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先明确科学记数法的定义，其形式为，先确定的取值范围是．因为要将原数146000000转化为的形式，所以先把原数的小数点向左移动，直到满足取值要求，统计小数点移动的位数得到的值．对照得到的和的结果，匹配对应的选项即可． 【详解】解：． ◆题型10 近似数 46．用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 【答案】 【分析】先确定原数的千万位位置，根据四舍五入法则对原数取近似值，再将结果用科学记数法表示即可 【详解】解：原数为， 确定千万位上的数字为，其下一位百万位上的数字为， ， 向千万位进，千万位，需继续向亿位进， 近似值为， 用科学记数法表示为 47．近似数精确到______位，它有______个有效数字． 【答案】 万分 四 【详解】解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 48．一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【答案】 【详解】解：若为“五入”得到，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位需满足进位条件，最小为，即原数为， 因此这个数原来最小是． 49．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 50．近似数万精确到____________位． 【答案】百 【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数． 【详解】解：万，近似数万的末位有效数字，对应原数26000中的百位，因此近似数万精确到百位． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 2．（2022·四川内江·模拟预测）光的速度约是万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为（     ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】先将题目中的速度单位换算为米/秒，再根据科学记数法的定义（形式为，其中，为整数）得到正确结果，判断选项． 【详解】解：∵ 30万千米/秒 = 千米/秒 = 米/秒 米/秒， 符合科学记数法的要求， ∴ 正确选项为D． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 4．（2026·河北石家庄·二模）有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 5．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 6．（22-23七年级上·贵州铜仁·期末）定义一种新运算，则的值为（     ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 7．（25-26七年级上·河南开封·期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 8．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 二、填空题 9．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是__________ （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数． 先确定数字的万位位置，对千位数字进行四舍五入，得到近似数，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：数字31485926的万位是8，千位是5， ，向万位进1，万位8变为9，后面数位变为0， 得到31490000， 31490000用科学记数法表示为． 故答案为：． 10．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义一种新运算：，例如．则的值为________ 【答案】 【分析】根据题目给出的新运算规则，代入对应数值，按照有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得，， 将，代入， 得 ． 11．（2026·陕西榆林·三模）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，根据如图所示的计算程序，当输入时，输出的结果为__________． 【答案】1 【分析】利用程序图中的程序将代入计算即可． 【详解】解：当输入时，原式， 将代入得：． 故输出结果为1． 12．（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 【详解】解： ． 三、解答题 13．（21-22七年级上·福建福州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26七年级上·四川南充·阶段检测）对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 15．（26-27六年级·上海·小升初衔接）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $