2.7有理数的混合运算 （暑期预习讲义）2026-2027学年苏科版数学七年级上册

2026-2027学年苏科版数学七年级上册 2.7有理数的混合运算 （暑期小升初预习讲义） 【知识点一】有理数的混合运算顺序 有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【典型例题】 【例题1】下列运算正确的是（　　） A．﹣22÷（﹣2）2＝1 B． C． D． 【例题2】小林在计算“40÷□﹣（﹣6）”时，误将“÷”看成“+”，结果得50，则40÷□﹣（﹣6）的值为（　　） A．10 B．16 C．﹣12 D．﹣18 【例题3】计算： (1) (2) (3) (4) 【例题4】计算： (1) (2) (3) (4) 【例题5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题6】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    _____________________________ 【知识点二】合理运用运算律简化运算 1.加法运算律： 加法交换律： 加法结合律： 2.乘法交换律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3.灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。 【典型例题】 【例题1】学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【例题2】用简便方法计算下列各题： (1) (2) (3) 【例题3】简便计算： （1） （2） 【例题4】简便运算： （1） （2） 【例题5】用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【例题6】阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． （1）上述解法，你认为解法是_________错误的； （2）请你选择合适的解法计算：． （3）直接写出的结果． 【知识点三】与有理数混合运算有关的程序图问题 【典型例题】 【例题1】如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 【例题2】如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是（　　） A．﹣5 B．﹣14 C．﹣7 D．﹣22 【例题3】有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，则第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2026次输出的结果是（　　） A．16 B．4 C．2 D．5 【例题4】仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【例题5】小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是... (1)当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式． 【例题6】如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【知识点四】有理数混合运算的新定义问题 【典型例题】 【例题1】现定义一种新运算“*”，规定a*b＝ab+a﹣b，如1*3＝1×3+1﹣3，则[（﹣2）*5]*6等于（　　） A．120 B．125 C．﹣120 D．﹣125 【例题2】规定一种新运算“★”，对于任意有理数a，b，若a≥b，则a★b＝a﹣b；若a＜b，则a★b＝b﹣a．根据这种新运算，计算（3★2）★2＝　　． 【例题3】若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)请你猜测这种新的运算“*”是否具有乘法交换律？并写出验证过程． 【例题4】对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【例题5】定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【例题6】【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 3※5＝8， （﹣3）※（﹣5）＝8. （﹣3）※5＝﹣8， 3※（﹣5）＝﹣8. 3※0＝3， （﹣3）※0＝3. 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 　　.任何数同0进行“※”运算，都得 　　． 【运用】 （2）计算：（﹣12）※（4※0）； （3）化简：（﹣7）※x． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【知识点五】有理数混合运算的实际运用 【典型例题】 【例题1】有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 【例题2】一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 【例题3】某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．如表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） +5 ﹣2 ﹣5 +15 ﹣10 +16 ﹣9 （1）写出该厂星期一生产工艺品的数量； （2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ （3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； （4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【例题4】为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 【例题5】邳州大蒜因蒜头大、肉质脆、辣味适中等特点，被誉为蒜中上品，深受国内外消费者的青睐．下表是某时间段内邳州大蒜6.5cm净蒜的市场价格． 日期 9月26日 9月30日 10月3日 10月8日 10月10日 10月11日 涨跌情况/元 ﹣0.40 +0.20 ﹣0.46 0 +0.60 +0.44 注：“+”表示价格相比13.6元/kg上升，“﹣”表示价格相比13.6元/kg下降． （1）该段时间内6.5cm净蒜的最高价格是 　　 元/kg．最低价格是 　　 元/kg； （2）与10月10日相比，10月11日6.5cm净蒜的价格是上升还是下降？上升或下降了多少元？ （3）某大蒜经销商于9月26日购进100吨6.5cm净蒜，于10月3日售出；10月8日再次购进130吨6.5cm净蒜，于10月11日售出，该大蒜经销商在该段时间内是盈利还是亏损？请计算盈利或亏损的金额（1吨＝1000kg）． 【例题6】随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化， 星期 一 二 三 四 五 六 日 相对于标准人数 （单位：万人） 相对于实际游园人数 （单位：万盒） 0 (1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； (2)如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ (3)如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？ 答案解析 【知识点一】有理数的混合运算顺序 有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【典型例题】 【例题1】下列运算正确的是（　　） A．﹣22÷（﹣2）2＝1 B． C． D． 【答案】D 【例题2】小林在计算“40÷□﹣（﹣6）”时，误将“÷”看成“+”，结果得50，则40÷□﹣（﹣6）的值为（　　） A．10 B．16 C．﹣12 D．﹣18 【答案】B 【例题3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【例题4】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 【例题5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例题6】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    _____________________________ 【答案】（1）解：根据题意得：， 故最大值为； （2）解：， 故最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 【知识点二】合理运用运算律简化运算 1.加法运算律： 加法交换律： 加法结合律： 2.乘法交换律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3.灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。 【典型例题】 【例题1】学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【答案】 ． 【例题2】用简便方法计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【例题3】简便计算： （1） （2） 【答案】（（1） （2） 【例题4】简便运算： （1） （2） 【答案】（1） ． （2） ． 【例题5】用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【答案】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【例题6】阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． （1）上述解法，你认为解法是_________错误的； （2）请你选择合适的解法计算：． （3）直接写出的结果． 【答案】（1）解：根据题目中的解答方法，可知解法一是错误的， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故． （3）解：由（2）知，，， ∴ ． 【知识点三】与有理数混合运算有关的程序图问题 【典型例题】 【例题1】如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 【答案】D 【例题2】如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是（　　） A．﹣5 B．﹣14 C．﹣7 D．﹣22 【答案】B 【例题3】有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，则第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2026次输出的结果是（　　） A．16 B．4 C．2 D．5 【答案】A 【例题4】仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 【例题5】小明同学设计了4张如图写有不同运算的卡片，，，，小明选择一个有理数，让小聪选择，，，的顺序，进行一次列式计算．如：选择了2和的顺序，其结果是... (1)当小明选择了3，小聪选择的顺序，列出算式并计算结果； (2)当小明选择了，小聪选择了的顺序，若列式计算的结果刚好为，请判断小聪选择的顺序并列出算式． 【答案】（1）解：由题意，算式为：， （2）解：若选择， 可得：， 若选择， 可得：， ∴小聪选择的顺序为． 【例题6】如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【答案】（1）解：根据题意得： 当小明输入2时，输出的结果是； 当小明输入6时，输出的结果是； 当小明输入时．输出的结果是； 故答案为：2；1；； （2）解：由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数． 故答案为：负 （3）解：∵0的相反数及绝对值均为0，且， ∴输入0时，输出结果为0； ∵当输入的数大于4时要加上再重新输入，一直需要循环到小于4时， ∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0， ∴应输入0或（n为自然数）． 故答案为：0或（n为自然数） 【知识点四】有理数混合运算的新定义问题 【典型例题】 【例题1】现定义一种新运算“*”，规定a*b＝ab+a﹣b，如1*3＝1×3+1﹣3，则[（﹣2）*5]*6等于（　　） A．120 B．125 C．﹣120 D．﹣125 【答案】D 【例题2】规定一种新运算“★”，对于任意有理数a，b，若a≥b，则a★b＝a﹣b；若a＜b，则a★b＝b﹣a．根据这种新运算，计算（3★2）★2＝　　． 【答案】1 【例题3】若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)请你猜测这种新的运算“*”是否具有乘法交换律？并写出验证过程． 【答案】（1）解： ； （2）解：∵，， 而， ∴这种新的运算“*”不具有乘法交换律； 【例题4】对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】（1）解：依题意得： ； （2）解： ． 【例题5】定义新运算：，，a，b是实数，如：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ． 【例题6】【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗？ 3※5＝8， （﹣3）※（﹣5）＝8. （﹣3）※5＝﹣8， 3※（﹣5）＝﹣8. 3※0＝3， （﹣3）※0＝3. 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 　　.任何数同0进行“※”运算，都得 　　． 【运用】 （2）计算：（﹣12）※（4※0）； （3）化简：（﹣7）※x． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【答案】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2）（﹣12）※（4※0） ＝（﹣12）※4 ＝﹣16； （3）当x＞0时，（﹣7）※x＝﹣（7+x）＝﹣7﹣x； 当x＝0时，（﹣7）※x＝7； 当x＜0时，（﹣7）※x＝7﹣x． 【知识点五】有理数混合运算的实际运用 【典型例题】 【例题1】有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 【答案】（1）解：该组数据中，的绝对值最小，最接近千克的标准， 这筐白菜重千克． 故答案为； （2）（千克） 故答案为； （3） （千克） 答：这筐白菜一共重千克． 【例题2】一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 【答案】（1）解∶． 小虫能回到起点P； （2）解∶ (秒) 答∶小虫共爬行了108秒. 【例题3】某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．如表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） +5 ﹣2 ﹣5 +15 ﹣10 +16 ﹣9 （1）写出该厂星期一生产工艺品的数量； （2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ （3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； （4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】（1）周一的产量为：300+5＝305个； （2）由表格可知：星期六产量最高，为300+（+16）＝316（个）， 星期五产量最低，为300+（﹣10）＝290（个）， 则产量最多的一天比产量最少的一天多生产316﹣290＝26（个）； （3）根据题意得一周生产的工艺品个数为： 300×7+[（+5）+（﹣2）+（﹣5）+（+15）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）] ＝2100+10 ＝2110（个）． 答：工艺品厂这一周共生产工艺品2110个； （4）（+5）+（﹣2）+（﹣5）+（+15）+（﹣10）+（+16）+（﹣9）＝10个， 根据题意得该厂工人一周的工资总额为： 2110×60+50×10＝127100（元）． 【例题4】为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 【答案】（1）解：由题意得：千克， 答：20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克； （2）解：由题意得：（元） 答：出售这20筐茶果可获得元． 【例题5】邳州大蒜因蒜头大、肉质脆、辣味适中等特点，被誉为蒜中上品，深受国内外消费者的青睐．下表是某时间段内邳州大蒜6.5cm净蒜的市场价格． 日期 9月26日 9月30日 10月3日 10月8日 10月10日 10月11日 涨跌情况/元 ﹣0.40 +0.20 ﹣0.46 0 +0.60 +0.44 注：“+”表示价格相比13.6元/kg上升，“﹣”表示价格相比13.6元/kg下降． （1）该段时间内6.5cm净蒜的最高价格是 　　 元/kg．最低价格是 　　 元/kg； （2）与10月10日相比，10月11日6.5cm净蒜的价格是上升还是下降？上升或下降了多少元？ （3）某大蒜经销商于9月26日购进100吨6.5cm净蒜，于10月3日售出；10月8日再次购进130吨6.5cm净蒜，于10月11日售出，该大蒜经销商在该段时间内是盈利还是亏损？请计算盈利或亏损的金额（1吨＝1000kg）． 【答案】解：（1）13.6+0.60＝14.2（元/kg），13.6﹣0.46＝13.14（元/kg）， 即该段时间内6.5cm净蒜的最高价格是14.2元/kg．最低价格是13.14元/kg， 故答案为：14.2；13.14； （2）0.44﹣0.60＝﹣0.16（元）， 即与10月10日相比，10月11日6.5cm净蒜的价格是下降了，下降了0.16元； （3）（﹣0.46+0.40）×100×1000+（0.44﹣0）×130×1000 ＝﹣0.06×100×1000+0.44×130×1000 ＝﹣6000+57200 ＝51200（元）， 即该大蒜经销商在该段时间内是盈利，盈利的金额为51200元． 【例题6】随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化， 星期 一 二 三 四 五 六 日 相对于标准人数 （单位：万人） 相对于实际游园人数 （单位：万盒） 0 (1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； (2)如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ (3)如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？ 【答案】（1）解：∵星期二超过标准人数最多， ∴星期二的游客人数最多为：（万人）． （2）星期二的收入最多为：（万元）， 星期三的收入最小为：（万元）， ∴门票收入最高的一天比最低的一天多（万元）． （3）∵游客总人数为：（万人）， ∴门票总收入为：（万元）； ∵购买礼盒总数量为： （万盒）， ∴收入为：（万元）， ∴总收入为：（万元）． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $