奥数培优专题15 植树问题（讲义）2026-2027学年五年级上册数学（人教版）

本讲义聚焦小学数学植树问题核心知识点，系统梳理直线三类模型（两端都栽、一端不栽、两端都不栽）、封闭图形植树及锯木头等变式应用，构建“模型判别—段数计算—对应求解—变式转化—综合应用”完整体系，为间隔问题、方阵问题学习奠基。 资料特色在于知识体系表与图表记忆法，通过模型转化（如爬楼梯对应两端都栽）培养推理意识，一一对应思想发展抽象能力，分层精练和易错指南助力课中教学与课后查漏，提升数学语言表达与应用能力。

专题十五 植树问题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：两端都栽 / 一端不栽 / 两端都不栽三种模型 3 考点二：封闭图形（环形）的植树问题 4 考点三：植树问题的变式（锯木头 / 爬楼梯 / 敲钟 / 路灯安装） 6 考点四：复杂植树综合应用 7 考点五：模型辨析与规律探究 8 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：三种直线模型混淆，加减 1 搞反 9 易错点 2：忽略 “两侧 / 两旁” 条件，忘记乘 2 10 易错点 3：封闭图形误用两端都栽公式，多加 1 10 易错点 4：变式问题对应错误，次数与段数搞反 10 易错点 5：单位不统一直接计算，结果偏差大 10 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、基础夯实篇（8 题） 12 二、能力进阶篇（7 题） 12 三、思维跃迁篇（5 题） 13 第五部分 精准解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版五年级上册数学广角的奥数培优核心内容，围绕直线植树三类模型、封闭图形植树、生活变式应用三大核心展开，涵盖模型识别、公式推导、变式转化、综合应用、规律探究五大考点，建立 “模型判别 — 段数计算 — 对应求解 — 变式转化 — 综合应用” 的完整解题体系，掌握段数优先、模型转化、分类讨论等核心方法，深化一一对应思想与建模能力，为后续间隔问题、方阵问题学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 直线植树三种基本模型 两端都栽、一端不栽、两端都不栽的棵数与段数关系，基础长度与间隔计算 模型判别法、段数优先法 混淆三种模型的棵数与段数关系，加减 1 搞反 封闭图形（环形）植树问题 圆形、方形等封闭线路的植树规律，棵数 = 段数 封闭化直法、周长分段法 误用直线两端都栽公式，多加 1 导致棵数偏多 植树问题常见变式 锯木头、爬楼梯、敲钟、路灯安装等场景的模型转化 模型转化法、对应类比法 变式场景中段数与次数 / 层数的对应关系搞反 复杂植树综合应用 道路两侧植树、间隔长度变化、已知棵数反求总长等进阶题型 两侧乘 2 法、逆推公式法 忽略 “两侧” 条件，忘记乘 2；反求时间距计算错误 间隔规律探究 不同场景下间隔数与物体数的通用规律，一一对应思想 一一对应法、规律归纳法 死记硬背公式，不理解对应关系，场景变化就不会迁移 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 段数优先法 所有基础植树题 总长 ÷ 间距 = 段数→判断栽树类型→对应加减 1 得棵数 先算段数，再判类型，两端都栽加 1，两端不栽减 1 封闭分段法 环形 / 方形封闭植树 算周长→除以间距得段数→棵数 = 段数 封闭图形不用愁，棵数段数相等就对头 模型转化法 变式应用题 判断场景类型→对应植树模型→套用对应公式 锯木爬楼敲钟，转化植树模型就行 逆推公式法 已知棵数反求总长 / 间距 根据模型反推段数→段数 × 间距 = 总长 反求先算段数，再乘间距得总长 两侧翻倍法 道路两侧植树题 先算一侧棵数→乘 2 得总棵数 两侧植树先算一边，最后乘 2 才完整 三、奥数思维提升 1. 建模思想：植树问题的标准化模型体系 核心要点：所有植树类问题都可以归为四大标准化模型：两端都栽、一端不栽、两端都不栽、封闭图形。每类模型对应固定的棵数与段数关系，掌握四类模型即可解决所有同类问题，一个模型适配一类场景，体现数学建模的普适价值。 示例：公路旁安装路灯属于两端都栽模型，棵数 = 段数 + 1；锯木头属于两端都不栽模型，锯的次数 = 段数 - 1；环形花坛摆花盆属于封闭模型，盆数 = 段数。不同生活场景对应不同的标准模型，套用对应公式即可快速求解。 2. 转化思想：变式问题的模型归化 核心要点：锯木头、爬楼梯、敲钟等看似和植树无关的问题，都可以通过类比转化，归为对应的植树模型。把陌生的变式问题转化成熟悉的植树模型，用已掌握的规律解决新问题，是植树问题最核心的数学思想。 示例：爬楼梯从 1 楼到 3 楼，本质是两端都栽的植树模型，楼层数对应棵数，楼梯层数对应段数，走的楼梯层数 = 楼层数 - 1，和 “棵数 = 段数 + 1” 完全对应。把爬楼梯转化为植树问题，直接套用规律就能快速计算。 3. 一一对应思想：棵数与段数的本质关系 核心要点：植树问题的所有公式，本质都是 “棵数” 和 “段数” 的一一对应关系。一端不栽时，一棵树对应一段间隔，棵数和段数完全相等；两端都栽时，开头多一棵树，所以棵数 = 段数 + 1；两端都不栽时，首尾都是间隔，所以棵数 = 段数 - 1。理解一一对应本质，不用死记硬背也能推导公式。 示例：一条路分成 5 段间隔，一端栽树的话，每段开头栽一棵，正好 5 棵，棵数 = 段数；两端都栽，首尾都多一棵，就是 5+1=6 棵；两端都不栽，首尾都不种，就是 5-1=4 棵。从一一对应出发，所有公式都可以自行推导。 4. 分类讨论思想：多场景问题的分类求解 核心要点：题目没有明确说明植树类型时，要分情况讨论所有可能的栽树方式，分别计算对应的结果，不遗漏任何一种可能性。针对不同场景分类求解，培养严谨的逻辑思维，是奥数题的常用解题思想。 示例：一条长 20 米的小路种树，每 5 米一棵，没有说明栽法，就要分三种情况讨论：两端都栽 5 棵，一端不栽 4 棵，两端都不栽 3 棵。不同的栽法对应不同的结果，要全部考虑到。 5. 化归思想：复杂问题的简单化处理 核心要点：复杂的植树问题（如两侧植树、间隔变化、组合变式），可以拆解、转化为多个简单的基础问题，分步解决后合并结果。把复杂问题化归为多个简单的基础模型，化繁为简，是解决复杂应用题的核心思路。 示例：公路两侧安装路灯，先算一侧的路灯数量，再乘 2 得到总数；已知间隔变化求增加的路灯数，先算原来的数量，再算变化后的数量，相减得到增量。复杂问题拆解后，每一步都是基础的植树模型计算。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：两端都栽 / 一端不栽 / 两端都不栽三种模型 典型例题 1（基础型）—— 两端都栽基础计算 题目：在一条长 100 米的小路一旁植树，每隔 5 米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？ 思路点拨： ① 先计算段数：总长 ÷ 间距 = 段数，即段； ② 两端都栽的模型中，棵数 = 段数 + 1； ③ 总棵数：棵。 【答案】21 棵 【知识点睛】两端都栽是最常见的植树模型，棵数 = 间隔数 + 1，首尾都要栽种。 典型例题 2（提高型）—— 三种模型对比 题目：一条长 40 米的走廊，每隔 4 米放一盆花，分别计算两端都放、只放一端、两端都不放三种情况各需要多少盆花？ 思路点拨： ① 先算段数：段； ② 两端都放：盆数 = 段数 + 1=盆；只放一端：盆数 = 段数 = 10 盆；两端都不放：盆数 = 段数 - 1=盆； ③ 三种模型的盆数依次相差 1。 【答案】两端都放 11 盆，只放一端 10 盆，两端都不放 9 盆 【知识点睛】同一路程同一间距，三种栽法的棵数依次相差 1，一端不栽是中间基准值。 典型例题 3（奥数型）—— 已知棵数反求间距 题目：公路一旁安装了 31 盏路灯（两端都装），公路全长 600 米，相邻两盏路灯之间的距离是多少米？ 思路点拨： ① 两端都装，盏数 = 段数 + 1，因此段数 = 盏数 - 1； ② 段数：段； ③ 间距 = 总长 ÷ 段数：米。 【答案】20 米 【知识点睛】已知棵数反求间距或总长，先根据模型反推出段数，再用总长与段数的关系计算。 考点二：封闭图形（环形）的植树问题 典型例题 1（基础型）—— 圆形封闭植树 题目：一个圆形花坛的周长是 60 米，沿着花坛周围每隔 3 米摆一盆花，一共需要摆多少盆花？ 思路点拨： ① 封闭图形的植树问题，棵数 = 段数，无需加减 1； ② 先算段数：周长 ÷ 间距 =段； ③ 花盆数等于段数，即 20 盆。 【答案】20 盆 【知识点睛】环形、圆形等封闭线路，首尾重合，相当于直线一端栽一端不栽，棵数等于间隔数。 典型例题 2（提高型）—— 方形封闭植树 题目：一个正方形池塘的边长是 40 米，沿池塘四周每隔 8 米栽一棵树，四个角都要栽，一共要栽多少棵树？ 思路点拨： ① 方法一：先算周长：米，封闭图形棵数 = 段数，棵； ② 方法二：每边棵数 =棵，四边共棵，四个角重复计算 4 棵，棵； ③ 两种方法结果一致。 【答案】20 棵 【知识点睛】多边形封闭植树，既可以用周长直接分段，也可以按边计算后减去重复的顶点数。 典型例题 3（奥数型）—— 封闭图形反求边长 题目：一个正五边形的广场，沿周边每隔 5 米安装一盏路灯，一共装了 24 盏，这个正五边形的边长是多少米？ 思路点拨： ① 封闭图形，盏数 = 段数，总共有 24 段间隔，总周长 = 段数 × 间距 =米； ② 正五边形五条边长度相等，边长 = 周长 ÷5； ③ 边长：米。 【答案】24 米 【知识点睛】封闭图形中，棵数直接等于间隔数，可据此快速求出周长，再计算边长。 考点三：植树问题的变式（锯木头 / 爬楼梯 / 敲钟 / 路灯安装） 典型例题 1（基础型）—— 锯木头问题 题目：把一根木头锯成 5 段，每锯一次需要 8 分钟，锯完一共需要多少分钟？ 思路点拨： ① 锯木头属于两端都不栽的模型，锯的次数 = 段数 - 1； ② 锯成 5 段，需要锯：次； ③ 总时间：分钟。 【答案】32 分钟 【知识点睛】锯木头次数 = 段数 - 1，不是几段就锯几次，这是最常见的易错点。 典型例题 2（提高型）—— 爬楼梯问题 题目：小明从 1 楼走到 3 楼需要 36 秒，照这样的速度，他从 1 楼走到 6 楼需要多少秒？ 思路点拨： ① 爬楼梯属于两端都栽模型，走的楼梯层数 = 终点楼层 - 起点楼层； ② 从 1 到 3 楼走了层，每层用时：秒； ③ 从 1 到 6 楼走了层，总用时：秒。 【答案】90 秒 【知识点睛】爬楼梯的楼层差对应间隔数，不是楼层数直接相除，要先算实际走的层数。 典型例题 3（奥数型）—— 敲钟问题 题目：时钟 3 时敲 3 下，6 秒敲完。照这样计算，8 时敲 8 下，多少秒敲完？ 思路点拨： ① 敲钟问题中，敲的次数对应棵数，两次敲钟的间隔对应段数，间隔数 = 敲钟次数 - 1； ② 敲 3 下有个间隔，每个间隔时长：秒； ③ 敲 8 下有个间隔，总时长：秒。 【答案】21 秒 【知识点睛】敲钟问题的时间花在间隔上，不是敲的动作上，间隔数 = 次数 - 1。 考点四：复杂植树综合应用 典型例题 1（基础型）—— 两侧植树问题 题目：一条公路长 800 米，在公路两旁每隔 8 米栽一棵杨树（两端都栽），一共要栽多少棵杨树？ 思路点拨： ① 先算一旁的棵数：段数 =段，一旁棵数 =棵； ② 两旁都栽，总棵数 = 一旁棵数 ×2； ③ 总棵数：棵。 【答案】202 棵 【知识点睛】道路两侧植树问题，先算单侧数量，再乘 2，“两旁” 是极易遗漏的条件。 典型例题 2（提高型）—— 间隔变化问题 题目：一条路原来每隔 6 米装一盏路灯（两端都装），一共装了 41 盏。现在改成每隔 8 米装一盏，有多少盏路灯不需要移动？ 思路点拨： ① 先算路长：段数 =段，总长 =米； ② 不需要移动的路灯，位置是 6 和 8 的公倍数处，最小公倍数是 24； ③ 段数：段，两端都有，盏数 =盏。 【答案】11 盏 【知识点睛】间隔变化的植树题，公倍数位置的物体不需要移动，结合最小公倍数求解。 典型例题 3（奥数型）—— 交叉路口植树 题目：两条笔直的公路垂直交叉，甲公路长 120 米，乙公路长 90 米，现在沿公路边每隔 10 米栽一棵树，交叉路口各栽一棵，一共要栽多少棵树？ 思路点拨： ① 甲公路：两端都栽，段数 =段，棵数 =棵； ② 乙公路：交叉路口已经栽了一棵，相当于一端栽一端不栽，段数 =段，棵数 = 9 棵； ③ 总棵数：棵（路口的树不重复计算）。 【答案】22 棵 【知识点睛】交叉植树要注意公共点的重复计数，重合的树只能算一次，避免重复加总。 考点五：模型辨析与规律探究 典型例题 1（基础型）—— 场景模型判断 题目：判断下列场景分别对应哪种植树模型：①教学楼前插彩旗，两端都插；②绳子上挂灯笼，一端挂一端不挂；③圆形溜冰场摆椅子。 思路点拨： ① 两端都插，对应两端都栽模型，棵数 = 段数 + 1； ② 一端挂一端不挂，对应一端不栽模型，棵数 = 段数； ③ 圆形是封闭图形，对应封闭植树模型，棵数 = 段数。 【答案】①两端都栽；②一端不栽；③封闭图形模型 【知识点睛】准确判断场景对应的模型，是正确解题的前提，关键看首尾是否相连、两端是否栽种。 典型例题 2（提高型）—— 规律归纳 题目：观察两端都栽的植树问题，棵数比段数多 1；如果把 n 段间隔的两端都栽模型，去掉开头的一棵树，变成什么模型？棵数是多少？ 思路点拨： ① 去掉开头的一棵树，就只剩一端有树，另一端没有，变成一端不栽的模型； ② 原来棵数是 n+1，去掉 1 棵，剩下 n 棵； ③ 正好符合一端不栽 “棵数 = 段数” 的规律。 【答案】变成一端不栽模型，棵数是 n 【知识点睛】三种直线模型可以相互转化，加一棵树变两端都栽，减一棵树变两端都不栽。 典型例题 3（奥数型）—— 方阵外围植树 题目：一个正方形方阵，最外层每边站 10 名学生，最外层一共有多少名学生？ 思路点拨： ① 方法一：封闭图形模型，每边 10 人，四边总数 =人，四个角重复计算 4 人，人； ② 方法二：每边去掉一个端点，每边 9 人，四边共人； ③ 本质是封闭植树问题，棵数 = 段数，每边 9 段，四边共 36 段，对应 36 人。 【答案】36 名 【知识点睛】方阵最外层人数问题，本质是正方形封闭植树，顶点会被两条边重复计算，要减去重复部分。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：三种直线模型混淆，加减 1 搞反 错误示例：两端都栽的题目，直接用总长 ÷ 间距得出棵数，忘记加 1；两端都不栽的题目反而加 1，公式记混。 正确分析：先判断模型，两端都栽棵数比段数多 1，两端都不栽比段数少 1，一端不栽和段数相等。 修正方法：解题第一步先写 “段数 = 总长 ÷ 间距”，再根据模型判断加 1、减 1 还是不加不减，养成分步习惯。 易错点 2：忽略 “两侧 / 两旁” 条件，忘记乘 2 错误示例：公路两旁栽树，只算出一旁的棵数就当作最终答案，漏掉 “两旁” 条件，结果少一半。 正确分析：题目出现 “两侧、两旁、两边、两端公路” 等表述时，要先算单侧，再乘 2 得到总数。 修正方法：读题时圈出 “两侧、两旁” 等关键词，最后一步检查是否需要乘 2。 易错点 3：封闭图形误用两端都栽公式，多加 1 错误示例：圆形花坛摆花盆，算完段数后又加 1，得到的盆数比正确值多 1。 正确分析：封闭图形首尾重合，相当于一端栽一端不栽，棵数等于段数，不需要加减 1。 修正方法：看到 “圆形、环形、正方形四周、封闭” 等关键词，直接记 “棵数 = 段数”，不加不减。 易错点 4：变式问题对应错误，次数与段数搞反 错误示例：锯成 5 段要锯 5 次，爬 3 楼走 3 层楼梯，直接把段数当次数，不做减 1 处理。 正确分析：锯木头、敲钟的次数 = 段数 - 1；爬楼梯的层数 = 终点楼层 - 起点楼层，都对应两端都不栽或间隔数模型。 修正方法：遇到变式题，先类比对应植树模型，写清谁对应棵数、谁对应段数，再代入计算。 易错点 5：单位不统一直接计算，结果偏差大 错误示例：总长单位是千米，间距单位是米，直接数字相除，单位不统一导致结果错误。 正确分析：计算前必须统一单位，把总长和间距换成相同单位，再进行除法计算。 修正方法：解题第一步先看单位，单位不同先换算，统一后再列算式。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 两端都栽的植树模型中，棵数 =+1；两端都不栽时，棵数 =-1。 2. 封闭图形的植树问题，棵数______段数。（填 “大于”“小于” 或 “等于”） 3. 锯木头时，锯的次数 = 段数________1；爬楼梯时，走的层数 = 终点楼层______起点楼层。 4. 在长 50 米的小路一旁种树，每隔 5 米一棵（两端都栽），一共要栽______棵。 5. 判断：敲钟问题中，敲 5 下有 5 个间隔。（ ） 6. 圆形跑道长 400 米，每隔 10 米插一面旗，一共要插______面旗。 7. 判断：公路两旁栽树，算出一旁棵数后要乘 2 才是总棵数。（ ） 8. 相邻两棵树间隔 8 米，第 1 棵到第 6 棵树之间相距______米。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 一条走廊长 36 米，每隔 4 米放一盆花，两端都不放，一共要放多少盆花？ 10. 把一根钢管锯成 6 段，每锯一次需要 3 分钟，锯完一共需要多少分钟？ 11. 小刚从 1 楼到 4 楼用了 60 秒，照这样的速度，他从 2 楼到 7 楼需要多少秒？ 12. 一个长方形操场长 80 米、宽 60 米，沿操场四周每隔 5 米插一面彩旗，四个角都插，一共要插多少面彩旗？ 13. 判断：封闭图形植树，棵数比段数多 1。（ ） 14. 公路一旁装了 25 盏路灯（两端都装），相邻两盏相距 20 米，这条公路长多少米？ 15. 时钟 5 时敲 5 下，8 秒敲完。12 时敲 12 下，多少秒敲完？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 一条公路长 960 米，在公路两旁每隔 12 米栽一棵树（两端都栽），一共要栽多少棵树？ 17. 一条道路原来每隔 8 米有一根电线杆，连两端共 57 根。现在换成每隔 12 米一根，有多少根电线杆不需要移动？ 18. 一个圆形鱼塘周长 180 米，沿鱼塘周围每隔 6 米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽 2 棵桃树。柳树和桃树各栽了多少棵？ 19. 一根木头锯成 4 段需要 12 分钟，照这样计算，锯成 8 段需要多少分钟？ 20. 正方形舞台四周站着一些礼仪人员，四个角都站 1 人，每边站 12 人，舞台四周一共有多少名礼仪人员？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】段数；段数 思路点拨： ① 两端都栽棵数比段数多 1，两端都不栽比段数少 1。 【知识点睛】直线植树的基本棵数与段数关系。 2. 【答案】等于 思路点拨： ① 封闭图形首尾重合，棵数和段数一一对应，数量相等。 【知识点睛】封闭植树的核心规律：棵数 = 段数。 3. 【答案】-；- 思路点拨： ① 锯的次数比段数少 1，爬楼层数等于楼层差，都是终点减起点。 【知识点睛】常见变式的数量关系。 4. 【答案】11 思路点拨： ① 段数：段； ② 两端都栽，棵数 =棵。 【知识点睛】两端都栽的基础计算。 5. 【答案】 思路点拨： ① 敲钟间隔数 = 次数 - 1，敲 5 下有 4 个间隔。 【知识点睛】敲钟问题的间隔数计算。 6. 【答案】40 思路点拨： ① 封闭图形，面数 = 段数； ② 段数：段，即 40 面旗。 【知识点睛】圆形封闭植树的基础计算。 7. 【答案】 思路点拨： ① 两侧植树总棵数是单侧的 2 倍，要乘 2。 【知识点睛】两侧植树的注意事项。 8. 【答案】40 思路点拨： ① 第 1 棵到第 6 棵，间隔数 =个； ② 距离：米。 【知识点睛】已知棵数反求距离。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】8 盆 思路点拨： ① 先算段数：段； ② 两端都不放，盆数 = 段数 - 1； ③ 盆。 【知识点睛】两端都不栽模型的应用。 10. 【答案】15 分钟 思路点拨： ① 锯成 6 段，需要锯次； ② 总时间：分钟。 【知识点睛】锯木头变式的时间计算。 11. 【答案】100 秒 思路点拨： ① 1 到 4 楼走了层，每层用时：秒； ② 2 到 7 楼走了层； ③ 总用时：秒。 【知识点睛】爬楼梯变式的综合计算。 12. 【答案】56 面 思路点拨： ① 先算操场周长：米； ② 封闭图形，彩旗数 = 段数； ③ 面。 【知识点睛】长方形封闭植树问题。 13. 【答案】 思路点拨： ① 封闭图形棵数等于段数，不多也不少。 【知识点睛】封闭植树的核心规律辨析。 14. 【答案】480 米 思路点拨： ① 两端都装，段数 = 盏数 - 1=段； ② 公路长：米。 【知识点睛】已知棵数反求总长。 15. 【答案】22 秒 思路点拨： ① 敲 5 下有个间隔，每个间隔：秒； ② 敲 12 下有个间隔； ③ 总时长：秒。 【知识点睛】敲钟问题的进阶计算。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】162 棵 思路点拨： ① 一旁段数：段，一旁棵数 =棵； ② 两旁总棵数：棵。 【知识点睛】两侧植树的综合应用。 17. 【答案】19 根 思路点拨： ① 先算路长：段数 =段，总长 =米； ② 8 和 12 的最小公倍数是 24； ③ 不需要移动的段数：段……16 米，盏数 =根。 【知识点睛】间隔变化的公倍数应用问题。 18. 【答案】柳树 30 棵，桃树 60 棵 思路点拨： ① 封闭图形，柳树棵数 = 段数 =棵； ② 每段间隔里栽 2 棵桃树，桃树总数 =棵。 【知识点睛】封闭图形的间隔栽树问题。 19. 【答案】28 分钟 思路点拨： ① 锯成 4 段需要锯次，每次用时：分钟； ② 锯成 8 段需要锯次； ③ 总时间：分钟。 【知识点睛】锯木头问题的反求与进阶计算。 20. 【答案】44 名 思路点拨： ① 每边 12 人，四边初步计算：人； ② 四个角的人各重复计算 1 次，共重复 4 人； ③ 总人数：名。 【知识点睛】正方形方阵最外层人数，封闭植树模型的应用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $