奥数培优专题13 可能性的大小与公平性（讲义）2026-2027学年五年级上册数学（人教版）

本讲义聚焦小学数学“可能性的大小与公平性”核心知识点，系统梳理确定性与不确定性事件区分、可能性大小比较、试验数据推测分布、游戏公平性判断、条形统计图分析五大考点，构建“事件分类—大小判断—数据推测—公平验证—统计可视化”完整认知体系，为概率统计学习奠定基础。 资料以知识体系表格呈现核心内容，用解题方法口诀辅助记忆，通过分层例题与易错指南培养学生抽象能力、推理意识和数据意识。课中助力教师系统授课，课后学生可借助分层练习巩固提升，有效查漏补缺。

专题十三 可能性的大小与公平性 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：确定性事件与不确定性事件的区分 3 考点二：可能性大小的定性比较（数量多则可能性大） 5 考点三：根据试验数据推测盒子里球的颜色分布 6 考点四：游戏公平性的判断（等可能性） 7 考点五：用条形统计图分析可能性 9 第三部分 易错避坑指南 11 易错点 1：把可能性大等同于必然发生 11 易错点 2：少量试验就下绝对结论 11 易错点 3：用实际输赢判断游戏公平性 11 易错点 4：数量相等就认为实际次数一定相等 11 易错点 5：条形图只看高度，忽略总数占比 12 第四部分 分层进阶专题精练 13 一、基础夯实篇（8 题） 13 二、能力进阶篇（7 题） 13 三、思维跃迁篇（5 题） 14 第五部分 精准解析 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版五年级上册第四单元 “可能性” 的概率入门培优核心内容，围绕随机事件分类、可能性大小判断、统计数据推测、游戏公平性判定、统计图表分析五大考点展开，建立 “事件分类 — 大小判断 — 数据推测 — 公平验证 — 统计可视化” 的完整概率认知体系，掌握定义判别、数量对比、数据反推、规则设计等核心方法，初步建立随机观念与统计推理能力，为后续概率统计学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 确定性与不确定性事件区分 必然事件、不可能事件、随机事件的定义与分类，生活事件的属性判断 定义判别法、结果枚举法 混淆可能性大小与必然性，把大概率事件当成必然事件 可能性大小定性比较 数量与可能性的正相关关系，多类别可能性大小排序 数量对比法、占比分析法 只看绝对数量，忽略总数占比；认为可能性大就一定会发生 试验数据推测分布 用摸球等试验的频率数据，反推总体中各类物体的数量分布 数据反推法、样本估算法 少量试验就下绝对结论，用 “一定” 替代 “可能” 表述 游戏公平性判断 等可能性是公平的核心，公平规则设计与不公平规则修改 公平性判定法、规则优化法 用实际输赢次数判断公平性，混淆理论概率与实际频率 条形统计图分析可能性 用条形图呈现试验数据，直观比较可能性大小，解读统计结论 统计分析法、图形解读法 只看条形高度忽略总数；将统计结论绝对化，忽略随机性 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 定义判别法 事件分类判断题 列举所有结果→判断是否唯一→对应事件类型 一定发生是必然，一定不发是不可能，多种结果是随机 数量对比法 可能性大小比较 数各类别数量→对比多少→对应可能性大小 数量多，可能大；数量少，可能小 数据反推法 试验推测总体题 统计各类出现次数→对比频率高低→推测总体分布 出现次数多，对应数量多，只是可能性，不说一定对 公平性判定法 游戏公平判断题 列举双方获胜情况→对比数量多少→判定是否公平 机会均等才公平，数量不等不公平 统计分析法 统计图分析题 读取条形数据→计算占比关系→推导可能性结论 条形越高次数多，可能性大不用说，单次结果仍随机 三、奥数思维提升 1. 随机思想：单次偶然与整体规律的统一 核心要点：不确定事件的单次结果是随机的、无法精准预测的，但进行大量重复试验后，结果会呈现出稳定的统计规律。单次的偶然性和整体的规律性辩证统一，是概率学科最核心的基础思想。 示例：抛一枚硬币，抛 1 次是正面还是反面完全无法确定；但连续抛 1000 次，正面和反面出现的次数会非常接近，各占约一半。单次结果完全随机，大量试验后呈现稳定规律。 2. 统计推断思想：用样本数据估计总体分布 核心要点：当无法直接获知总体的全部信息时，可以通过抽样试验得到的样本数据，反推总体的大致分布情况。用局部样本估计整体总体，是统计领域的核心思想，也是解决实际问题的通用方法。 示例：盒子里装有红、黄两种颜色的球，总数未知。重复摸球 50 次，摸到红球 41 次、黄球 9 次，就可以推测盒子里红球数量多、黄球数量少，红球数量大约是黄球的 4 倍。通过有限次试验样本，就能推断出总体的大致分布。 3. 公平性思想：等可能性下的规则设计 核心要点：公平的游戏规则，本质是让每个参与方获胜的可能性大小完全相等。基于等可能性设计游戏规则，才能保证参与各方机会均等，是概率思想在生活规则设计中的典型应用。 示例：掷骰子游戏，规定大于 3 甲赢、小于 3 乙赢，甲有 3 种获胜可能、乙只有 2 种，规则不公平；修改为奇数甲赢、偶数乙赢，双方各有 3 种可能，可能性相等，规则就公平了。调整规则使可能性相等，就实现了公平。 4. 数形结合思想：统计图可视化呈现可能性 核心要点：把抽象的试验数据和可能性大小，用条形统计图等图形直观呈现，通过条形的高度就能快速比较可能性大小。将抽象的概率数据转化为直观的图形，用图形承载数量关系，是数形结合思想在统计领域的体现。 示例：摸球试验的结果用条形统计图展示，红球的条形最高，说明摸到红球的可能性最大；绿球条形最矮，对应可能性最小。无需比对数字，通过条形高度就能直观判断可能性的大小关系。 5. 极限思想：频率随试验次数趋近于概率 核心要点：随机事件发生的频率，会随着试验次数的不断增加，波动逐渐减小，越来越接近它真实的概率。试验次数越少，结果波动越大；试验次数越多，结果越稳定，逐渐收敛到真实概率，体现极限思想。 示例：抛硬币 10 次，可能出现 7 次正面，偏离二分之一的理论概率；抛 1000 次，正面次数会非常接近 500 次。试验次数越多，频率就越贴近真实的概率，误差不断缩小。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：确定性事件与不确定性事件的区分 典型例题 1（基础型）—— 事件基础分类 题目：判断下列事件哪些是确定事件，哪些是不确定事件：①太阳从东方升起；②明天会下雨；③抛硬币正面朝上；④人长生不老。 思路点拨： ① 确定事件包含必然事件和不可能事件，太阳从东方升起必然发生，人长生不老必然不发生，二者结果都是确定的； ② 明天是否下雨、抛硬币哪面朝上，结果无法提前预判，存在多种可能，属于不确定事件； ③ 因此确定事件是①④，不确定事件是②③。 【答案】确定事件：①④；不确定事件：②③ 【知识点睛】必然事件和不可能事件都属于确定事件，结果唯一可预判；不确定事件结果具有随机性，无法提前预知。 典型例题 2（提高型）—— 三类事件细分 题目：按要求分类：①从全是白球的盒子里摸出白球；②掷一枚骰子点数大于 6；③下周降温；④两位数乘一位数积是三位数。将序号填入对应括号：必然事件（ ），不可能事件（ ），不确定事件（ ） 思路点拨： ① 全是白球的盒子一定能摸出白球，是必然事件；骰子最大点数为 6，不可能大于 6，是不可能事件； ② 下周是否降温、乘积是否为三位数，结果都不唯一，可能发生也可能不发生，属于不确定事件； ③ 因此必然事件为①，不可能事件为②，不确定事件为③④。 【答案】必然事件：①；不可能事件：②；不确定事件：③④ 【知识点睛】必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，二者结果都是确定的；不确定事件存在多种可能的结果。 典型例题 3（奥数型）—— 结合数量判断事件类型 题目：袋子里有 5 个红球、3 个黄球，小丽从中任意摸一个球，她________摸到红球，______摸到白球。（填 “一定”“可能” 或 “不可能”） 思路点拨： ① 袋子里同时有红球和黄球，两种颜色都有可能被摸到，因此摸红球是可能发生的； ② 袋子里没有白球，完全不存在摸到白球的可能； ③ 依次填入 “可能”“不可能”。 【答案】可能；不可能 【知识点睛】判断事件类型要结合所有可能的结果，有对应数量就是可能，完全没有就是不可能，全部都是就是一定。 考点二：可能性大小的定性比较（数量多则可能性大） 典型例题 1（基础型）—— 基础数量对比 题目：盒子里有 8 个黑球、3 个白球，任意摸一个球，摸到哪种颜色球的可能性大？为什么？ 思路点拨： ① 可能性的大小与对应物体的数量正相关，总数固定时，数量越多，被摸到的可能性越大； ② 黑球有 8 个，白球有 3 个，黑球数量远多于白球； ③ 因此摸到黑球的可能性更大。 【答案】摸到黑球的可能性大；因为黑球数量多于白球，数量越多可能性越大 【知识点睛】总数相同的前提下，单个类别的数量越多，对应的发生可能性就越大。 典型例题 2（提高型）—— 多类别可能性排序 题目：把卡片打乱顺序反扣在桌上，从中任意抽一张：3 张数字卡片 “5”、5 张数字卡片 “3”、2 张数字卡片 “8”。抽到数字________的可能性最大，抽到数字______的可能性最小。 思路点拨： ① 卡片总数固定，哪种数字的卡片数量最多，抽到的可能性就最大，数量最少则可能性最小； ② 数量对比：5 张 “3”＞3 张 “5”＞2 张 “8”； ③ 因此抽到数字 3 的可能性最大，抽到数字 8 的可能性最小。 【答案】3；8 【知识点睛】可能性大小与对应物体的数量正相关，数量多可能性大，数量少可能性小。 典型例题 3（奥数型）—— 调整数量使可能性相等 题目：要使摸到红球和黄球的可能性相等，盒子里现有 4 个红球、7 个黄球，应该怎么调整？ 思路点拨： ① 可能性相等意味着两种球的数量必须相等； ② 当前黄球比红球多：7-4=3 个； ③ 可以增加 3 个红球，或者减少 3 个黄球，只要最终两种球数量相等即可。 【答案】示例：增加 3 个红球（或减少 3 个黄球，合理即可） 【知识点睛】可能性大小相等，对应的物体数量就相等；调整数量至相等，两种事件的可能性就相同。 考点三：根据试验数据推测盒子里球的颜色分布 典型例题 1（基础型）—— 基础频率推测 题目：小明从盒子里摸球，摸了 30 次，摸到红球 22 次，摸到蓝球 8 次。根据数据推测，盒子里________色的球可能多，______色的球可能少。 思路点拨： ① 试验中摸到的次数越多，说明对应颜色的球数量可能越多；摸到次数越少，对应数量可能越少； ② 摸到红球 22 次远多于蓝球 8 次； ③ 因此红球可能多，蓝球可能少。 【答案】红；蓝 【知识点睛】试验中出现频率越高的类别，对应的总体数量可能越多，这是用样本估计总体的基本逻辑。 典型例题 2（提高型）—— 推测的严谨表述 题目：盒子里有红、黄、绿三种颜色的球，小刚重复摸了 100 次，结果如下：红球 68 次，黄球 25 次，绿球 7 次。下列说法正确的是（ ） A. 红球一定最多 B. 绿球一定最少 C. 红球可能最多 思路点拨： ① 试验数据只能推测可能性，不能得出绝对的 “一定” 结论，因为试验本身存在随机性； ② 红球摸到次数最多，只能说明红球数量可能最多，绿球可能最少，不是绝对的； ③ 因此选 C。 【答案】C 【知识点睛】试验数据是推测依据，反映的是可能性，不能用 “一定” 等绝对化表述，存在小概率的例外情况。 典型例题 3（奥数型）—— 估算总体数量 题目：盒子里共 10 个球，只有黑白两种颜色，小明摸了 50 次，摸到白球 40 次，黑球 10 次。估算一下盒子里白球和黑球各大约有多少个？ 思路点拨： ① 摸到白球次数是黑球的 4 倍，推测白球数量大约是黑球的 4 倍； ② 总数量 10 个，按 4:1 分配，黑球 1 份、白球 4 份，共 5 份对应 10 个，每份 2 个； ③ 因此白球大约 8 个，黑球大约 2 个。 【答案】白球大约 8 个，黑球大约 2 个 【知识点睛】根据试验的频率比例，可以估算总体中各类物体的大致数量，频率比近似等于数量比。 考点四：游戏公平性的判断（等可能性） 典型例题 1（基础型）—— 基础公平性判断 题目：掷一枚骰子，规则是点数大于 3 小明赢，点数小于 3 小刚赢。这个游戏公平吗？为什么？ 思路点拨： ① 先列举双方获胜的情况：大于 3 的点数有 4、5、6，共 3 种；小于 3 的点数有 1、2，共 2 种； ② 双方获胜的可能情况数量不同，小明赢的可能性更大； ③ 因此游戏不公平。 【答案】不公平；因为小明赢有 3 种可能，小刚赢只有 2 种可能，双方获胜可能性不相等 【知识点睛】判断游戏公平性的核心标准：双方获胜的可能性大小是否相等，相等则公平，不等则不公平。 典型例题 2（提高型）—— 公平规则设计 题目：有 2、3、4、5 四张数字卡片，任意抽两张，和是奇数甲赢，和是偶数乙赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请设计一个公平的规则。 思路点拨： ① 先列出所有组合的和：2+3=5、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8、4+5=9；和为奇数的有 4 种，偶数的有 2 种，可能性不等，游戏不公平； ② 公平规则需要让双方可能性相等，例如：和大于 7 甲赢，和小于 7 乙赢，等于 7 重来； ③ 验证：大于 7 的有 3 种，小于 7 的有 3 种，可能性相等，规则公平。 【答案】不公平；公平规则示例：和大于 7 甲赢，和小于 7 乙赢，和等于 7 重新抽（合理即可） 【知识点睛】设计公平游戏的核心：让双方获胜的可能情况数量相等，保证等可能性。 典型例题 3（奥数型）—— 转盘游戏公平判定 题目：两个小朋友用转盘做游戏，转盘被平均分成 4 份，分别标 1、2、3、4。转动转盘，指针指向大于 2 的数甲得 1 分，指向小于 3 的数乙得 1 分，转 20 次，总分高的赢。这个游戏公平吗？为什么？ 思路点拨： ① 大于 2 的数有 3、4，共 2 种情况；小于 3 的数有 1、2，共 2 种情况； ② 双方每次得分的可能性都是 2 种，出现概率相等； ③ 因此游戏是公平的。 【答案】公平；因为双方获胜的可能情况各有 2 种，可能性大小相等 【知识点睛】判断公平性只看单次事件的可能性是否相等，和总游戏次数无关，机会均等则规则公平。 考点五：用条形统计图分析可能性 典型例题 1（基础型）—— 条形图基础解读 题目：下图是某班同学摸球试验的条形统计图，红球 15 次、黄球 8 次、蓝球 3 次。从图中可以看出，摸到________球的可能性最大，摸到______球的可能性最小。 思路点拨： ① 条形统计图中，条形越高代表次数越多，对应摸到的可能性越大；条形越低则可能性越小； ② 红球条形最高，蓝球条形最低； ③ 因此摸到红球可能性最大，蓝球最小。 【答案】红；蓝 【知识点睛】条形统计图可以直观呈现试验数据的多少，条形高度与可能性大小正相关。 典型例题 2（提高型）—— 统计结论的严谨判断 题目：根据条形统计图的摸球结果，判断下列说法是否正确： ① 下一次一定摸到红球。（ ） ② 盒子里红球可能最多。（ ） ③ 再摸 10 次，一定还是红球次数最多。（ ） 思路点拨： ① 每次摸球都是随机的，即使红球可能性大，也不能保证下一次一定摸到红球，①错误； ② 红球摸到次数最多，推测盒子里红球可能数量最多，②正确； ③ 试验具有随机性，后续结果存在波动，不能保证一定还是红球最多，③错误。 【答案】① ×；② √；③ × 【知识点睛】统计结果反映的是整体可能性，不能预测单次试验的结果，也不能保证后续试验的绝对结果。 典型例题 3（奥数型）—— 试验可靠性对比 题目：下面是两组同学做的同一款摸球试验的条形统计图，甲组试验 20 次，乙组试验 200 次。哪组的试验结果更可靠？为什么？ 思路点拨： ① 试验次数越多，频率越接近真实的概率，结果越稳定、越可靠； ② 乙组试验 200 次，远多于甲组的 20 次，试验样本量更大； ③ 因此乙组的结果更可靠。 【答案】乙组更可靠；因为试验次数越多，结果越接近真实的可能性，结论越可靠 【知识点睛】大量重复试验的统计结果比少量试验更具参考价值，样本量越大，随机误差越小。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：把可能性大等同于必然发生 错误示例：红球数量多，就说下一次一定摸到红球，将大概率事件直接等同于必然事件。 正确分析：可能性再大也只是发生概率高，不代表必然发生；单次试验的结果是随机的，任何情况都有可能出现。 修正方法：描述确定事件用 “一定”“不可能”，描述不确定事件用 “可能”，可能性大小不改变事件的随机属性。 易错点 2：少量试验就下绝对结论 错误示例：只摸了 5 次球全是红球，就断言盒子里一定全是红球，忽略少量试验的偶然性。 正确分析：少量试验的结果波动大，只能做初步推测，不能得出绝对化结论；试验次数越多，结论才越可靠。 修正方法：少量试验用 “可能”“也许” 表述，大量试验才能做更肯定的推测，始终保留对随机性的认知。 易错点 3：用实际输赢判断游戏公平性 错误示例：游戏玩了 10 次甲赢了 6 次，就说游戏不公平，用实际胜负结果反推规则是否公平。 正确分析：公平的游戏只保证双方获胜的可能性相等，不保证实际胜负次数完全一样，实际结果存在随机波动。 修正方法：判断公平性只看规则本身是否让双方机会均等，不依据实际的输赢次数下结论。 易错点 4：数量相等就认为实际次数一定相等 错误示例：红球黄球数量相等，摸 10 次就认为一定各摸到 5 次，和预期不符就觉得数量不对。 正确分析：数量相等只代表理论可能性相等，实际试验中次数会有波动，不是绝对的各占一半；试验次数越多，结果越接近理论值。 修正方法：区分理论概率和实际频率，理论是固定的，实际频率会围绕理论值上下波动。 易错点 5：条形图只看高度，忽略总数占比 错误示例：看到红球条形比黄球高很多，就直接说红球可能性特别大，不考虑总试验次数的影响。 正确分析：判断可能性大小要看占总数的比例，不是只看绝对高度；总次数不同时，要结合总数判断比例才准确。 修正方法：先看总试验次数，再计算各类别次数的占比，用比例判断可能性大小更严谨。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 太阳从西边落下是________事件，掷骰子点数是 7 是______事件。（填 “确定” 或 “不确定”） 2. 可能性的大小和物体的________有关，数量越________，可能性越大。 3. 判断：抛一枚硬币，正面朝上的可能性大。（ ） 4. 盒子里有 6 个红球、2 个白球，任意摸一个，摸到______球的可能性大。 5. 游戏公平的核心是双方获胜的______大小相等。 6. 判断：试验中摸到红球次数多，说明盒子里红球一定最多。（ ） 7. 条形统计图中，条形越________，代表对应类别出现的次数越多，可能性越大。 8. 抛硬币时，正面和反面朝上的可能性________，因此用抛硬币决定胜负是______的。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 将下列事件的序号填入对应类别： ① 冬天下雪 ② 月亮绕着地球转 ③ 买彩票中奖 ④ 水往低处流 ⑤ 三位数乘两位数积是五位数 必然事件：________；不可能事件：________；不确定事件：________ 10. 袋子里有 5 张数字卡片：1、1、2、2、2，任意抽一张，抽到数字________的可能性最大，抽到数字______的可能性最小。 11. 掷两枚硬币，规则是两枚都是正面甲赢，一正一反乙赢。这个游戏公平吗？为什么？ 12. 小刚摸球 40 次，其中绿球 31 次，白球 9 次。推测盒子里哪种颜色的球可能多？哪种可能少？ 13. 判断：游戏公平就是双方赢的次数一定相等。（ ） 14. 要使摸到黑球的可能性比白球大，盒子里有 3 个黑球、5 个白球，至少要再放入几个黑球？ 15. 条形统计图显示：跳绳达标 25 人，跳远达标 20 人，跑步达标 28 人。哪个项目达标的可能性最大？哪个最小？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 盒子里有 20 个球，只有红黄两种颜色。小明摸了 100 次，摸到红球 76 次，黄球 24 次。估算盒子里红球和黄球大约各有多少个？ 17. 有 1、2、3、4 四张卡片，任意抽两张，积是单数小明赢，积是双数小丽赢。这个游戏公平吗？谁赢的可能性大？ 18. 一个转盘被平均分成 8 份，分别标 1-8。请设计一个公平的游戏规则，说明理由。 19. 盒子里有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的球各 5 个，要想摸出的球一定有 2 个同色的，至少要摸出几个球？ 20. 甲、乙两人做摸球游戏，盒子里有 6 个红球、4 个白球。请你设计一个公平的游戏规则，并说明理由。 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】确定；确定 思路点拨： ① 太阳从西边落下是必然发生的，掷骰子点数为 7 是必然不发生的； ② 二者结果都是确定的，都属于确定事件。 【知识点睛】必然事件和不可能事件都属于确定事件。 2. 【答案】数量；多 思路点拨： ① 可能性大小与对应物体的数量直接相关，数量越多，发生概率越大。 【知识点睛】可能性大小的影响因素。 3. 【答案】 思路点拨： ① 硬币只有正反两面，正面和反面朝上的可能性相等。 【知识点睛】等可能性事件的基本认知。 4. 【答案】红 思路点拨： ① 红球数量 6 个多于白球 2 个，因此摸到红球的可能性更大。 【知识点睛】数量与可能性大小的正相关关系。 5. 【答案】可能性 思路点拨： ① 游戏公平的核心是双方获胜的可能性大小相等，即等可能性。 【知识点睛】游戏公平性的核心判定标准。 6. 【答案】 思路点拨： ① 试验数据只能推测可能性，不能得出 “一定” 的绝对结论，存在例外可能。 【知识点睛】试验推测的严谨表述要求。 7. 【答案】高（长） 思路点拨： ① 条形统计图用条形的高度代表数量多少，越高对应次数越多。 【知识点睛】条形统计图的基本特征。 8. 【答案】相等；公平 思路点拨： ① 抛硬币正反两面可能性相等，符合等可能性，因此规则公平。 【知识点睛】等可能性与公平性的对应关系。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】必然事件：②④；不可能事件：无；不确定事件：①③⑤ 思路点拨： ① 月亮绕地球转、水往低处流是必然发生的自然规律，属于必然事件； ② 所列事件没有绝对不可能发生的； ③ 冬天下雪、买彩票中奖、乘积位数都存在多种可能，属于不确定事件。 【知识点睛】三类事件的定义与实际区分。 10. 【答案】2；1 思路点拨： ① 数字 “2” 有 3 张，数字 “1” 有 2 张； ② 数量多的可能性大，数量少的可能性小。 【知识点睛】多类别可能性大小比较。 11. 【答案】不公平；理由：两枚硬币共有 4 种等可能结果：正正、正反、反正、反反；两枚都是正面只有 1 种，一正一反有 2 种，乙赢的可能性更大。 思路点拨： ① 先列举所有等可能的结果； ② 分别统计双方获胜的结果数量； ③ 数量不等则可能性不等，游戏不公平。 【知识点睛】多结果事件的公平性判断。 12. 【答案】绿球可能多，白球可能少 思路点拨： ① 摸到绿球次数远多于白球； ② 频率越高对应总体数量可能越多。 【知识点睛】试验频率推测总体分布。 13. 【答案】 思路点拨： ① 公平只代表可能性相等，实际次数会有随机波动，不一定完全相等。 【知识点睛】理论概率与实际频率的区别。 14. 【答案】至少 3 个 思路点拨： ① 要使黑球可能性更大，黑球数量必须超过白球的 5 个； ② 至少需要有 6 个黑球，因此要再放入 6-3=3 个。 【知识点睛】可能性大小的逆向数量调整。 15. 【答案】跑步达标的可能性最大，跳远达标的可能性最小 思路点拨： ① 同一总人数下，达标人数越多，达标的可能性越大； ② 28＞25＞20，因此跑步最大、跳远最小。 【知识点睛】条形数据的可能性大小判断。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】红球大约 15 个，黄球大约 5 个 思路点拨： ① 摸到红球约占总次数的四分之三，黄球约占四分之一； ② 按比例估算总数 20 个，红球约 15 个，黄球约 5 个。 【知识点睛】频率比例估算总体数量。 17. 【答案】不公平；小丽赢的可能性大 思路点拨： ① 列出所有乘积：1×2=2、1×3=3、1×4=4、2×3=6、2×4=8、3×4=12； ② 单数只有 1 种，双数有 5 种； ③ 双数数量更多，小丽赢的可能性大，游戏不公平。 【知识点睛】复杂组合事件的公平性判定。 18. 【答案】示例：指针指向奇数甲赢，指向偶数乙赢。理由：1-8 中奇数和偶数各有 4 个，双方获胜可能性相等，游戏公平。 思路点拨： ① 设计规则需保证双方获胜的可能数量相等； ② 8 个数字平分为两类各 4 个，即可实现等可能性。 【知识点睛】公平游戏规则的设计方法。 19. 【答案】4 个 思路点拨： ① 最不利原则：前 3 次分别摸到红、黄、蓝各 1 个，此时再摸 1 个，必然会和其中一个同色； ② 因此至少摸出 3+1=4 个。 【知识点睛】抽屉原理的基础应用，最不利原则解题。 20. 【答案】示例：摸到红球甲得 2 分，摸到白球乙得 3 分，摸 10 次总分高者赢。理由：红球 6 个、白球 4 个，得分与数量成反比，双方单次期望得分相等，游戏公平。 思路点拨： ① 两种球数量不等，可通过设置不同分值使双方期望相等； ② 6×2=4×3，双方单次得分期望相同，规则公平。 【知识点睛】不等数量下的公平游戏设计思路。 1 学科网（北京）股份有限公司 $