21.1 认识一元二次方程（分层作业）2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 该同步练通过基础、能力、拓展三层设计，以“概念理解→综合应用→迁移探究”为主线，覆盖一元二次方程核心知识点，适配新授课分层巩固需求，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关精练|一元二次方程概念、一般形式、解及简单实际应用|结合中考题改编，如用降价百分率问题强化模型意识，夯实基础考点| |能力提升|方程参数取值、根与系数关系、综合情境应用|通过含参方程及等腰三角形边长问题，发展推理能力与运算能力| |拓展探究训练|根的代换与新方程构建|引入“换根法”探究，培养创新意识与数学思维的迁移应用|

21.1 认识一元二次方程 A. 基础过关精练 【题型1 一元二次方程的概念】 1.（2026重庆一外月考）下列方程中，一定是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2.（2026年福建漳州芗城期中）当=_______时，是关于的一元二次方程 3.（2026年成都期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【题型2 一元二次方程的一般形式】 1.（2026吉林长春朝阳期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A.1，1，3 B.1，-1，3 C.-1，1，3 D.-1，1，-3 3.将一元二次方程化为一般形式为_______________________，二次项为_________，二次项系数为_________；一次项为_________，一次项系数为_________；常数项为______ 【题型3 一元二次方程的解】 1.（2025青海中考）若是一元二次方程的一个根，则的值为_________ 2.（2026重庆期中）若是方程的一个根，则的值为_________ 3.（2026攀枝花仁和期中）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A.2026 B.0 C.-2026 D.2027 【题型4 根据实际问题列一元二次方程】 1. （2026四川月考）某型号笔记本电脑发售时每台售价为11999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为8999元，设每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 2. （2026四川绵阳游仙期中）化学课代表在老师的指导下，学会了某实验，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了。问第二节课会做该实验的同学手把手教会了多少名同学？假设手把手教会了名同学，则可列方程为_______________________ B. 能力提升 1.（2026湖南张家界永定期中）若关于的方程是一元二次方程，则=_______ 2.（2026成都锦江区期中）若关于的方程的两根为，则的值为________ 3.（2026福建泉州永春五中期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 4．（2025·广东广州·一模）已知2，4，分别是等腰三角形三边的长，且是关于的一元二次方程的根，则的值为___________ C. 拓展探究训练 1. （2026重庆期中）已知是方程的一个根，试求的值. 2. 阅读材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程.（要求：把所求方程化为一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； （2）已知关于的一元二次方程的根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1 认识一元二次方程 A. 基础过关精练 【题型1 一元二次方程的概念】 1.（2026重庆一外月考）下列方程中，一定是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1） 未知数的最高次数是2； （2） 二次项系数不为0； （3） 是整式方程； （4） 含有一个未知数． 由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】 A、含有两个未知数，故此选项不符合题意； B、化简后，方程左右两边的二次项抵消了，即不再有二次项，故此选项不符合题意； C、是分式方程，不是整式方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，故此选项符合题意． 故选：D 2.（2026年福建漳州芗城期中）当=_______时，是关于的一元二次方程 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答． 【详解】根据一元二次方程的定义知，，即 故填：4 3.（2026年成都期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】 A、未知数的最高次数是3，故此选项不符合题意； B、化简后，方程左右两边的二次项抵消了，即不再有二次项，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意．； D、是分式方程而不是整式方程，故此选项不符合题意． 故选：C 【题型2 一元二次方程的一般形式】 1.（2026吉林长春朝阳期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】 解：， ∴， ∴, ∴ ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：C． 2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A.1，1，3 B.1，-1，3 C.-1，1，3 D.-1，1，-3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：，就是一元二次方程的一般形式 ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是3， 故选：．, 3.将一元二次方程化为一般形式为_______________________，二次项为_________，二次项系数为_________；一次项为_________，一次项系数为_________；常数项为______ 【答案】； ；4；，-7；-12 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴二次项为，二次项系数为4；一次项为，一次项系数为-7；常数项为-12 故填：； ；4；，-7；-12 【题型3 一元二次方程的解】 1.（2025青海中考）若是一元二次方程的一个根，则的值为_________ 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得，，解得3. 故填：3． 2.（2026重庆期中）若是方程的一个根，则的值为_________ 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得，，解得3. 故填：3． 3.（2026攀枝花仁和期中）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A.2026 B.0 C.-2026 D.2027 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程推出，即=1，代入所求进行计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即=1，， ∴， 故选：D 【题型4 根据实际问题列一元二次方程】 1. （2026四川月考）某型号笔记本电脑发售时每台售价为11999元，经过两年的更新换代，这台笔记本电脑的售价下降了两次，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为8999元，设每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】从实际问题中建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审：审清题意．弄清已知量和未知量； (2) 设：设出未知数； (3) 表：用含未知数的代数式表示相关量； (4) 找：找出问题中的等量关系； (5) 列：根据等量关系，列出方程. 【详解】 解：根据经过两次降价后的价格=原价×（1-每次降价的百分率）²，可列出一元二次方程为： 故选：B 2. （2026四川绵阳游仙期中）化学课代表在老师的指导下，学会了某实验，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了。问第二节课会做该实验的同学手把手教会了多少名同学？假设手把手教会了名同学，则可列方程为_______________________ 【答案】 【分析】传播问题的核心是：每一轮传播中，每个参与者都会传播给相同数量的新个体，总人数呈指数增长，公式可归纳为：最终人数=，其中n是传播轮数，本题中n=2. 【详解】 解：根据题意得：（或） 故填： B. 能力提升 1.（2026湖南张家界永定期中）若关于的方程是一元二次方程，则=_______ 【答案】-1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，关键在于确定未知数的最高次数为2，从而算出的值. 【详解】解：由一元二次方程的定义，得：，解得 故填：-1 2.（2026成都锦江区期中）若关于的方程的两根为，则的值为________ 【答案】16 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程的解1，-1分别代入原方程，可得，，再将所求式子进行因式分解后，代入计算即可. 【详解】 解：∵的根为， ∴将1，-1分别代入整理得：，， ∴ 故填：16 3.（2026福建泉州永春五中期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程的一个根为2025，即, 解得：， 故选：C． 4．（2025·广东广州·一模）已知2，4，分别是等腰三角形三边的长，且是关于的一元二次方程的根，则的值为___________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况讨论：当时，当时，分别讨论求解即可． 【详解】解：2，4， 分别是等腰三角形三边的长， 当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意； 当时，2, 4, 4能构成三角形，此时， ， 故答案为：． C. 拓展探究训练 1. （2026重庆期中）已知是方程的一个根，试求的值. 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值问题，根据已知代数式化简所求代数式是解题的关键．根据题意可知，从而得到，，然后代入化简即可. 【详解】 解： 是一元二次方程的解 ∴ ， ∴ 故填：2025 2. 阅读材料：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用材料提供的“换根法”按下列要求求出新方程.（要求：把所求方程化为一般形式） （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； （2）已知关于的一元二次方程的根不为零，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数. 【答案】(1)；（2）（2）（c≠0） 【分析】本题给出了“换根法”的示例，本质是利用方程根的定义：若是原方程的根，则满足原方程；再通过新根与原根的关系，把用表示后代入原方程，整理得到关于的新方程. 【详解】 解：（1）设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为. （2）设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程得，化简得，故所求方程为. 故答案为：(1)；（2）（c≠0） 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $