山东省潍坊市2025-2026学年高二上学期期末数学自编模拟卷2（人教B版）

山东省潍坊市2025-2026学年高二年级数学上学期期末模拟卷2 考试时间：120分钟；满分：150分 考试范围：高中数学人教B版必修第四册第十一章立体几何初步11.2平面的基本事实与推论、11.3空间中的平行关系、11.4空间中的垂直关系；选择性必修第一册全部内容；选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理。 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 2．设，则“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 5．抛物线 ：（）的焦点为，点在上， 且， 点到轴的距离为3，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 6．某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（   ） A．120种 B．360种 C．240种 D．720种 7．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．从0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论正确的是（   ） A．三位数共有18个 B．百位数字为1的三位数共有6个 C．十位数字为1的三位数共有6个 D．个位数字为0的三位数共有6个 10．已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不在轴上，则下列说法正确的有（   ） A．椭圆的短轴长为3 B．的周长为 C．的面积的最大值为 D．的取值范围是 11．如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（   ） A．为母线 B． C． D．平面与平面的夹角等于30° 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中含项的系数是 ． 13．已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为 ． 14．已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 ，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则 . 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，，，，，，E，F，G分别是，，的中点，点M，N分别在线段，上，，． (1)求证：E，G，N，M四点共面； (2)求证：平面平面； 17．（15分） 已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求C的方程； (2)若为以为底边的等腰三角形，求的面积． 18．（17） 如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合）. (1)求证： (2)若平面与平面所成角的正弦值不小于，求线段的取值范围. 19．（17分） 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：． (1)分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围． (2)已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊市2025-2026学年高二年级数学上学期期末模拟卷2评分标准 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1-4：D A B A 5-8：C C D A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. ABD 10. BC 11. BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14． （2分） （3分） 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） （1）依题意，设点， 因为点与点关于直线对称， 所以，解得，故，………………………………2分 设的外接圆的一般方程为，……3分 则，解得， 则圆的一般方程为，…………………………………5分 所以圆的标准方程为.……………………………………6分 （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离为，…………………………8分 当直线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意；……………………9分 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，………………………………………………11分 此时的方程为，即…………………………………12分 综上，所求直线的方程为或.………………………………13分 16．（15分） （1）因为E，G分别是，的中点，所以，……………2分 因为，，所以，……………………………4分 所以，所以E，G，N，M四点共面．………………………………5分 （2）解法一：因为，，， 所以，所以，…………………………………7分 又， 在中，由余弦定理得， 则，满足，所以．……………………9分 因为，，所以，………………………………11分 因为，，平面， 所以平面．………………………………………………………………13分 因为F，G分别是，的中点， 所以，所以平面，………………………………………………14分 又平面，所以平面平面．……………………………………15分 解法二：因为，所以以为坐标原点，以，所在直线分别为x，y轴， 过点作轴垂直平面，建立如图所示的空间直角坐标系，……………………6分 则，，，，， 因为，，，所以，………………7分 设，，所以由可得， 解得，所以，所以，………………………9分 设平面的法向量为， ，， 则得， 令，则，，所以．………………………………11分 因为，，所以，， 所以，，……………………………………12分 设平面的法向量为， 则得， 令，则，，所以．…………………………14分 因为， 所以平面平面．……………………………………………………15分 17．（15分） （1）点关于坐标原点的对称点为，……………………1分 设，则，且，………………………………3分 ∵，且，………………………………………5分 ∴整理得. ∴的方程为．………………………………………………6分 （2）∵点关于坐标原点的对称点为，，……7分 ∴的垂直平分线过原点且斜率为， 故的垂直平分线的方程为.……………………………………………8分 ∴以为底边的等腰三角形的顶点在直线上， 联立，解得．………………………………………………10分 故， 又.……………………………………………12分 ∴.………………………………15分 18．（17分） （1）在直三棱柱中，，，，……2分 则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，…………………………………………………………………………………………4分 则，，，，，， ，……………………………………………………5分 ， 即，故.…………………………………………………………7分 （2）设，则，………………………………8分 则，………………………………………………9分 设平面的法向量为， 则， 取，则，故，…………………………………10分 又在直三棱柱中，，则平面， 所以平面的法向量为，……………………………………11分 设二面角的平面角为锐角， 有…………………………………………12分 则二面角的余弦值为： …………………………………13分 令，因为，则，故，…………………………14分 即，则，即，………………………………………………15分 故，所以，……………………………………………………………16分 故.……………………………………………………………………17分 19．（17分） （1）因为，所以，………………………1分 表示点到原点的距离，表示点到直线的距离． 若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为；…………3分 若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为．…………5分 （2）（i）因为曲线的离心率为，所以，即，……………………6分 即曲线的方程为，………………………………………………7分 曲线向右平移个单位长度得到曲线， 故曲线的方程为，化简可得．…9分 （ii）设，，． 因为，所以，………………………10分 解得，，则， 若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时在轴上， 所以不可能在双曲线上，舍去． 设直线的方程为，由得，……12分 则且，即， 又，，……………………………………………………13分 所以，故， 代入双曲线的方程得，…………………………14分 化简得，又，所以， 点到直线的距离，……15分 ．…………………………………………………………………………16分 故的面积．………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省潍坊市2025-2026学年高二年级数学上学期期末模拟卷2 考试时间：120分钟；满分：150分 考试范围：高中数学人教B版必修第四册第十一章立体几何初步11.2平面的基本事实与推论、11.3空间中的平行关系、11.4空间中的垂直关系；选择性必修第一册全部内容；选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理。 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可. 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 2．设，则“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出平行时参数a的值，再由充分不必要条件定义即可得解. 【详解】由题直线的斜率为，在y轴上截距为2， 若直线与直线平行， 则或， 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A 3．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理计算即可. 【详解】. 故选：B. 4．如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 5．抛物线 ：（）的焦点为，点在上， 且， 点到轴的距离为3，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线（）的焦点为，准线方程为. 因为点到轴的距离为3，所以点到准线的距离为. 由抛物线的定义可知，，解得， 所以，抛物线的方程为. 故选：C. 6．某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2名指导老师和4名组员排成一排照相留念，若2位老师相邻，则不同的排法共有（   ） A．120种 B．360种 C．240种 D．720种 【答案】C 【分析】由捆绑法结合排列数计算即可求解. 【详解】先将2位老师看作一个整体和4名学生全排有， 2位老师自身有， 所以2位老师相邻，不同的排法共有， 故选：C 7．已知点，，过的直线与线段没有交点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算过点与线段的两端点，的直线的斜率，再根据直线与线段无交点的条件，结合图象确定斜率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 设直线的斜率为， 由图可知过点的直线与线段没有交点时，直线的斜率满足， ∴. 故选：D. 8．在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法运算可得，，再利用数量积的运算律计算，并由的取值范围，结合余弦函数的图象性质得到最终结果. 【详解】由题意得,, 所以 . 由,得, 所以. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．从0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论正确的是（   ） A．三位数共有18个 B．百位数字为1的三位数共有6个 C．十位数字为1的三位数共有6个 D．个位数字为0的三位数共有6个 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件逐一分析判断即可. 【详解】选项A，从百位排起，百位有3种选择（1、2、3，因为不能为0），十位有3种选择，个位有2种选择.总数为个，故A正确； 选项B，百位固定为1，十位从0、2、3中选（3种选择），个位从剩下2个数字中选（2种选择），共有个，故B正确； 选项C，十位固定为1，百位不能为0，且不能为1，所以百位有2种选择（2、3），个位从剩下2个数字（包括0）中选（2种选择），共个，故C 错误； 选项D，因为个位数字为0，则百位和十位可以在中任取两个排列，共个.故D正确. 故选：ABD. 10．已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且不在轴上，则下列说法正确的有（   ） A．椭圆的短轴长为3 B．的周长为 C．的面积的最大值为 D．的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据标准方程得出可判断A，应用椭圆的定义得出周长判断B，应用几何特征得出面积判断C，因为点在椭圆上且不在轴上，则可判断D. 【详解】椭圆为：短轴长，故A错误； 的周长为，故B正确； 的面积为，所以最大值为，故C正确； 因为点在椭圆上且不在轴上，则，取值范围是，故D错误． 故选：BC 11．如图，圆台的上下底面半径分别为1和2，P，Q分别为上下底面圆周上的点，为圆台的轴截面且，则（   ） A．为母线 B． C． D．平面与平面的夹角等于30° 【答案】BCD 【分析】根据圆台的基本概念，线面垂直的判定定理，二面角的平面角的概念，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由母线的概念可知，不是母线，所以A错误； 如图所示，作上底面圆心，下底面圆心，线段中点， 连接， 可知，因为，所以， 因为为中点，为中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面， 所以， 因为为中点，所以，所以B正确； 因为平面，所以，因为， 又因为面，面，， 所以平面，所以，所以C正确； 因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以面， 所以平行于平面与平面的交线， 因为平面，， 所以是平面与平面的夹角的平面角， 可知，所以D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】先写出二项展开式的通项，根据通项公式，即可写出展开式中含的项，进而可得结果. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为， 因此的展开式中含项的系数为. 故答案为： 13．已知是抛物线的焦点，是准线，过作圆的切线，与抛物线交于点、两点（在的上方），过作的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】切线方程为：,利用点到直线的距离公式可得切线方程为，与抛物线联立方程可得点,从而得到点坐标，求得的面积. 【详解】由题可得抛物线的焦点，准线方程为：， 过作圆的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：, 由于圆的圆心为,半径, 则，解得：, 根据对称性，不妨取切线斜率为，则切线方程为， 联立，得：, 解得：或, 因为在的上方，所以点, 由于过作的垂线，垂足为，则， 所以,点到直线的距离, 则, 故答案为： 14．已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 ，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则 .（第一个空2分，第二个空3分） 【答案】 【分析】由题当平面平面时，这时三棱锥的体积最大，作出图形，依次确定外接圆的圆心，四边形的外接圆的圆心，再确定四棱锥的外接球的球心，求解外接球的半径，即可求出外接球的表面积；由，,就是相交所成的二面角的平面角，运算得解. 【详解】因为的面积为定值，所以当平面平面时，点到平面的距离最大， 这时三棱锥的体积最大. 设的中点为的中心为的中点为，则平面， ∵四棱锥外接球的球心为，则平面， 又，所以是四边形外接圆的圆心，故平面， 则， 此球的半径， 所以外接球的表面积； 这时， 在中， 又，, 则， 故. 故答案为：，. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先利用点关于直线对称求得点的坐标，再利用待定系数法求得圆的一般方程，从而配方得解； （2）利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率存在与否，利用点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设点， 因为点与点关于直线对称， 所以，解得，故，………………………………2分 设的外接圆的一般方程为，……3分 则，解得， 则圆的一般方程为，…………………………………5分 所以圆的标准方程为.……………………………………6分 （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离为，…………………………8分 当直线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意；……………………9分 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，………………………………………………11分 此时的方程为，即…………………………………12分 综上，所求直线的方程为或.………………………………13分 16．（15分）如图，在三棱锥中，，，，，，E，F，G分别是，，的中点，点M，N分别在线段，上，，． (1)求证：E，G，N，M四点共面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本事实4和基本事实1的推论证明即可； （2）解法一：利用余弦定理和勾股定理得，然后线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后利用法向量垂直证明即可． 【详解】（1）因为E，G分别是，的中点，所以，……………2分 因为，，所以，……………………………4分 所以，所以E，G，N，M四点共面．………………………………5分 （2）解法一：因为，，， 所以，所以，…………………………………7分 又， 在中，由余弦定理得， 则，满足，所以．……………………9分 因为，，所以，………………………………11分 因为，，平面， 所以平面．………………………………………………………………13分 因为F，G分别是，的中点， 所以，所以平面，………………………………………………14分 又平面，所以平面平面．……………………………………15分 解法二：因为，所以以为坐标原点，以，所在直线分别为x，y轴， 过点作轴垂直平面，建立如图所示的空间直角坐标系，……………………6分 则，，，，， 因为，，，所以，………………7分 设，，所以由可得， 解得，所以，所以，………………………9分 设平面的法向量为， ，， 则得， 令，则，，所以．………………………………11分 因为，，所以，， 所以，，……………………………………12分 设平面的法向量为， 则得， 令，则，，所以．…………………………14分 因为， 所以平面平面．……………………………………………………15分 17．（15分） 已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． (1)求C的方程； (2)若为以为底边的等腰三角形，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由化简整理可得的方程； （2）由题意可知，以为底边的等腰三角形的顶点在直线上，联立直线与的方程，可求得，从而得，求出，进而由三角形面积公式求出答案． 【详解】（1）点关于坐标原点的对称点为，……………………1分 设，则，且，………………………………3分 ∵，且，………………………………………5分 ∴整理得. ∴的方程为．………………………………………………6分 （2）∵点关于坐标原点的对称点为，，……7分 ∴的垂直平分线过原点且斜率为， 故的垂直平分线的方程为.……………………………………………8分 ∴以为底边的等腰三角形的顶点在直线上， 联立，解得．………………………………………………10分 故， 又.……………………………………………12分 ∴.………………………………15分 18．（17分） 如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合）. (1)求证： (2)若平面与平面所成角的正弦值不小于，求线段的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，利用两向量数量积等于零证明两直线垂直； (2)设，通过求得平面和平面的法向量，结合二面角的向量求法，即可得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围； 【详解】（1）在直三棱柱中，，，，……2分 则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，…………………………………………………………………………………………4分 则，，，，，， ，……………………………………………………5分 ， 即，故.…………………………………………………………7分 （2）设，则，………………………………8分 则，………………………………………………9分 设平面的法向量为， 则， 取，则，故，…………………………………10分 又在直三棱柱中，，则平面， 所以平面的法向量为，……………………………………11分 设二面角的平面角为锐角， 有…………………………………………12分 则二面角的余弦值为： …………………………………13分 令，因为，则，故，…………………………14分 即，则，即，………………………………………………15分 故，所以，……………………………………………………………16分 故.……………………………………………………………………17分 19．（17分） 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线．已知曲线：． (1)分别求出曲线表示椭圆、双曲线时的取值范围． (2)已知曲线的离心率为，曲线向右平移.个单位长度得到曲线． （i）求曲线的方程； （ii）已知为坐标原点，，，是曲线上3个不同的点，，求的面积． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）把已知等式进行变形，根据题中定义分类讨论进行求解即可； （2）（i）根据题中定义，结合平移的性质进行求解即可； （ii）根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，………………………1分 表示点到原点的距离，表示点到直线的距离． 若曲线表示椭圆，则，解得，即的取值范围为；…………3分 若曲线表示双曲线，则，解得，即的取值范围为．…………5分 （2）（i）因为曲线的离心率为，所以，即，……………………6分 即曲线的方程为，………………………………………………7分 曲线向右平移个单位长度得到曲线， 故曲线的方程为，化简可得．…9分 （ii）设，，． 因为，所以，………………………10分 解得，，则， 若直线的斜率为0，则由双曲线的对称性可知，此时在轴上， 所以不可能在双曲线上，舍去． 设直线的方程为，由得，……12分 则且，即， 又，，……………………………………………………13分 所以，故， 代入双曲线的方程得，…………………………14分 化简得，又，所以， 点到直线的距离，……15分 ．…………………………………………………………………………16分 故的面积．………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $