精品解析：广东珠海市华中师范大学（珠海）附属中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

珠海华附2025—2026学年度第二学期期末考 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2. 的展开式的第6项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项即可求解. 【详解】由题得， 令，所以， 所以的展开式的第6项的系数是. 故选：C. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】已知随机变量服从正态分布，且，由于正态分布关于均值对称，所以对称轴为，， 所以. 故选：D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 25 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【详解】法1：设 的公差为 ，由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，所以 . 所以 ，所以. 法2：设 的公差为 ，由题意，得 ， 即 ， 解得 ， . 所以 . 5. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【详解】4项工作分成3组,可得：=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：种． 故选D. 6. 抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（ ） 2 4 5 6 8 20 45 60 75 80 A. 100 B. 106 C. 110 D. 116 【答案】B 【解析】 【分析】线性回归直线方程过样本中心点，求出，即可得回归直线方程，当时，求出即可. 【详解】由题可知，，， 代入回归直线方程，则， 当时，. 7. 有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（ ） A. 26种 B. 32种 C. 38种 D. 44种 【答案】C 【解析】 【分析】分3种情况进行求解，结合排列组合知识得到答案. 【详解】三个盒子放球的个数如下： 1号盒子：，2号盒子：，3号盒子：， 4个不同的小球全部放入盒子，不同的组合放法如下； ，即1个盒子放入1个球，另一个盒子放入3个球， 显然3个球只能放入3号盒子，有种情况， ，即2个盒子分别放入2个球， 显然只能放入2号和3号盒子，有种情况， ，即放入3个盒子中，其中1个盒子放入2个球， 另外2个盒子分别放入1个球，放入2个球的盒子从2号和3号盒子中选， 剩余2个球和2个盒子进行全排列，有种情况， 综上，共有种情况. 故选：C 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解. 【详解】由，得，所以在R上单调递增, 由，得，且，所以在上单调递增 因此，对任意，和都是唯一的， 由题意：， ，即，则， 故， 故，根据的是唯一的， 得，即， 故， 令， ，则， 由得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值：， 因此，即：. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】，， 令，解得：或， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 的极小值为：， 的极大值为：， 有三个零点，有两个极值点，A、B正确； 对于C，若点是曲线的对称中心，则有， 将函数代入上式验证得： ，C正确； 对于D，，解得：， 当时，，当时，， 切线方程为：或，D错误. 故选：ABC. 11. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为 B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的性质，结合赋值法逐一判断即可． 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，……，是的系数， 即当时，数列的第项是展开式中的系数． 对于A，令，则，故A错误； 对于B，数列的前项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 对于C，数列的前项和等于，令，则， 而，则数列的前项和为2187，故C正确； 对于D，数列的前项和等于，令， 则，因为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的所有极值点之和为______． 【答案】 【解析】 【详解】，令，解得，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 所以在取得极大值，在取得极小值，所以函数所有极值点之和为. 13. 某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，首先设出基本事件，根据题意利用古典概型求出对应的概率，1班未抽到“黄金赛道”，即1班在除第③道和第④道外的其余6道，3班抽到“黄金赛道”，即需要讨论它前面抽签的2班的赛道，最后由条件概率公式求解. 【详解】记事件A=“1班未抽到‘黄金赛道’”，事件B=“3班抽到‘黄金赛道’”， 3班抽到“黄金赛道”，则需要讨论它前面抽签的2班的赛道，2班未抽到“黄金赛道”和2班抽到“黄金赛道”的情况， 由题意知,， 所以. 故答案为：. 14. 若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数几何意义，设切点坐标为，则得切线方程， 过点，则，构造函数， 确定函数的单调性及取值情况，即可得的取值范围. 【详解】解：函数的定义域为，则，设切点坐标为， 则切线斜率为，故切线方程为：， 又切线过点，则， 设，则得，或， 则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以， 又时，，时，， 所以有且只有一个根，且，则，故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等比数列的通项公式求基本量，进而写出等比数列的通项公式； （2）应用分组求和及等差等比的前n项和公式求和. 【小问1详解】 由，得，， 因为是等比数列， 设的公比为，所以，得， 则，则； 【小问2详解】 记的前项和为，则 . 16. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. （1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； （2）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； （3）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3）随机变量的分布列如下表所示： Y 30 55 80 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解； （2）通过条件概率公式即可求解； （3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【小问1详解】 小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. 【小问2详解】 设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. 【小问3详解】 由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若是函数的极值点，证明：． 【答案】（1） （2） ，， ， 因为是函数的极值点，所以且，即， 因为，所以，所以，解得， ，将代入得：， 令，， ， 令，，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以，所以在上单调递减，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，然后求出切线在坐标轴上的截距即可求解； （2）根据是函数的极值点可得，然后结合定义域得出的范围并化简，构造函数，，然后利用导数得出的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 令，解得，令，解得， 所以三角形的面积是：. 【小问2详解】 略 18. 记为数列的前项和，已知. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中递推公式令运算求解即可； （2）根据与之间的关系整理可得当时，，结合常数列分析求解即可； （3）设，可得，利用分组求和法结合错位相减法运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得. 【小问2详解】 由可得， 两式相减得，即. 当时，， 即， 由递推关系得，则。 且满足上式，故数列的通项公式为. 【小问3详解】 由（2）得， 设，则， 可得， ， 两式相减得 ， 故. 19. 已知函数，其中. （1）若，求的单调区间； （2）若， （i）证明：在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：. 【答案】（1）的单调递减区间为 ，无单调递增区间； （2） （i）由（1）知，当时，令 ， 当 时，， 故 在上单调递减， 因为，所以， 又因为，所以在区间内存在零点， 即结合在 上单调递减， 可得在区间内有且仅有1个零点，且； 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又因为，所以根据单调性可知：， 又因为当，，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减， 可知：在区间内有且仅有1个零点， 又因为时，结合在单调递增，所以， 即在区间函数没有零点， 所以在区间内有且仅有1个零点， （ii）由题意可知：，即， 消可得：， 当时，构造函数， 求导得，则在时单调递增， 即，所以， 即可知， 则， 两边取对数得：，即. 【解析】 【分析】（1）利用求导分析正负，即可得到单调区间，注意定义域的限制； （2）（i）利用二阶导数来判断一阶导数的单调性，再结合零点存在性定理，即可得到证明； （ii）利用极值点和零点的恒等式，消去参数，再结合切线不等式，化简后问题即可得证. 【小问1详解】 求导得：， 因为，对任意 ，都有， 所以的单调递减区间为 ，无单调递增区间； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海华附2025—2026学年度第二学期期末考 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式的第6项的系数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.7 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 25 C. 30 D. 33 5. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　 A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 6. 抽样得一组数据如下表，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，的估计值为（ ） 2 4 5 6 8 20 45 60 75 80 A. 100 B. 106 C. 110 D. 116 7. 有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（ ） A. 26种 B. 32种 C. 38种 D. 44种 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为 B. 数列的前项和为 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的所有极值点之和为______． 13. 某校高三年级举行米接力赛，共有8条赛道，第③道和第④道是“黄金赛道”.赛制规定：由1到8班按班级序号从小到大依次抽签决定赛道，抽出的签不再放回.在1班未抽到“黄金赛道”的条件下，3班抽到“黄金赛道”的概率是______. 14. 若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等比数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. （1）求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； （2）若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； （3）对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若是函数的极值点，证明：． 18. 记为数列的前项和，已知. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和. 19. 已知函数，其中. （1）若，求的单调区间； （2）若， （i）证明：在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $