广东深圳市高级中学2026届高三上学期第一次诊断考试数学试题

**基本信息** 高三数学诊断卷，以函数、几何、导数等核心知识为载体，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、向量、复数、函数性质|8题函数零点问题考查数形结合| |填空题|3题/15分|函数奇偶性、单调性、解三角形|14题结合外心求最值，体现几何直观| |解答题|5题/77分|三角函数、导数应用、三次函数|19题导数证明与不等式综合，考查逻辑推理；18题向量与解三角形融合，注重数学语言表达|

深圳市高级中学2026届高三第一次诊断考试 数学 (本试卷共3页,19小题,满分150分。考试用时120分钟。) 2025.10 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={xlnx<,集合B={l,01,2,3},则AnB= A.{-1,0,12} B.{0,12} c.1,2} D.1,2,3 2.已知向量a,万,则“=b2”是“a=万”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知复数z满足i z+2=2i,则z的虚部为 A.2 B.-2 C.2i D.-2i 2+Inx 4.曲线x在点(1,2)处的切线的斜率为 A.-1 B.0 C.1 D.2 5.已知函数f)是定义在R上且周期为4的偶函数,当0≤x≤2时,f()=2-1,则f3)= 1 A.-1 B.2 C.0 D.1 6.在平行四边形ABCD中,己知AB=2,AD=1,∠DAB=60 ,P是BC上一点(包含端点),则 AP BC的取值范围是 c.1,2] B. 7.若a为锐角,sina=2sin3a,则3cos2a+2cos2a的值为 3v6 6 6 A.0 B.16 C.8 D.16 e*-1,x≥0 f(x)= 8.已知函数 g,=x-1,若关于x的方程f()=8四)有2个不相等的实数解,则 实数k的取值范围是 A.{e} B.[e,+o) C. D.(Ue 试卷第1页(共4页) 试卷第2页(共4页) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=sinx+cosx,则下列说法正确的是 A.()的最大值是V2 B在0立上单调通 C.()关于4对称 D.()在[0,列上有一个零点 10.设正实数m,n满足m+n=1,则下列说法正确的是 √2 A.2m<2 B.√m+Vn的最小值为2 1 C.mn的最大值为4 D.m2+n的最小值为2 1山.己知函数f()=c-x-1,下列说法正确的是 A.f(x)的图象存在对称中心 B.当02时,f)>0 C.f(x)有且仅有2个零点 兰.展. 5<a< 2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知函数f()=r(a2-2)是偶函数,则a= 13.已知函数f(:c-lhx+a在区间L,2)上单调递增,则4的最小值为 14.在 4BC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,C,O为 MBC的外心,A0=入AB+ AC,已知 c-3b+3acosC=0,cos A= ,入+ 的最大值为 试卷第3页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2C=V2sinC. (1)求C: Os4=10 (2)若 10,c=5,求 ABC的面积. 16.(15分) 已知数间=4cm+-5分),)5 (1)求”: (2)求f()的最小正周期和最大值: (3)讨论f()在区间44上的单调性. 17.(15分) 已知三次函数 o-子x+加+8,的=fo, 2 (1)若f)在x=1处取得极小值6,求a,b: (2)若b=-1,y=8( )的图象与x轴有两个不同的交点,求a的取值范围. 试卷第4页(共4页) 试卷第5页(共4页) 1在 BC中,角私BC前对边分别为a,6肉量后6.i司6,2s4-孕)且 m上n ,点D为MB上一点. (1)求角C的大小: (2)若CD是∠ACB的角平分线,c=9, ABC的周长为19,求CD的长度; (3)若D是AB上靠近点A的一个三等分点, CD=t4D,求实数1的取值范围. 19.已知a,beR,函数f()=e3-asinx-acosx,g)=bNP+1 D证明:当a=0时,对于在意r>0,)r++1 恒成立: (2)己知x>0时,曲线y=f()和y=8()有公共点, ()若a=0,求b的取值范围: a2+231 ()证明: 2 试卷第6页(共4页) 深圳市高级中学2026届高三第一次诊断考试 数学试卷参考答案 y 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 C B A D A C ACD ACD BC 1 e+1 34 15.解:(1)依题意,2 sin CcosC=√2sinC, c∈(0,m),.sinC>0, .cosC=v2 2,4 2):.c0s4s0 sin 4-cos10 a10, 10 sin B=sin[-(4+C)]-sin(4+c)=sin Aeosc+cos 4sin c05 1021025 a a=csim4-5x30 V2=3W5 由正弦定理sinA sinC,得"sinC 10 4c的酒积为acm8分*35 5x25 1 15 。+0=2元,k∈Z9三一3十2 ,k∈乙 2, 3 2)由(1)知, f()-4sinx.-cos3 答案第1页(共2页) f(x)=4sinx. >⊙s十2、 sinx-3=2sinxcosx+2/3sin'x-3 sin2x+(c02x)sin2x-5cos2x-2sim :f(的最小正周期为 ,最大值为2 3)当44时, x骨g周 xe-I- 由25的427隆救g全卫 南2女-】尚合周9区为品司 6 a=1 17.解:(1)f)-=2r+bx+1,依题意f'0=2a+b+1=0,解得b=-3 此时f'=2x-3x+1=(2x-1)(x-1) 1 当2或>1时.f>0,当2时,f(<0 < 所以/)2单调递减,在山+*切单调递增 所以f(田)在x=1处取得极小值,符合题意 (2)若b=-1,g(x)=2axr2-x+1 答案第2页(共2页) 依题意,方程8(e)=2ae2“-e+1=0有两个根, 令t=e,则方程2at-t+1=0有两个正根 2a>0 L70 2a 1 1)) =1-8a>0,解得 <a< 0, 8,即a得取值范围为 ”8 则 18.解:(1) m=6小n-5,24-)且1d 六m:0=0:即v6+2cm(4-孕=0 所以在 4BC中,由正弦定理有V3sinB+2 sin Csin((A-)=0. 3 ..3sin B+sin Csin A-3sin Ccos A=0 又因为在 ABC中,sinB=sin(C+A)=sin CcosA+cosCsinA 5 coCsin A+sin Csin A=-0,又sinA≠0 ..3cosC+sinC=0 ..tanC=-3 又C∈(0,),C=2红 3; (2)c2=a2+b2+ab=81而a+b+c=19 ∴.(a+b)-ab=81,a+b=10∴.ab=19 :CD为角C的角平分线 5uo+5ww=5a +c团sin弩c网cEsn2 即b=a+bcD,可-8: 答案第3页(共2页) B D (3)设∠4CD=g:则∠8cD-0, 设而=x,则而=cBD=2x CDAD 在AACD中sinA sin∠ACD即sinA=tsin0 2x tx 在 、中sm3o1 sinB BCD 2 2 (后+0wg.-m&+而40 ininnco20 由和*化积公t可m2a}5w9=o0引m号9o0: t2= 则 6 m20}}-re-25 ,.te[V5-l,2): 解铁:D-a+gn=4C++4Cc6, 答案第4页(共2页) 而-网-号fc=46+a-2ab, ..t'sin2C=sin2A+4sin2B-2sinAsinB ..t2=4-2v3sin2A 40}24e0.}m24e0,n .4-2W3≤2<4,.V5-1≤t<2 B D A 19.解:(1)令 到=e-r-1 ,x>0 h'(x)=e*-x-1 h"(x)=e*-1 当x>0时,h'()>0,所以'()在(0+o)单调递增 又h(O)=0,所以x>0时,h(x)>0,h()在(0,+∞)单调递增 又0-0,所以0时.小>0,-x-1>0 所以对于任意>0,f2>2+x+1 恒成立 (20a=0时,e2=bNr2+i e b= 因为Vx2+1≠0,所以Vr+1,令” x2+1,x>0 因为曲线y=f(:)和y=8(x)有公共点,所以直线y=b与函数m(的图象有交点 答案第5页(共2页) m'(x)= r+1=(c-1ye2 x2+1 2Wx2+1(x2+1) 因为x>0时,m'(x≥0,所以m()在(0,+0)单调递增,m(O)=1, 当x+0时,m() +0, 所以be(1,+∞) ()方法1:柯西不等式 因为x>0时,曲线y=f()和y=8()有公共点 所以存在>0,使得e-asin%-ac0s5=6NC, 即a(sin+cosx)+bW号+1=e 由柯西不等式可知: a(sinx +cos)++1s(ai+bi)[(sinx +cos)++(+b)+sin2x+2) 当且仅当V需+1=b(sin6+cos)时,等号成立 又[(6m+cos)+6G+可=心,所以e≤g+6(3+sm2%+2习 a2+b2 当>0时,号+sin2x+2>0-1+2>0,所以 x后+sin2x,+2 设n()=x-sinr,x>0,则n()=l-cosx 因为cosx≤1,所以"(x)≥0恒成立,n()在(0,+∞)单调递增 又n(0)=0,所以x>0时,x>sinx恒成立 a2+b2> 因为2x>0,所以sin2x<2,所以 6+2+22+%1 答案第6页(共2页) e >1 ,即26+6+1 P++1】 1 e> ya2+b21 由(1)可知: ,所 2 方法2:数形结合 因为x>0时,曲线y=∫()和y=8()有公共点 所以存在>0,使得e2-asim%-ac0s=bN2+. 即a(sinx+cos)+bW号+1-e2=0 则点M(a,)为直线:x(sn(+cos)+居+1-e六=0上的动点 又Va2+B表示原点O(0,0)与点M(a,b)之间的距离 所以Va2+b大于等于原点O(0,0)到直线1的距离 Va2+b2≥ 即 (sinx+eos广+听+1,所以 2+b2≥ Xo+sin 2xo+2 设n()=r-sinx,x>0,则n()=1-cosx 因为cosx≤1,所以m(x)≥0恒成立,n()在(0,+o)单调递增 又n(O)=0,所以x>0时,x>sinx恒成立 a2+b2> 因为2x>0,所以sin2x<2,所以 气+2+222++0 e ->1 ,即2+6+1 e>2号++1 1 由(1)可知: ,所 ya+62> 2 方法3:代入消元 因为x>0时,曲线y=()和y=8()有公共点 所以存在>0,使得e2”-asin%-acos与=bNG+1. 答案第7页(共2页) easinx -acosxo 因为写+10,所以 Vx后+1 [e-a(sino+cosx) a2+b2> 1 要证: 2,即证: x6+1 2 即证:关于a的不等式 sin+)a-2(sin+cose 1 -2-2>0成 成立 即证:根的判别式 <0 a=40+sm2)e-46+m2+2训e-》 (-++-1g+号m2 -5,gm =4+e+分*1+分n2x)》 因为4(+小>0,所以即证: 恒成立 即证: 1+n2% 对于>0恒成立 1 由(1)可知: >25+名+1 ,又 in2x,<22x=6 1 1 >+x。+1>x名+s之6+1 e> 所以 所以 答案第8页(共2页)