精品解析：广东深圳市东北师范大学附属中学深圳学校2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

2025-2026学年上学期 数学科试卷 高（三）年级月考 考试时间：120分钟 满分：150分 注意：将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中阴影部分表示求解即可. 【详解】由题知：图中阴影部分表示， ，则. 故选：A 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词的否定式全称量词书写即可. 【详解】根据存在量词的否定式全称量词， 所以“”的否定式“”， 故选：D 3. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法，根据解析式的特征，选择特殊值代入即可判断选项. 【详解】函数， 当时, ，所以排除C、D选项； 当时, ，所以排除A选项； 故选：B. 4. 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时 参加，则不同的邀请方法有 A. 84种 B. 98种 C. 112种 D. 140种 【答案】D 【解析】 【详解】∵10位教师中的6人参加一个研讨会， 其中甲、乙两位教师不能同时参加，需要分类来解， ∴当甲和乙有一个参加，则只要从8人中选5个，共有2C85=112种结果， 当甲和乙都不参加，要从8人中选6人，共有C86=28种结果， 根据分类计数原理知共有112+28=140， 故答案为140 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】将化为，即可将变形为，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】， ， （当且仅当时等号成立）， 故选：C 6. 已知奇函数的定义域为，且以6为周期，若，则函数在区间内零点个数的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数在处有定义得，由已知有，根据函数的奇偶性和周期性可得答案. 【详解】因为为上的奇函数，所以， 因为以为周期，所以，，， 因为为奇函数，所以，， 所以，， 所以函数在区间内零点个数的最小值为. 故选：C 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案. 【详解】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以. ， 当时，，此时，有 当时，，此时，有，所以C、D错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题. 8. 已知，，，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值，利用对数函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为对数函数在上为增函数，对数函数在上为减函数， ，，， 故. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7 B. 若随机变量X服从二项分布，且，则 C. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由极差、众数的定义判断A，根据二项分布的均值公式列方程求参数，再由方差公式求方差判断B，由残差散点图分布的水平带状区域的实际意义判断C，利用正态分布的对称性求概率判断D. 【详解】A，数据1，2，2，3，4，5的极差为4，众数为2，所以极差与众数之和为6，错误； B，若随机变量X服从二项分布且，则，得， 所以，正确； C， 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，正确； D，若随机变量X服从正态分布且，则，正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. 有且仅有1个零点 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据解析式以及函数奇偶性定义可判断A正确，对函数求导并由对勾函数性质以及三角函数值域可判断B正确，结合函数单调性可知C正确，由指数函数性质可得D错误. 【详解】对于A，易知的定义域为，定义域关于原点对称， 可知，即为奇函数，可得A正确； 对于B，当时， 可得恒成立， 因此在单调递增，即B正确； 对于C，由B可知在上单调递增，且， 因此有且仅有1个零点，即C正确； 对于D，当时，可得趋近于，因此D错误. 故选：ABC 11. 已知函数，A是函数图象上一点（除对称中心外），在A点处的切线交图象于另一点B，在B点的切线为，两切线的斜率分别为，下列说法错误的是（ ） A. 函数有极值点 B. 函数有1个零点 C. 函数的所有极值的和为0 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数求导判断函数的极值点，进而判断函数零点，结合函数导数的几何意义计算斜率； 【详解】对于ABC，，则，单调递减， 无极值点，故选项A、C错误； 由，得，解得， 所以函数只有个零点，故选项B正确； 对于D，设，，， ， 切线的方程，联立方程， 即，代入可得 ， 化简得 因为时，两边同时除以： 移项可得， 化简得，因式分解可得， 因为，解得，所以点为， 所以， ，所以选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得展开式通项为，进而确定含项的r值，即可求其系数. 【详解】由题设，展开式通项为， 所以，令有，则的系数为. 故答案为： 13. 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 14. 定义，设且关于的方程恰好有三个不等实根、、，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数的解析式，数形结合可得出的取值范围，不妨设，由二次函数的对称性求出的值，由可求出的范围，于是可求出的取值范围. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 当时，可得，整理可得，解得， 即当时，； 当时，可得，整理可得，解得（舍）或， 即当时，， 即， 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，不妨设， 因为二次函数的对称轴为轴，则点与点关于轴对称， 所以， 由可得，故， 故的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 第16届亚运会于2010年11月12日至27日在中国广州进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动． （1）根据以上数据完成以下2×2列联表： 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 10 16 女 6 14 总计 30 （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？ 注：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.84 5.024 【答案】（1）填表见解析 （2）不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关 【解析】 【分析】（1）根据已知数据完善列联表； （2）计算后比较临界值可得． 【小问1详解】 根据以上数据完成以下2×2列联表： 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 10 6 16 女 6 8 14 总计 16 14 30 【小问2详解】假设性别与喜爱运动无关． 因为： ≈1.158 故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关． 16. 已知等差数列的前项和为，有，. （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式； （2）由（1）得知，然后利用裂项法求出数列的前项和，即可证明出. 【详解】（1）设数列的公差为，有，解得，有，因此，数列的通项公式为； （2）由（1）知， 有， 由，有，故有，由上知. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，在求解等差数列的通项公式时，一般要建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题. 17. 某家超市连续5天的广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 第天 1 2 3 4 5 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 20 30 60 60 80 （1）从这5天中随机抽取3天，记销售额不少于60万元的天数为，求的分布列及均值； （2）已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】（1）的分布列为： 1 2 3 ；期望为 （2），102.5万元 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望， （2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可. 【小问1详解】 销售额不少于60万元的有3天，的所有可能取值为，，， ，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以； 【小问2详解】 ，， ， ， ，， 所以经验回归方程为， 当时，， 答：所求方程为，预测销售额为102.5万元. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求a、b的值； （2）证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 【答案】（1） （2） 由（1）得， 任取实数、，且 则 ，可得，且 ，即，函数在上为减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义，利用且，列出关于、的方程组并解之得； （2）根据函数单调性的定义，任取实数、，通过作差因式分解可证出：当时，，即得函数在上为减函数； （3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为：对任意的都成立，结合二次函数的图象与性质，可得的取值范围． 【小问1详解】 由已知 ，所以，解得 ，此时定义域是为奇函数. 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式化为， 是奇函数，则有， 是减函数，所以 所以恒成立，易知的最小值是 所以 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递减区间为和，单调递增区间为； （3）． 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【小问1详解】 因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． 【小问3详解】 在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期 数学科试卷 高（三）年级月考 考试时间：120分钟 满分：150分 注意：将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时 参加，则不同的邀请方法有 A. 84种 B. 98种 C. 112种 D. 140种 5. 已知，，，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 5 6. 已知奇函数的定义域为，且以6为周期，若，则函数在区间内零点个数的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7 B. 若随机变量X服从二项分布，且，则 C. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 若随机变量X服从正态分布，且，则 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. 有且仅有1个零点 D. 的最小值为 11. 已知函数，A是函数图象上一点（除对称中心外），在A点处的切线交图象于另一点B，在B点的切线为，两切线的斜率分别为，下列说法错误的是（ ） A. 函数有极值点 B. 函数有1个零点 C. 函数的所有极值的和为0 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为____________.（用数字作答） 13. 设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 14. 定义，设且关于的方程恰好有三个不等实根、、，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 第16届亚运会于2010年11月12日至27日在中国广州进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动． （1）根据以上数据完成以下2×2列联表： 喜爱运动 不喜爱运动 总计 男 10 16 女 6 14 总计 30 （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？ 注：，． 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.84 5.024 16. 已知等差数列的前项和为，有，. （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，证明：. 17. 某家超市连续5天的广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下： 第天 1 2 3 4 5 广告支出 2 4 5 6 8 销售额 20 30 60 60 80 （1）从这5天中随机抽取3天，记销售额不少于60万元的天数为，求的分布列及均值； （2）已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额． 附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求a、b的值； （2）证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $