第五章二次函数单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，通过选择、填空、解答题（10/6/8题，30/18/72分）覆盖概念、图像性质、实际应用等核心知识，以现实情境和梯度设计培养抽象能力、模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数概念（第1题）、图像变换（第3题）|结合苏州东方之门（第6题）考查图像应用，体现数学眼光| |填空题|6/18|解析式求参（第11题）、函数值范围（第12题）|设置利润最大问题（第16题），培养模型意识| |解答题|8/72|图像性质综合（第19题）、几何动态（第10题）|以自由落体（第7题）、拱桥（第23题）为情境，梯度覆盖基础到创新应用|

第五章二次函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是() ①面积为l10cm的矩形中，矩形的长(cm）与宽(cm的关系， ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积(cm)与圆柱的高(cm的关系； ®某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出告，可卖出(20-刊件.利润y (元)与每件售价x(元)的关系. A.① B.② C.③ D.①③ 2.若y=(2-m)xm2- 是二次函数，且开口向上，则m的值为() A.3 B.-1 C.±3 D.4 3.将函数"r+4 图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是() A.y=(x-3)2+3 B.y=(x-3)2+5 C.y=(x+3)2+3 D y=x2+1 4,抛物线'=r+bx y=ax+b 和直线 在同一坐标系的图象可能是() 试卷第1页，共3页 5.若A-2),BL),C(35)均在抛物线y=-(x-少上，则y,2,为的大小关 系为() A.为>为>y B.为>为>为 C. D y>y2>3 6.图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”，如图2，门的内侧曲线为抛物线， 以门的底部AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为)轴建立平面直 角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为y=一g+200,则下列说法错误的是 () 图1 图2 A.门的最大高度为200m B.门的底部宽度AB为8Om C.离地面150m处的门的水平宽度为50m D.当门的水平宽度为 时，门的高度为180m V10m 7.在物理学中，物体做自由落体运动时，下落的高度h(单位：m)与下落的时间t(单 位：s)的关系可以用公式h=28t表示，其中重力加速度g取10ms2.小明把一个物体 从一标杆顶端做自由落体运动，并测得该物体在最后1s内下落的高度为20m,则这个标杆 高为（) A.100m B.40m C.32.25m D.31.25m 8.已知二次函数=ar+hr+c(a≠0) 的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0,② a-b+c<0:③4a+2b+c>0,④m+bm>a+b(m≠ ,其中正确的是() 试卷第2页，共3页 1X= A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ A(m,n)B(m+1,n 9.已知点 是二次函数'=产+bc+ 图像上的两个点，若当x≤2 时，y 随x的增大而减小，则的取值范围是() A.m>2 3 B.m C.m<2 D.m≤2 10.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6,点E是△ABC边上一动点，沿 A→C→B的路径移动，过点E作EF⊥AB于点F,设AF=m,△AEF的面积为S,则下 列能大致反映S与函数关系的图象是() B p. 试卷第3页，共3页 二、填空题（每题3分，共18分） 11.若y=(a+2)x+3x-1 二次函数，则a的值为. 12.对于二次函数y=-2r+5 当2<xs1 ≤1时，’的取值范围是 13.点1(，），8()在二次函数=t-4r+2的图象上，若<<2,3<五<4 则”与”的大小关系是” 片.（填“>”、“<”或“=”） y=ax2+bx-3(a≠0) 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于A、B两点， 点B的坐标 3.0). 点C2,-3 在抛物线上，则AB的长为一， 15,已知二次函数的图象经过点1(0，-3)，B(2-3),C(-1,0),则此=次数的解折式是 16.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出200 千克，经调查，售价每降0.1元，每天多卖40千克，当定价为一元能获得最大利润. 三、解答题（每题9分，共72分） 已加=次西数+c为宿数)向测安经过10,2 两点 (1)求该二次函数的表达式： (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点C(3,0)，且对称轴为直线x=4，求平移后的二次 函数的表达式. 18.已知二次函数'=3x-4r+4 其中为常数. 试卷第4页，共3页 3 (1)若Q=2,求此函数图象的顶点坐标： (2)当1≤x≤4时，y随x的增大而减小：当8≤x≤12时，'随x的增大而增大，求a的取值 范围。 19.抛物线y=r+hr+ 的图象如图. VA -10 (Q)若抛物线的对称轴为直线x=1,与y轴的交点 0,2）,当<2时，求x的取值范围. (2)在(1)的条件下，若此抛物线图象上有两点 M(x,-2025),N(x2,-2025) 求当术=+： 时，二次函数的值。 (3)若此抛物线图象上有两点 :,m),m）,当=+时，函数值与解析式中的哪个系数 有关？请说明理由 20.已知二次函数'=r+br+ (0,-3)(2,5) 的图象经过 (1)求这个二次函数的解析式： (2)当-2≤x<2时，直接写出y的取值范围.。 21.如图，抛物线)=r+r+C交x轴于点 A(1,0) 交y轴于点B,对称轴是直线x=2 A x=) 试卷第5页，共3页 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使△PAB的周长最小？若存在，求出 点P的坐标：若不存在，请说明理由： 22.用长40米的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形花圃，设垂直于墙的边长为x米， 矩形面积为S平方米， B (I)求S与x的函数关系式及自变量取值范围： (2)求S的最大值及对应x的值. 23.某抛物线型拱桥示意图如图1所示.水面宽AB与桥长CD均为24米，在距离D点6米 的E处，测得桥面到桥拱的距离E℉为1.5米，以桥拱项点O为原点，桥面所在直线为x轴 建立平面直角坐标系.如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG、OH、D1,过相 邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2米. y G D D B B 图1 图2 (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式： (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图2），求出可 以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度， 24,在平面直角坐标系中，二次函数”=(x-m+n 的顶 P(m,”)在另一条抛物线 y=x2-x+2 B⊥y 上运动.该二次函数图像与轴交于点A.过点P作 轴于点B. 试卷第6页，共3页 ! B y=x2-x+2 (I)当m=1时，求点A和点B的坐标，并求△PAB的面积； (2)当m21时，求点A的纵坐标的最小值. 试卷第7页，共3页 第五章二次函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 2．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 3．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 4．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； C． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； D． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； 5．若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 6．图1为苏州地标建筑“东方之门”，俗称“大秋裤”．如图2，门的内侧曲线为抛物线，以门的底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，门内侧曲线所在抛物线的函数表达式为，则下列说法错误的是（     ） A．门的最大高度为 B．门的底部宽度为 C．离地面处的门的水平宽度为 D．当门的水平宽度为时，门的高度为 【答案】C 【分析】以抛物线的解析式为基础，通过代入或解方程，分别验证每个选项里门的高度和水平宽度是否符合计算结果，从而找出错误选项． 【详解】解：选项：当，，即门的最大高度为，正确； 选项：，令可得，解得或，即点的坐标为，点的坐标为，故，正确； 选项：，令可得，解得或，故离地面处的门的水平宽度为，错误； 选项：当门的水平宽度为，此时，当，，即门的高度为，正确． 7．在物理学中，物体做自由落体运动时，下落的高度（单位：）与下落的时间（单位：）的关系可以用公式表示，其中重力加速度取．小明把一个物体从一标杆顶端做自由落体运动，并测得该物体在最后内下落的高度为，则这个标杆高为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用自由落体高度公式，设总下落时间为，根据“最后1秒下落高度总高度秒内下落高度”列方程求解总时间，再代入公式计算标杆总高度． 【详解】解：将代入，得． 设物体下落总时间为， ∵最后内下落高度为，总高度减去前下落高度等于最后下落高度， ∴列方程： 展开化简左边： 解得， 将代入，得： 8．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 9．已知点、是二次函数图像上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，得到该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 首先根据点A、B是该二次函数图像上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：点、是二次函数图像上的两个点， 该二次函数图像的对称轴为直线，且开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧， ， 解得， 故选：B． 10．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若是二次函数，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，最高次项的次数为2且系数不为0，即可解答． 【详解】解：由题意，函数是二次函数，则 的最高次项的次数为2，即， 解得或． 又因为二次项系数，即， ∴． 故答案为：2． 12．对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 13．点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为．若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出抛物线与y轴的交点坐标为，根据对称性求出抛物线的对称轴，进而求出点A坐标，进一步求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵抛物线与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为， ∴点A坐标为：，即， ∴； 故答案为：4． 15．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 16．某西瓜经营户以元千克的价格购进一批西瓜，以元千克售出，每天可售出千克，经调查，售价每降元，每天多卖千克，当定价为_____元能获得最大利润． 【答案】 【分析】此题考查了列二次函数的应用，二次函数的性质，设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克，然后列出二次函数关系式，再通过二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设每千克定价为元，每天利润为元，则每千克西瓜的利润为元，那么每天的西瓜销售量可表示为千克， ∴ ， ∵， ∴当每千克定价为元时，每天利润最大， 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 18．已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 19．抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)函数值 (3)函数值与解析式中的系数c有关，理由见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，x的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点M与点N关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，得到两点关于对称轴直线对称，求得，当时，代入解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，x的取值范围为或； （2）解：∵， ∴点M与点N关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：当时，函数的值； （3）解：函数值与解析式中的系数c有关， 理由：∵两点， ∴这两点关于对称轴直线对称， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 即函数值与解析式中的系数c有关． 20．已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 21．如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线﹒    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在点使的周长最小， 【分析】（1）根据对称轴，可求出的值，再代入点的坐标即可求出的值，即可解答； （2）连接交对称轴于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，利用二次函数图象上的点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，即可求出点P坐标． 【详解】（1）解：由对称轴，可得， 将代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点，此时的周长最小，    根据二次函数的对称轴，利用中点公式可得点的横坐标为， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入，可得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 存在点使的周长最小，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据待定系数法求一次函数，轴对称中最短路径问题，利用两点之间线段最短找出使得的周长最小的点的位置是解题的关键． 22．用长40米的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形花圃，设垂直于墙的边长为x米，矩形面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式及自变量取值范围； (2)求S的最大值及对应x的值． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为 【分析】（1）设垂直于墙的边长为x米，则米，则可得S与x的函数关系式，再利用线段的非负性，可得自变量取值范围； （2）利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：垂直于墙的边长为x米，则米， ， ， ， ； （2）解：， 所以当时，的最大值为． 23．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 24．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $