专题10投影与视图暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题10投影与视图暑假预习讲义 1. 辨析投影类型：理解投影、投影面概念，精准区分中心投影（路灯、手电点光源）与平行投影（太阳光），掌握两类投影影子的变化规律，能反向判断光源位置。 2. 认知正投影：知晓正投影属于特殊平行投影，明确物体摆放角度不同，正投影形状存在差异，视图本质就是正投影。 3. 掌握三视图基础：熟记主视图、左视图、俯视图定义，牢记画图准则：长对正、高平齐、宽相等；看得见轮廓画实线，遮挡轮廓画虚线。 4. 规范画图能力：独立画出圆柱、圆锥、棱柱、球体及简单组合几何体的三视图，做到布局规范、线条标准。 5. 识图还原几何体：依据完整三视图，描述、还原几何体形态；针对正方体堆叠题型，通过三视图判断每层正方体数量。 6. 盲区与视点认知：理解视点、视线、盲区含义，能结合生活场景判断视线盲区范围，解决简单视线遮挡问题。 7. 实际应用解题：利用平行投影、中心投影原理，结合相似知识测算物体高度，解决影子测量类应用题。 8. 规避高频易错点：三视图忽略虚线绘制、混淆中心投影与平行投影影子特点、违背三视图长宽高对齐规则、误将视图画成立体图形。 9. 培养空间素养：建立立体图形与平面视图相互转化的空间观念，为高中立体几何内容做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.投影相关概念 2.正投影 3.三视图核心概念 4.常见几何体三视图对照表 5.三视图之间的关系与画法 6.由三视图还原几何体 7.三视图还原几何体，求表面积、体积 常考题型 精讲精练 1.正投影 2.平行投影 3.中心投影 4.判断简单几何体三视图 5.判断简单组合体三视图 6.空心几何体三视图判断 7.由一/两种视图推其余视图 8.绘制简单几何体三视图 9.绘制简单组合体三视图 10.绘制小立方块堆彻三视图 11.由三视图还原几何体 12.由三视图求边长 13.由三视图求侧面积/表面积 14.求小立方块堆彻图形表面积 15.由三视图求体积 16.求几何体视图的面积 17.由三视图判断小立方块个数 18.由三视图求小立方块最值个数 强化题型 解答题8题 知识点 1 投影相关基础概念 1. 核心定义 投影：用光线照射物体，在某个平面（投影面）上得到的影子叫做物体的投影。 投影线：照射物体的光线；投影面：影子所在的平面。 两类投影分类：按光线形式分为平行投影、中心投影。 2. 平行投影 vs 中心投影 对比表格 对比项目 平行投影（太阳光） 中心投影（灯光、手电筒） 光源特征 平行光线，太阳远距离视为平行光 点光源，光线从同一点发散射出 影子变化规律 同一时刻，不同物体物高与影长比值相等 物体离光源越近，影子越长；高度不变时，远近影子长短变化明显 物体平行关系 物体平行，投影依旧平行（或重合为线段） 平行物体投影不一定平行 典型实例 阳光下树、旗杆、木棒的影子 路灯、台灯、舞台灯光下人影 核心解题工具 同一时刻构造相似三角形 连接物体顶端与影子顶端，交点为光源 知识点2 平行投影特殊类型：正投影 1.正投影定义：投影线垂直于投影面产生的投影（三视图本质都是正投影）。 2.线段的正投影三种情况 线段与投影面位置 正投影形状 线段平行于投影面 长度相等的线段 线段倾斜于投影面 比原线段短的线段 线段垂直于投影面 一个点 3.平面图形正投影规律 （1）平面平行投影面：投影与原图全等； （2）平面倾斜投影面：投影缩小、形状相似； （3）平面垂直投影面：投影为一条线段。 4. 两类投影解题核心方法 （1）平行投影计算（太阳光测高） 核心等量：=定值（同一时刻不变） 拓展题型：影子一部分落在墙面 / 台阶，做法：过墙面影子顶端作水平线，分割高度分段计算。 （2）中心投影找光源步骤 ① 分别连接两个物体顶端与各自影子顶端； ② 延长两条连线，交点即为点光源位置； ③ 利用光源构造相似三角形，求解物体高度、影长。 5. 投影高频易错点 （1）混淆太阳光、灯光影子规律：阳光下影子方向统一，灯光影子朝向无规律； （2）计算墙面影子时，直接用总距离算，不会分段拆分高度； （3）线段垂直投影面时，误以为投影还是线段； （4）位似图形仅中心投影，平行投影不构成位似。 知识点 3 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 视图名称 观察角度 摆放位置 主视图 从物体正面向投影面看 图纸中间 左视图 从物体左面向投影面看 主视图右侧 俯视图 从物体上面向投影面看 主视图下方 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 4 常见基础几何体三视图对照表 几何体 主视图 左视图 俯视图 关键备注 正方体 正方形 正方形 正方形 三边相等 长方体 长方形 长方形 长方形 长宽高不同则矩形长宽不同 圆柱 矩形 矩形 圆 无虚线；圆柱高 = 矩形高 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 圆心代表锥尖投影，不可漏点 球 圆 圆 圆 三个视图完全相同 正四棱锥 等腰三角形 等腰三角形 正方形 + 中心顶点 底面正方形 正六棱柱（螺栓底座） 矩形组合 矩形组合 正六边形 上下底面为正六边形 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 （1） 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 7 由三视图还原几何体，求表面积、体积 1. 规则几何体体积公式 几何体 体积公式 长方体 / 正方体 V=底面积 × 高 圆柱 V=r2h 圆锥 V=r2h 直棱柱（底面菱形 / 多边形） V=底面积 × 棱柱高 2. 组合小正方体表面积计算技巧 （1）分层法：分别算出前、后、左、右、上、下六个方向看到的正方形面数量； （2）每个小正方形面积统一，总面积 = 单块面积 × 总面数； （3）注意：题目若说明底面贴地面，计算时减去底层与地面贴合的面。 3. 挖空类几何体（正方体内穿孔） 体积 = 外部大几何体体积 − 内部挖去小几何体体积； 三视图中穿孔看不见的棱全部用虚线表示。 知识点8全章核心速记汇总表 知识模块 核心结论 平行投影 太阳光，物高与影长成正比例，投影互相平行 中心投影 点光源，连线延长交点为光源，属于位似图形 正投影 投影线垂直投影面，三视图全部为正投影 三视图绘图三规则 长对正、高平齐、宽相等；看得见实线，遮挡虚线 俯视图数字画图 主视看列最大值，左视看行最大值 体积核心公式 柱体底乘高，圆锥三分之一底乘高 菱形棱柱表面积 菱形边长由对角线勾股求出，侧面积 = 周长 × 高 题型1.正投影 【典例】某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是_________（填序号）． ①矩形   ②线段   ③平行四边形   ④圆 【跟踪专练1】如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【跟踪专练2】如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型2.平行投影 【典例】如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 【跟踪专练1】如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【跟踪专练2】下面四幅图是两个物体在不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（    ） A．①→②→③→④ B．②→①→④→③ C．③→④→①→② D．①→③→②→④ 题型3.中心投影 【典例】台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) 【跟踪专练1】下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 题型4.判断简单几何体三视图 【典例】某几何体如图所示，它的主视图是（     ） A．B． C． D． 【跟踪专练1】如图是某种榫构件的示意图，其左视图为（   ） A． B． C．D． 【跟踪专练2】下面图示的四个物体中，正视图如图所示的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5.判断简单组合体三视图 【典例】如图是由10个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，将棱长为4的正方体截去一个棱长为2的小正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 题型6.空心几何体三视图判断 【典例】小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A．B． C． D． 题型7.由一/两种视图推其余视图 【典例】如图是由 个小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A． B．   C．   D．   题型8.绘制简单几何体三视图 【典例】如图，该空心圆柱体的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【跟踪专练1】图中几何体的三视图是（    ） A．B． C． D． 【跟踪专练2】已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 题型9.绘制简单组合体三视图 【典例】下图是由棱长都为1的5个小正方体组成的几何体，则该几何体左视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】如图所示几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 题型10.绘制小立方块堆彻三视图 【典例】下面是由一些小正方体组成的几何体，它们的视图相同的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．都不相同 【跟踪专练1】如图是由4个小正方体组成的一个几何体，则该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 题型11.由三视图还原几何体 【典例】某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱锥 【跟踪专练1】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是________． 【跟踪专练2】如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 题型12.由三视图求边长 【典例】如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为__________ 【跟踪专练1】如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 【跟踪专练2】如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 题型13.由三视图求侧面积/表面积 【典例】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据可计算出该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是_____． 【跟踪专练2】一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 题型14.求小立方块堆彻图形表面积 【典例】一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把5个棱长为的正方体摆在课桌上（如图所示），然后他把露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则被涂上颜色的部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】．如图是由若干个棱长为的完全相同的小正方体组成的一个几何体，在露出的表面上涂上颜色（不含底面），则涂上颜色部分的总面积为____ ． 【跟踪专练2】下图是一个棱长为1cm的正方体，按图中虚线方向切割成36个大小不一的长方体，这36个长方体所有表面积的和是（     ） A． B． C． D． 题型15.由三视图求体积 【典例】如图所示是一个长方体的主视图和俯视图，则这个长方体的体积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【跟踪专练1】小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示，该工件的体积是______． 【跟踪专练2】如图，为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型16.求几何体视图的面积 【典例】如图所示的几何体是由6个完全相同棱长为1的小正方体搭成，其左视图和俯视图的面积和是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练1】3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是两个大小不等的正方体拼成的几何体，该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型17.由三视图判断小立方块个数 【典例】一个几何体由多个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示，搭这个几何体需要小立方块的个数不可能是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪专练1】由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的三视图都是如图，那么组成该几何体所需的小正方体的个数为______． 【跟踪专练2】如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型18.由三视图求小立方块最值个数 【典例】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从左面和上面看到的形状图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【跟踪专练1】如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 【跟踪专练2】一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是．这样的立体图形最少需要( )个小正方体，最多可以有( )个小正方体． 解答题 1．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 2．古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 3．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 4．下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 5．如图是某个几何体的表面展开图． (1)画出该几何体的三视图； (2)求该几何体的体积． 6．一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 7．如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请在上图中分别画出这个几何体的三视图； (2)每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为_____． 8．如下图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有___________个小正方体； (2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加___________个小正方体． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10投影与视图暑假预习讲义 1. 辨析投影类型：理解投影、投影面概念，精准区分中心投影（路灯、手电点光源）与平行投影（太阳光），掌握两类投影影子的变化规律，能反向判断光源位置。 2. 认知正投影：知晓正投影属于特殊平行投影，明确物体摆放角度不同，正投影形状存在差异，视图本质就是正投影。 3. 掌握三视图基础：熟记主视图、左视图、俯视图定义，牢记画图准则：长对正、高平齐、宽相等；看得见轮廓画实线，遮挡轮廓画虚线。 4. 规范画图能力：独立画出圆柱、圆锥、棱柱、球体及简单组合几何体的三视图，做到布局规范、线条标准。 5. 识图还原几何体：依据完整三视图，描述、还原几何体形态；针对正方体堆叠题型，通过三视图判断每层正方体数量。 6. 盲区与视点认知：理解视点、视线、盲区含义，能结合生活场景判断视线盲区范围，解决简单视线遮挡问题。 7. 实际应用解题：利用平行投影、中心投影原理，结合相似知识测算物体高度，解决影子测量类应用题。 8. 规避高频易错点：三视图忽略虚线绘制、混淆中心投影与平行投影影子特点、违背三视图长宽高对齐规则、误将视图画成立体图形。 9. 培养空间素养：建立立体图形与平面视图相互转化的空间观念，为高中立体几何内容做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.投影相关概念 2.正投影 3.三视图核心概念 4.常见几何体三视图对照表 5.三视图之间的关系与画法 6.由三视图还原几何体 7.三视图还原几何体，求表面积、体积 常考题型 精讲精练 1.正投影 2.平行投影 3.中心投影 4.判断简单几何体三视图 5.判断简单组合体三视图 6.空心几何体三视图判断 7.由一/两种视图推其余视图 8.绘制简单几何体三视图 9.绘制简单组合体三视图 10.绘制小立方块堆彻三视图 11.由三视图还原几何体 12.由三视图求边长 13.由三视图求侧面积/表面积 14.求小立方块堆彻图形表面积 15.由三视图求体积 16.求几何体视图的面积 17.由三视图判断小立方块个数 18.由三视图求小立方块最值个数 强化题型 解答题8题 知识点 1 投影相关基础概念 1. 核心定义 投影：用光线照射物体，在某个平面（投影面）上得到的影子叫做物体的投影。 投影线：照射物体的光线；投影面：影子所在的平面。 两类投影分类：按光线形式分为平行投影、中心投影。 2. 平行投影 vs 中心投影 对比表格 对比项目 平行投影（太阳光） 中心投影（灯光、手电筒） 光源特征 平行光线，太阳远距离视为平行光 点光源，光线从同一点发散射出 影子变化规律 同一时刻，不同物体物高与影长比值相等 物体离光源越近，影子越长；高度不变时，远近影子长短变化明显 物体平行关系 物体平行，投影依旧平行（或重合为线段） 平行物体投影不一定平行 典型实例 阳光下树、旗杆、木棒的影子 路灯、台灯、舞台灯光下人影 核心解题工具 同一时刻构造相似三角形 连接物体顶端与影子顶端，交点为光源 知识点2 平行投影特殊类型：正投影 1.正投影定义：投影线垂直于投影面产生的投影（三视图本质都是正投影）。 2.线段的正投影三种情况 线段与投影面位置 正投影形状 线段平行于投影面 长度相等的线段 线段倾斜于投影面 比原线段短的线段 线段垂直于投影面 一个点 3.平面图形正投影规律 （1）平面平行投影面：投影与原图全等； （2）平面倾斜投影面：投影缩小、形状相似； （3）平面垂直投影面：投影为一条线段。 4. 两类投影解题核心方法 （1）平行投影计算（太阳光测高） 核心等量：=定值（同一时刻不变） 拓展题型：影子一部分落在墙面 / 台阶，做法：过墙面影子顶端作水平线，分割高度分段计算。 （2）中心投影找光源步骤 ① 分别连接两个物体顶端与各自影子顶端； ② 延长两条连线，交点即为点光源位置； ③ 利用光源构造相似三角形，求解物体高度、影长。 5. 投影高频易错点 （1）混淆太阳光、灯光影子规律：阳光下影子方向统一，灯光影子朝向无规律； （2）计算墙面影子时，直接用总距离算，不会分段拆分高度； （3）线段垂直投影面时，误以为投影还是线段； （4）位似图形仅中心投影，平行投影不构成位似。 知识点 3 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 视图名称 观察角度 摆放位置 主视图 从物体正面向投影面看 图纸中间 左视图 从物体左面向投影面看 主视图右侧 俯视图 从物体上面向投影面看 主视图下方 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 4 常见基础几何体三视图对照表 几何体 主视图 左视图 俯视图 关键备注 正方体 正方形 正方形 正方形 三边相等 长方体 长方形 长方形 长方形 长宽高不同则矩形长宽不同 圆柱 矩形 矩形 圆 无虚线；圆柱高 = 矩形高 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 圆心代表锥尖投影，不可漏点 球 圆 圆 圆 三个视图完全相同 正四棱锥 等腰三角形 等腰三角形 正方形 + 中心顶点 底面正方形 正六棱柱（螺栓底座） 矩形组合 矩形组合 正六边形 上下底面为正六边形 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 （1） 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 7 由三视图还原几何体，求表面积、体积 1. 规则几何体体积公式 几何体 体积公式 长方体 / 正方体 V=底面积 × 高 圆柱 V=r2h 圆锥 V=r2h 直棱柱（底面菱形 / 多边形） V=底面积 × 棱柱高 2. 组合小正方体表面积计算技巧 （1）分层法：分别算出前、后、左、右、上、下六个方向看到的正方形面数量； （2）每个小正方形面积统一，总面积 = 单块面积 × 总面数； （3）注意：题目若说明底面贴地面，计算时减去底层与地面贴合的面。 3. 挖空类几何体（正方体内穿孔） 体积 = 外部大几何体体积 − 内部挖去小几何体体积； 三视图中穿孔看不见的棱全部用虚线表示。 知识点8全章核心速记汇总表 知识模块 核心结论 平行投影 太阳光，物高与影长成正比例，投影互相平行 中心投影 点光源，连线延长交点为光源，属于位似图形 正投影 投影线垂直投影面，三视图全部为正投影 三视图绘图三规则 长对正、高平齐、宽相等；看得见实线，遮挡虚线 俯视图数字画图 主视看列最大值，左视看行最大值 体积核心公式 柱体底乘高，圆锥三分之一底乘高 菱形棱柱表面积 菱形边长由对角线勾股求出，侧面积 = 周长 × 高 题型1.正投影 【典例】某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是_________（填序号）． ①矩形   ②线段   ③平行四边形   ④圆 【答案】①②③④ 【分析】本题主要是正投影的问题，熟练掌握正投影的定义是解决本题的关键． 正投影是指图形在垂直于投影方向的平面上的投影．当图形所在平面与投影面垂直时，其正投影可能为一条线段．对于矩形、线段、平行四边形和圆，均存在某种投影方向使其正投影为线段． 【详解】解：①矩形：当矩形所在的平面与投影面垂直时，其正投影是一条线段； ②线段：除投影方向与该线段平行（此时投影为一个点）外，其正投影均为线段； ③平行四边形：当平行四边形所在的平面与投影面垂直时，其正投影是一条线段； ④圆：当圆所在平面与投影面垂直时，正投影为直径的线段． 综上所述，故所有选项均可能使正投影为一条线段． 故答案为：①②③④． 【跟踪专练1】如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【分析】本题考查了正投影，牢记正投影的特征是解题关键． 根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到，得到答案． 【详解】解：由题意可知，． ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 题型2.平行投影 【典例】如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于______投影． 【答案】平行 【分析】本题考查投影的分类，需明确平行投影与中心投影的区别：平行投影是由平行光线(如太阳光)形成的投影，中心投影是由点光源(如灯光)形成的投影． 【详解】解：太阳光可看作平行光线，晷针在晷面上的投影是由平行光线形成的，根据平行投影的定义，可知该投影属于平行投影． 故答案为：平行． 【跟踪专练1】如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键．根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树的投影的长度． 【详解】解：，，点、、、在同一直线上， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】下面四幅图是两个物体在不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是（    ） A．①→②→③→④ B．②→①→④→③ C．③→④→①→② D．①→③→②→④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行投影（太阳光下影子）的变化规律，熟练掌握“从早晨到傍晚物体影子的指向及影长变化特点”是解题的关键．根据太阳光下影子的变化规律（从早晨到傍晚，物体影子的指向从西→西北→北→东北→东，且影长先变短后变长），判断四幅图的时间先后． 【详解】解：∵太阳光下影子的变化规律（从早晨到傍晚，物体影子的指向从西→西北→北→东北→东，且影长先变短后变长） ∴ 影子指向：③（西）→④（西北）→①（北）→②（东北），对应时间先后为③→④→①→②． 故选：C． 题型3.中心投影 【典例】台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) 【答案】中心 【分析】平行投影的光线是平行的(例如太阳光)，中心投影的光线来自同一点光源(例如灯光)．台灯属于点光源，其光线从同一点发散，因此形成的投影为中心投影． 【详解】解：∵台灯的灯光是从点光源发出的光线，而由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影， ∴台灯照射书本所形成的影子属于中心投影． 【跟踪专练1】下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心投影的概念进行判断即可． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反，只有选项D符合． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用中心投影，过点P作于点E交于点M，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：． 题型4.判断简单几何体三视图 【典例】某几何体如图所示，它的主视图是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，这个几何体的主视图为： 【跟踪专练1】如图是某种榫构件的示意图，其左视图为（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，重难点在于理解左视图的观察角度以及不可见轮廓线的画法，左视图是从几何体的左面向右面投射所得的图形，能够反映物体的高和宽，在画三视图时，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线． 【详解】选项：中间是一条实线，这表示分界线是看得见的，符合上部长方体与下部长方体前后宽度相等的情况，符合题意； 选项：中间是一条虚线，这表示分界线存在但不可见，通常出现在上部长方体比下部长方体窄(前后宽度小)的情况，与题意不符； 选项：形状呈“凸”字形，这是从正面看得到的主视图，不是左视图； 选项：形状呈长条状且有两条虚线，这是从上面看得到的俯视图，不是左视图． 【跟踪专练2】下面图示的四个物体中，正视图如图所示的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左到右第一、第三和第四的物体的主视图均为： 第二个的物体的主视图为： 题型5.判断简单组合体三视图 【典例】如图是由10个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查简单几何体的三视图．根据三视图的画法，确定从正面看时每列正方形的个数，即可正确解答． 【详解】从正面看易得第一列有3个正方形，第二列最下面一层有1个正方形，第三列有2个正方形，所以该几何体的主视图为选项A所示图形． 故选A． 【跟踪专练1】如图，将棱长为4的正方体截去一个棱长为2的小正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图的定义，从上往下观察几何体，确定其俯视图的形状及内部线条的位置． 【详解】解： 该几何体是由棱长为的大正方体截去右前上方的一个棱长为的小正方体得到的， 从上面看（俯视图），外轮廓是大正方体的底面，为一个正方形 ， 截去部分位于几何体的右前方 ， 在俯视图中，截去后露出的水平面位于图形的右下角 ， 俯视图为一个大正方形，且右下角有一个小正方形（实线）， 对比选项可知，B选项符合． 【跟踪专练2】如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，将小正方体A移到小正方体B上方后，新的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将小正方体A移到小正方体B上方后，得到俯视图为 ． 题型6.空心几何体三视图判断 【典例】小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答． 本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形． 【详解】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C． 【跟踪专练1】一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 【跟踪专练2】如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 题型7.由一/两种视图推其余视图 【典例】如图是由 个小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，则该几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同，结合小正方形中的数字可由俯视图得出主视图每列的小正方体个数，从而可以判断原几何体的主视图． 【详解】解：由俯视图可以看出原几何体一共2列，右列有前后2排，后排与前排均是1个小正方体，左列只有1排，有2个小正方体，由此可判断出这个几何体的主视图是D． 【跟踪专练1】小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据主视图和俯视图判断几何体的形状，进而确定其左视图，用到了由三视图判断几何体的知识． 【详解】解：根据该几何体的主视图为长方形，俯视图为圆形可知， 该几何体可能是圆柱， ∴其左视图是长方形，选D． 【跟踪专练2】如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，从正面看，一共3列，左边有1个小正方形，中间有2个（前后各1个），右边有2个小正方形，据此分析判断即可． 【详解】解：根据题意可知，主视图有3列，左边有1个小正方形，中间有2个（前后各1个），右边有2个小正方形，所以选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，解题关键是理解并掌握简单组合体的三视图． 题型8.绘制简单几何体三视图 【典例】如图，该空心圆柱体的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线． 【跟踪专练1】图中几何体的三视图是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案． 【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为 故选C 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 【跟踪专练2】已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义，规范画出即可 【详解】 ∵， ∴左视图为， 故选A 【点睛】本题考查了几何体的三视图的画法，熟练掌握左视图的定义，特别注意看不到的要化成虚线，这一点很重要． 题型9.绘制简单组合体三视图 【典例】下图是由棱长都为1的5个小正方体组成的几何体，则该几何体左视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．画出几何体的左视图即可求出面积． 【详解】解：如图所示为该几何体的左视图． 故面积为3 故选B． 【跟踪专练1】如图所示几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据视图的意义，结合能看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，画出从左面看所得到的图形即可． 【详解】从左面看，是一个矩形，矩形的中间有一条横线，再下面矩形中间有看不见的部分用虚线，如图所示： 故选：D． 【点睛】考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键． 【跟踪专练2】如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，小正方体的个数确定主视图． 【详解】∵ ∴几何体的主视图为： 故寻B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握主视图的定义，清楚主视图与小正方体的个数的关系是画图的关键． 题型10.绘制小立方块堆彻三视图 【典例】下面是由一些小正方体组成的几何体，它们的视图相同的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．都不相同 【答案】C 【详解】根据视图的定义，三个几何体的俯视图均为： 【跟踪专练1】如图是由4个小正方体组成的一个几何体，则该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形即可得出结果． 【详解】解：该几何体的俯视图由两层构成，第一层有1个小正方形，在最右边，第二层有3个小正方形，如图： 【跟踪专练2】如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，结合几何体的排列情况，确定从左面看所得到的图形的列数及每列正方形的个数即可． 【详解】解：俯视图分为前后两行：后排（俯视图上方行）的数字最大为2，前排（俯视图下方行）的数字最大为1． 从几何体左侧观察，几何体的后排对应左视图的左列，前排对应左视图的右列，因此左视图左列高度为2（2个正方形上下排列），右列高度为1（1个正方形靠下），形状为：第一行仅左侧1个正方形，第二行左右共2个正方形； 故该几何体的左视图是． 题型11.由三视图还原几何体 【典例】某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱锥 【答案】B 【详解】解：∵ 主视图和左视图都是三角形， ∴ 该几何体是锥体． ∵ 俯视图是圆且带有圆心， ∴ 该几何体的底面是圆． 综上所述，该几何体是圆锥． 【跟踪专练1】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是________． 【答案】圆柱 【分析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力． 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】解：∵主视图和左视图是长方形， ∴几何体是柱体， ∵俯视图是圆， ∴该几何体是圆柱． 故答案为：圆柱． 【跟踪专练2】如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由俯视图确定该几何体底层的形状即可得到答案． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体的底层有3个小正方体，且最底层的形状为： 四个选项中，只有B选项中的几何体符合题意． 题型12.由三视图求边长 【典例】如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为__________ 【答案】5 【分析】过E作交于点，根据，，即可得到，根据左视图即可得到； 【详解】解：过E作交于点， ∵，，， ∴， 由左视图可得， ， 故答案为5； 【点睛】本题考查正确理解几何体的三视图，直角三角形所对直角边等于斜边一半，解题的关键是正确理解三视图． 【跟踪专练1】如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 即为等腰直角三角形，且， 设，则， ， 解得， 则图中线段的长度为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱底面，底面三角形为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 【详解】解析：解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为三棱锥，侧棱底面ABC，底面三角形为等腰三角形， 在中，可得． 该几何体的最长棱的长度为9． 故选：D． 题型13.由三视图求侧面积/表面积 【典例】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据可计算出该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积．根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 【详解】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，它的底面直径是，高是． 所以该几何体的侧面积为． 故选：A． 【跟踪专练1】一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的表面积为，则a的值是_____． 【答案】2 【分析】本题考查几何体的三视图复原几何体以及几何体的表面积的求法，根据三视图可知该正三棱柱底面等边三角形的高为，则底面等边三角形的边长为4，由此能根据该正三棱柱的表面积求得a的值． 【详解】解：∵由左视图知底面正三角形的高为， ∴底面正三角形的边长为4， ∴底面正三角形面积为， ∵这个正三棱柱的表面积为， ∴， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练2】一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 【答案】B 【详解】解：由主视图和俯视图可知，底面正方形的对角线长为，长方体的高为， ∴底面边长为， ∴这个长方体的表面积为． 题型14.求小立方块堆彻图形表面积 【典例】一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把5个棱长为的正方体摆在课桌上（如图所示），然后他把露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则被涂上颜色的部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体表面积的计算，解题的关键在于理解露出的表面的算法．分别计算出上面一层和下面一层露出的表面积，然后相加即可． 【详解】解：根据题意得，上面一层露出的表面积为； 下面一层露出的表面积为， 所以表面被涂上颜色的部分的面积为 ． 故选：A． 【跟踪专练1】．如图是由若干个棱长为的完全相同的小正方体组成的一个几何体，在露出的表面上涂上颜色（不含底面），则涂上颜色部分的总面积为____ ． 【答案】310000 【分析】本题考查计算几何体的面积，有顺序的计算上面，左右面，前后面涂上颜色的面积之和即可． 【详解】解：， ， 故答案为：310000． 【跟踪专练2】下图是一个棱长为1cm的正方体，按图中虚线方向切割成36个大小不一的长方体，这36个长方体所有表面积的和是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正方体单个面面积，原表面积， 由图可知，切成36块需切7刀，每切一刀增加2个面， 新增面积， 总表面积：． 题型15.由三视图求体积 【典例】如图所示是一个长方体的主视图和俯视图，则这个长方体的体积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图求几何体体积的知识． 主视图的矩形的两边长表示长方体的长为3，高为4；俯视图的矩形的两边长表示长方体的长为3，宽为2；然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】解：由主视图可知该长方体的长为3，高为4， 由俯视图可知该长方体的宽为2， 这个长方体的体积为． 故选：D． 【跟踪专练1】小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示，该工件的体积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆柱体体积的计算，正确得到几何体的形状是解题关键． 根据工件三视图的形状和所标注的尺寸可知，这个工件是底面直径为，高为与底面直径为，高为的圆柱体的组合体，根据圆柱体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由这个工件的三视图可知，这个工件是底面直径为，高为与底面直径为，高为的圆柱体的组合体， 所以工件的体积为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得此几何体为半圆柱，半圆柱的体积底面积高，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：观察三视图发现该几何体为半圆柱，其底面直径为2，高为2， 故该几何体的体积为． 题型16.求几何体视图的面积 【典例】如图所示的几何体是由6个完全相同棱长为1的小正方体搭成，其左视图和俯视图的面积和是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的意义，画出三视图是得出正确答案的关键．画出它的左视图和俯视图，进而求出左视图和俯视图的面积和，即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为：， 俯视图为：， 其左视图和俯视图的面积和是． 【跟踪专练1】3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的形状画出对应几何体的左视图，进而求出对应几何体的左视图面积，比较即可得到答案． 【详解】解：设小正方体的棱长为1， A选项中左视图为，则左视图面积为， B选项中左视图为，则左视图面积为， C选项中左视图为，则左视图面积为， D选项中左视图为，则左视图面积为， ∵， ∴A选项中的左视图面积最小． 【跟踪专练2】如图是两个大小不等的正方体拼成的几何体，该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小正方体一个面的面积为，大正方体一个面的面积为，且，再根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：设小正方体一个面的面积为，大正方体一个面的面积为，且， 主视图面积：从正方向看，可以同时看到小正方体1个面和大正方体1个面， ， 俯视图面积：从上往下看，可以同时看到小正方体1个顶面和大正方体1个顶面， ， ， 左视图面积：从左向右看，小正方体边长小于大正方体，左视图中只能看到大正方体的1个整面（小正方体完全落在大正方体的轮廓内，总看到的面积就是大正方体一个面的面积）， ， ， ． 题型17.由三视图判断小立方块个数 【典例】一个几何体由多个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示，搭这个几何体需要小立方块的个数不可能是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解决本题的关键是对三视图进行熟练掌握． 根据左视图可以看出第二层可能有3个、2个、1个立方块，由此判断选项即可． 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个立方块， 由左视图易得第二层最多有3个立方块和最少有1个立方块， 那么小立方块的个数可能是5个或6个或7个， 所以搭这个几何体需要小立方块的个数不可能是8． 故选：D． 【跟踪专练1】由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的三视图都是如图，那么组成该几何体所需的小正方体的个数为______． 【答案】4 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 由俯视图可知左侧一行，右侧两行，可确定左侧只有一个小正方体，则可能两行都是两层，那么小正方体有块． 【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层； 由俯视图可知左侧一行，右侧两行，可确定左侧只有一个小正方体，则可能两行都是两层．   所以图中的小正方体有块． 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据主视图和左视图，把各个位置小方块的个数标在俯视图上，根据各个位置小正方体的个数计算出组成这个几何体的小正方体的个数． 【详解】解：如下图所示，把各个位置小方块的个数标在俯视图上， 组成这个几何体的小正方体的个数是个． 题型18.由三视图求小立方块最值个数 【典例】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从左面和上面看到的形状图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】该题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查；如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案； 根据从上面看到的图形确定第一层的个数，然后根据从左面看到的图形确定最多的小正方体的个数即可； 【详解】解：从上面看，第一层有3个小正方体， 从左面看第二层最多有3个小正方体， 故最多有个小立方体， 故选：C． 【跟踪专练1】如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 【答案】 【分析】根据三视图的特点分析即可求解． 【详解】解：俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最少是个， 俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最多是个． 【跟踪专练2】一个立体图形，从左面看到的形状是，从正面看到的形状是．这样的立体图形最少需要( )个小正方体，最多可以有( )个小正方体． 【答案】 5 7 【分析】利用从上面看几何体分别画出最少和最多时的正方形的个数，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 最少需要的小正方体：（个） 最多需要的小正方体：（个） 因此这样的立体图形最少需要5个小正方体，最多可以有7个小正方体． 解答题 1．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积 【详解】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键． 2．古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 【答案】米． 【分析】设米，根据等角对等边得到米，则米，证明，得到，求解即可． 【详解】解：设米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵同一时刻的阳光下， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即米． 3．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 4．下图是一个包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型的最确切的名称是_______． (2)若网格中的图①是该几何体的主视图，根据的取值在网格中画出该几何体的俯视图和左视图，其中不正确的是_______（填序号）． (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)④⑤ (3) 【分析】本题考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义． （1）根据展开图判断几何体即可； （2）根据三视图的定义判断即可； （3）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：展开图由两个等腰直角三角形和三个矩形组成，这是直三棱柱的典型展开图，直三棱柱的两个底面是等腰直角三角形，侧面是矩形，所以这个几何体模型的最确切的名称是直三棱柱， （2）故答案为：直三棱柱； 解：主视图显示的是直三棱柱的侧面，即一个矩形，俯视图应该显示的是直三棱柱的底面，即一个等腰直角三角形，左视图则应该显示的是直三棱柱的另一个侧面，也是一个矩形，但其高度为，宽度为等腰直角三角形的斜边长度，即，根据这些信息，可以判断图④和图⑤不正确， 故答案为：④⑤； （3）解：由题意可知， ， 该几何体的表面积为． 5．如图是某个几何体的表面展开图． (1)画出该几何体的三视图； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1)见解析 (2)120π 【分析】本题主要考查几何展开图还原组合体、三视图及组合体体积问题，还原组合体图形是解题的关键． （1）根据几何透视原理作出三视图； （2）由展开图可知该几何体是圆柱和圆锥的组合体，先利用展开图以及三视图求出圆锥的高，然后求出圆锥的体积，再求出圆柱的体积，最后得到几何体的体积． 【详解】（1）解：由这个几何体的表面展开图可知，这个组合体上面是底面半径为3， 母线为5的圆锥体，下面是底面半径为3，高为12的圆柱体的组合体， 所以它的三视图如下： （2）由勾股定理可得，上面圆锥的高为4， 所以这个组合体的体积为． 6．一个几何体的三视图如图所示，请先写出这个几何体的名称，再根据三视图画出它的平面展开图，并求其表面积S． 【答案】三棱柱，图见解析； 【分析】本题考查三视图，棱柱的表面积，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 有2个视图的轮廓是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是三角形，那么该几何体是三棱柱；根据勾股定理求出等腰三角形的腰长，再根据三棱柱的表面积公式求解即可． 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱，其平面展开图如图①所示(画法不唯一)．由三视图，可知三棱柱的底面是等腰三角形，如图②，过点A作于点D． 由题意，得， ∴ ∴． 7．如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请在上图中分别画出这个几何体的三视图； (2)每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了几何体的三视图以及几何体的表面积，理解三视图的定义是解题的关键． （1）根据三视图的定义及画法直接作图即可； （2）根据几何体的形状得出其表面积即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：每个小正方体的棱长为， 每个小正方体的一个面的面积为， 这个几何体的表面积为． 故答案为：． 8．如下图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有___________个小正方体； (2)若在几何体表面（露出部分不含底面）喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加___________个小正方体． 【答案】(1)10 (2) (3)5 【分析】（1）根据拼图可直接得出答案； （2）求出主视图、主视图、俯视图的面积，再根据表面积的意义进行计算即可； （3）结合三视图，在俯视图上的相应位置添加相应数量的正方体，直至最多． 【详解】（1）解：根据拼图可知，堆成如图所示的几何体需要10个小正方体 （2） 解：分析这个图形的三视图可得： 主视图面积为， 左视图为， 俯视图的面积为2×， 该组合体的表面积为 （3）解：在俯视图的相应位置摆放相应数量的小正方体，使其俯视图和左视图都不变，如图所示， 所以最多可以添加5个． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $