粒子在电场和磁场中的往复运动、带电粒子在组合场中的立体空间问题 专项训练-2027届高三物理一轮复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在电磁场中的往复运动与立体空间组合场问题，通过典例与变式系统覆盖周期性运动分析及三维空间模型建构，强化科学思维与运动规律应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |粒子在电场和磁场中的往复运动|3例+3变式|含周期性运动、多过程受力分析，涉及速度方向反转与轨迹对称|从电场加速/偏转规律到磁场圆周运动，结合往复运动周期性，构建“力-运动-能量”逻辑链| |带电粒子在组合场中的立体空间问题|3例+3变式|三维坐标系下多场叠加，需空间轨迹分析与几何关系应用|从平面组合场拓展至立体空间，整合电场力、洛伦兹力作用下的运动分解，培养空间模型建构能力|

粒子在电场和磁场中的往复运动、带电粒子在组合场中的立体空间问题专项训练 粒子在电场和磁场中的往复运动、带电粒子在组合场中的立体空间问题专项训练 考点目录 粒子在电场和磁场中的往复运动 带电粒子在组合场中的立体空间问题 考点一 粒子在电场和磁场中的往复运动 例1．（2026·湖北·高考真题）如图所示，在平面内，区域存在匀强电场，电场强度大小为、方向沿轴负方向；在区域，有一个以为圆心、为半径的半圆形区域，半圆形区域内既无电场也无磁场，半圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里。一质量为、电荷量为的带正电粒子从坐标为的点静止释放，之后从坐标为的点第一次射出磁场。不计重力，求： (1)粒子第一次进入磁场时的速度大小； (2)磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二次射出磁场时的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 解得加速度大小为 粒子从坐标为的 点静止释放，沿轴负方向的位移大小为 由匀变速直线运动速度与位移的关系得 联立解得粒子第一次进入磁场的速度大小为 （2）粒子第一次进入磁场的坐标为，第一次出磁场的坐标为，粒子在匀强磁场中的运动轨迹如图所示 设粒子的轨迹半径变为，由几何关系得 解得 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）设粒子第一次出磁场时速度与 轴负方向的夹角为，由几何关系得 则 粒子沿 轴和轴的速度分别为， 解得， 粒子沿轴方向做类竖直上抛运动，由竖直上抛运动规律，可得运动时间 沿 轴方向做匀速直线运动，有 联立解得沿 轴方向的位移为 粒子第二次进入磁场时， 坐标为 沿 轴方向的速度为 由运动的对称性，可知沿轴方向的速度为 则粒子与 轴负方向的夹角仍满足 因此粒子两次在磁场中的运动轨迹关于轴对称，如图所示 则粒子第二次出磁场的坐标，即为粒子第一次进入磁场的坐标。 例2．（2026·云南昆明·三模）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，轴上方存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度（大小未知），方向沿轴向上，磁场方向垂直纸面向里。轴下方存在方向沿轴向上的匀强电场（图中未画出），场强为（大小未知）。一质量为、电荷量为的带正电小球（可视为质点），从y轴上的点以速度沿轴正方向抛出，经轴上的点后与轴正方向成进入轴上方后恰能做匀速圆周运动。、两点间距离与、两点间距离满足关系：，重力加速度为，以上物理量中、、、为已知量，其余量大小未知。求： (1)电场强度与的大小之比； (2)若小球可多次（大于两次）通过点，则磁感应强度为多大； (3)若小球可恰好两次通过点，则磁感应强度为多大；小球两次通过点的时间间隔为多少。 【答案】(1) (2) (3)，，， 【详解】（1）小球在轴上方匀速圆周运动，可得 小球从A到P的过程中， 结合，可得 由牛顿第二定律可得 解得 （2）小球第一次通过点时与轴正向成，可知小球在点时 点时的速度 且 由类平抛的位移公式可得 小球多次经过点，轨迹如图甲所示：小球在磁场中运动个周期后，到达轴上的点，、关于原点对称，之后回到并不断重复这一过程，从而多次经过点；设小球在磁场中圆周运动的半径为，由几何关系可得 又由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （3）小球恰能两次经过点，轨迹如图乙、丙所示： 由规律可知，小球恰能两次经过点满足的几何关系为 解得     小球在复合电磁场中运动的周期   小球从点到点时间             两次通过点的时间间隔为       解得   例3．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）为了使粒子经过一系列的运动后，又以原来的速率沿相反方向回到原位置，可设计如下的一个电磁场区域（如图所示）：直线以下是水平向左的匀强电场；区域I（梯形）内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域II（）内的磁场方向垂直纸面向里，大小为（未知）；区域III（虚线之上、以外）的磁场方向垂直纸面向外，大小也为。已知等边的边长为，、分别为、的中点。带正电的粒子从点正下方、距离点为的点以某一速度射出，在电场力作用下从边中点以速度垂直射入区域I，再从点垂直射入区域III，又经历一系列运动后返回点（粒子重力忽略不计）。求： (1)该粒子的比荷； (2)直线以下电场强度的大小； (3)粒子在点的速度； (4)粒子从点出发再回到点的整个运动过程所需时间。 【答案】(1) (2) (3)，方向与竖直方向夹角的正切值为2 (4)（，，，3，）或（，，，3，） 【详解】（1）粒子做圆周运动的半径，由洛伦兹力提供向心力 得 （2）带正电的粒子在电场中运动水平方向 竖直方向 联立解得 （3）电场中的运动，， 联立解得， 方向与竖直方向夹角的正切值为2 （4）电磁场中运动的总时间包括三段：电场中往返的时间，区域I中的时间，区域II中的时间以及区域III中的时间，根据平抛运动规律，有 在区域I中的时间 ①若粒子在区域II中以及区域III中的运动如图所示： 则总路程为个圆周，根据几何关系有 得 在区域II中以及区域III中的总路程为 时间 总时间（，，，，） ②若粒子在区域II中以及区域III中的运动如图所示： 则总路程为个圆周，根据几何关系有 在区域II以及区域III中的总路程为（，，，，） 时间（，，，，） 总时间，（，，，3，） 变式1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的非匀强电场，电场强度的大小满足，其中，第二象限存在垂直于平面向外的匀强磁场（大小未知），第三、四象限存在沿轴正方向的匀强电场（大小未知），、为轴上的点，其中坐标为，坐标为，为轴正半轴上的点，坐标未知。带正电的粒子质量为，电量为，从轴上的点以初速度向第四象限运动，速度方向与轴负方向的夹角，刚好从点离开电场进入磁场，在磁场中偏转从点离开磁场进入第一象限的电场中。不计空气阻力和带电粒子的重力，已知质量为的物体在回复力作用下做简谐运动时，其周期为。求： (1)三、四象限的电场强度的大小； (2)的坐标及匀强磁场的大小； (3)粒子从开始第23次通过轴的时间及第26次通过轴的横坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子在第三、四象限仅受电场力作用，做类斜抛运动，方向匀速，方向受恒定电场力作用 方向初速度，方向初速度，加速度 粒子从运动到，方向位移，时间 方向位移为零，位移方程有 联立解得 （2）粒子在方向位移为零，即在电场方向位移为零，则粒子动能不变，速度大小仍为，只起到偏转粒子的作用，偏转后方向斜向上，与轴负半轴夹角为 在第二象限中，洛伦兹力提供向心力，在磁场中偏转，设轨迹半径为，圆心在速度垂线上，由左手定则的洛伦兹力方向为，则圆心位置 在磁场中顺指针偏转后出射点坐标 在轴正半轴，因此，故解得 由解得 （3）求振动方程：粒子在第一象限仅受电场力作用，由第二问可知，粒子从射出，速度方向斜向上与轴正方向夹角，故此时初速度， 由题，此时电场力为，满足简谐振动回复力表达式，故粒子在方向做简谐振动，时，故平衡位置在，则回复力劲度系数，周期，角频率 设振动方程，求导有 由初始条件时，， 解得， 两式相除 由于，，则取，解得 则振动方程，速度方程 求第一次到达时间：粒子在第一象限首次到达轴时，满足，即 此时速度向下，大小为，粒子进入第四象限。由，则粒子加速度，做类自由落体运动，则粒子每次进入第四象限时速度大小均为，方向交替向下或向上。在恒力作用下，粒子在第四象限往返一次的时间 推广到次：粒子每次穿过轴后交替进入第四象限和第一象限，运动图像如图所示 设从射出后第次通过轴。则第次时，向下通过，，水平位移 此后，每连续两次通过轴的时间间隔交替为和 横坐标每次增加或 对于任意，若，则粒子向上通过轴，有， 代入数据有， 若，则粒子向下通过轴，有， 代入数据有， 求解问题：则第23次时间 第26次时间 第26次横坐标 变式2．（2026·河南南阳·三模）如图，光滑水平面内有一直角坐标系xOy，其0≤y≤h=0.2m的范围内有一方向垂直纸面向外的匀强磁场，同时在第三、第四象限分别有沿x轴正方向和负方向的关于y轴对称的匀强电场，电场强度大小均为。一比荷的带正电弹性小球从坐标原点O处以大小为的初速度沿与x轴正方向成37°角射入磁场，刚好没有从磁场的边界上射出磁场。小球进入第四象限时与一平行于x轴的挡板（图中未画出）在y轴上的某处相碰，碰后小球沿x轴方向的分速度不变，沿y轴方向的分速度大小相等，方向相反。已知：，，不计小球重力和任何阻力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)挡板与O点的距离； (3)小球从开始运动到第三次回到x轴的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）作出小球在磁场和电场中的运动轨迹，小球刚好没有从磁场的边界上射出磁场，小球在磁场中运动轨迹的半径 根据牛顿第二定律可得 解得 （2）进入电场后小球做类平抛运动，由类平抛运动规律可得 联立解得， （3）小球在磁场中的第一象限中偏转的弧长 小球在磁场中的第一象限中偏转的时间 根据对称性，第三次回到轴的位置在坐标原点，总时间为 变式3．（2026·天津红桥·二模）一个带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x正方向成的方向射入第一象限内磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿x轴负方向。不计粒子重力，求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过y轴所需要的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得 粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得 联立解得 （2）粒子离开磁场时，离O的竖直距离为 粒子在电场中做匀减速直线运动 其中 解得 故粒子速度第一次为零时的坐标为 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的总时间 粒子从y轴进入电场至速度为0的过程中，可得， 解得 粒子从P点射入到第三次经过y轴的总时间 考点二 带电粒子在组合场中的立体空间问题 例1．（2026·湖南长沙·二模）如图所示为固定在地面上的某种离子发射装置，由离子源、间距为d的中心有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体空间构成，立方体右端面P正对着屏幕Q，Q为平行于M、N板的足够大平板，P、Q之间的距离也为d。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y、z坐标轴。M、N板之间存在方向沿z轴正方向大小为E1的匀强电场；立方体区域内存在大小的匀强磁场和大小可调的匀强电场E2，方向均沿y轴正方向；P、Q板之间存在区域范围足够大的匀强电场E3（E3未知），方向沿x轴正方向。离子源在M板中心小孔S处无初速释放质量为m、电荷量为q的某种正离子，经M、N间电场加速后在金属板N中心点O处进入立方体区域，离子从右端面P射出后进入P、Q间的电场，经电场偏转最终打在屏幕Q上。忽略离子间的相互作用，不计离子重力。 (1)求正离子从金属板N中心点O处进入立方体区域的速度v0的大小； (2)若正离子能从右端面P射出，求射出P时的x坐标，以及能从右端面P射出的E2的最大值； (3)若撤去立方体内的电场，且将匀强磁场方向调整为平行于Oxy平面且与x轴正向和y轴正向均成45°角。离子从右端面P射出后，经过匀强电场后打在屏幕Q上，打在Q上的速度与从右端面P射出时的速度大小相等，求匀强电场E3的大小。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）离子在电场中加速，根据动能定理有 解得 （2）离子进入立方体内的叠加场后做螺旋线运动，洛伦兹力使离子在Oxz平面做如图所示的匀速圆周运动，同时电场力使离子沿y轴正向做初速度为0的匀加速运动 由知 解得r=2 L 由几何关系可知圆心角 解得 所以离子射出右端面P时的x坐标为 【或：射出时x坐标为：】 由圆心角知，离子在立方体内的运动时间 又，， 所以y方向位移 要让离子从右端面P射出，则 解得 （3）在立方体内，撤掉电场后，离子在与磁场垂直的倾斜平面内做匀速圆周运动，如图所示 经P时，设速度与z轴正向的夹角为，射出点如图所示 由第二问可知离子从右端面P射出时速度方向在轨道平面内与z轴夹角 所以，方向沿x轴负向 已知P、Q板之间存在匀强电场，方向沿x轴正向，到Q时速度大小与经P时相等，说明粒子经过电场后x方向的分速度与该方向原速度等大反向，则x方向速度变化量为 x方向动量定理有 【或：x方向，】 z轴方向上离子射出右端面P后做匀速直线运动 联立上述几个式子可得 例2．（2026·天津河西·三模）现代技术中常用交替的电磁场对带电粒子的运动进行控制。某科研小组模拟了一种多级引导装置：如图所示，在纸面内有一个半径为的圆形匀强磁场区，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧存在着用竖直边界划分的区域1、区域2、区域3等足够多个等宽区域，各区域在竖直方向足够长。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度大小为；偶数区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。圆上两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区，经过点进入区域1时，速度大小为，方向与左边界夹角为45°斜向下；进入区域2时，粒子速度方向与左边界夹角为60°斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力，不考虑电磁场的边界效应。求： (1)带电粒子的电性及比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小。 【答案】(1)带正电， (2) (3) 【详解】（1）根据左手定则可知粒子带正电； 根据几何关系 可得粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动 根据洛伦兹力提供向心力 可得 （2）区域1内，粒子在竖直方向做匀速直线运动，到区域2的左边界时速度为，根据几何关系 由动能定理得 可得 （3）粒子从进入区域1开始到刚好不能从区域14的右边界射出的过程，设粒子在区域14的右边界时速度大小为，电场中，由动能定理得 磁场中，设向上为正方向，竖直方向由动量定理得 又， 可得 例3．（2026·重庆·三模）在可控核聚变装置中，中性束注入（NBI）是加热等离子体的重要手段。装置简化模型如图甲所示。三维坐标系中；x轴水平向右，y轴竖直向上，z轴垂直纸面向外。区域Ⅰ存在方向沿轴的匀强电场，区域Ⅱ存在方向沿轴的匀强磁场（未画出）。一个质量为m、电荷量为的离子，从区域Ⅰ中的点静止释放，不计重力。 (1)若区域Ⅰ的电场强度为E，求离子到达区域Ⅱ时的速度大小； (2)若已知，离子进入磁场后从坐标原点O穿出区域Ⅱ，求区域Ⅱ的磁感应强度大小B及到达O点时速度与轴的夹角； (3)满足（2）的条件，离子到达O点时，立即撤去区域Ⅰ中的电场和区域Ⅱ中的磁场，同时在的区域加如图乙所示磁镜。该磁镜为轴向对称分布的非匀强磁场。其对称轴沿方向，轴向（方向）的分磁感应强度大小随x线性增大，满足，其中为处的轴向分磁感应强度。已知粒子在此非匀强磁场中运动满足“磁矩不变量”：常量，其中是垂直于x轴方向的分速度大小。 ①证明：离子在磁镜中运动时，其平行于x轴的速度分量与的关系为：； ②离子在磁镜中沿x方向的分运动为减速运动，最终减为0后被磁场“反射”。若磁镜区域的长度有限，仅为，为了使离子不能穿透磁场逃逸（即被“反射”），求k（称为磁场的梯度系数）应满足的条件（用、L表示）。 【答案】(1) (2)， (3)①离子进入磁镜约束区后，磁矩不变量给出 洛伦兹力不做功 所以；② 【详解】（1）离子在区域Ⅰ中做匀加速直线运动，电场力做功等于动能增量 解得 （2）设离子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，则几何关系可知 解得 则 解得 磁场中 联立解得 （3）①略； ②反射点处轴向速度，由上问结论可得 因为 所以 所以 由题意 联立可得 变式1．（2026·河北邢台·模拟预测）在三维坐标系Oxyz中，沿y轴正方向依次有平行于xOz平面的足够大的平面、、、…、，其中位于xOz平面内，相邻两平面间的距离均为L，xOy平面水平，以竖直向下为z轴正方向。在与、与、与、…平面间存在电场强度大小相等、方向竖直向下的匀强电场；在与、与、与、…平面间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小依次为、、、、…、，其中为未知量，如图所示。现有一质量为m、电荷量为的带电粒子从平面上的O点以大小为、方向沿y轴正方向的速度射入匀强电场中，粒子经过平面时的坐标为，，且恰好能经过平面，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小。 (2)求磁感应强度大小。 (3)若该带电粒子从平面上的O点以大小为、方向与y轴正方向成30°（与x轴正方向成60°）角且垂直于电场方向的速度射入匀强电场中，求粒子第一次经过平面时的z轴坐标和第一次经过平面时的x轴坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）带电粒子在平面间做类平抛运动，且经平面时的坐标为沿y轴正方向，粒子做匀速直线运动，有 沿z轴正方向，粒子做初速度为零的匀加速直线运动，有 根据牛顿第二定律，有 解得匀强电场的电场强度大小 （2）将粒子经过平面时的速度沿y轴正方向和z轴正方向进行分解，其中，经分析可知，粒子在、平面间的运动可分解为水平面内的匀速圆周运动和竖直面内的匀速直线运动。如图甲 粒子恰好能经过平面，根据几何关系可知，粒子做匀速圆周运动的半径 根据牛顿第二定律，有 解得 （3）分析粒子在水平方向的运动，可知粒子在与、与、与、...平面间做匀速运动，在与、与、与、...平面间做匀速圆周运动；分析粒子在竖直方向的运动，可知粒子在与、与、与、...平面间做匀加速直线运动，在与、与、与、...平面间做匀速直线运动。粒子的运动轨迹在水平面内的投影如图乙所示 粒子从A点进入磁场时，速度方向与平面成60°角，且在磁场中运动轨迹的半径，过A点做初速度方向的垂线，距A点L处为圆心，连接，结合几何关系可知，AB连线垂直于、平面，且粒子轨迹对应的圆心角 粒子在、间运动的时间 粒子在、间运动的时间 粒子在、间运动的时间 则在z轴方向上，粒子的速度随时间变化的情况如图丙所示 则粒子从开始运动到经过平面，粒子沿z轴方向的位移大小 解得 即粒子经过平面时的z轴坐标为。 分析粒子在水平方向上的运动，粒子在、平面间做匀速圆周运动，设轨迹半径为 根据牛顿第二定律，有 根据几何关系，有 解得， 此过程，粒子沿x轴方向的位移大小 粒子在、平面间做匀速直线运动，粒子沿x轴方向的位移大小 粒子在、平面间做匀速圆周运动，设轨迹半径为 根据牛顿第二定律，有 解得 根据几何关系可知 则粒子经过平面时恰好与平面相切 粒子在、平面间沿x轴方向的位移大小 根据对称性可知，粒子在、平面间沿x轴方向的位移为0，则粒子在、平面间沿x轴方向的位移大小 则粒子经过平面时的x轴坐标为。 变式2．（25-26高三下·广东广州·阶段检测）如图所示，一足够长的长方体被正方形分成上下两个长方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，其中。整个长方体空间存在沿z轴负方向的匀强电场（图中未画出），另外空间Ⅱ内同时还存在沿z轴正方向的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从边的中点P以初速度平行于y轴正方向射入长方体区域，粒子恰好经过正方形的中心点Q，且粒子在空间Ⅱ内运动的过程中，恰好未从长方体侧面飞出长方体区域，不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小 (2)粒子经过Q点时的速度 (3)匀强磁场的磁感应强度大小 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带正电粒子在空间Ⅰ中类平抛运动，运动轨迹如图 则，   由牛顿第二定律   联立可得，匀强电场的电场强度大小为 （2）在空间Ⅰ中，根据类平抛运动规律可得 故 设Q点与y轴正方向夹角θ，则 （3）粒子进入空间Ⅱ中速度为 将速度v分解为y轴速度，和z轴速度，由于z轴速度方向与磁场平行，不受洛伦兹力；在平面内的y轴方向有洛伦兹力提供向心力    由几何关系可知 可得匀强磁场的磁感应强度大小为 变式3．（2026·宁夏银川·模拟预测）如图所示，是以O为坐标原点的三维空间坐标系，在平行于z轴、半径为r（r未知）的圆柱形空间内充满沿z轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。在圆柱形空间外侧且的区域充满沿z轴负方向的匀强磁场，磁感应强度。在z轴上的S点（0，0，H）处有一粒子源，时刻沿各个方向均匀发射质量为m、电量为、初速度大小为的带电粒子。已知所有粒子到达平面前均未穿出电场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子到达xOy平面时在电场中运动的最大时间差； (2)若沿y轴正方向射出的粒子，经过y轴时第一次穿出电场，求圆柱形电场横截面的半径r和粒子第二次穿出电场时的位置坐标。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，沿z轴正方向射出的粒子，其运动的时间最长，沿z轴负方向射出的粒子，其运动时间最短。在电场中，根据牛顿第二定律有 最大时间差为 联立解得 （2）根据抛体运动规律，有，， 联立解得 粒子进入匀强磁场后，平行于平面做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力， 则有 解得 轨迹俯视图，如图所示 粒子在磁场中转过圈后，沿x轴正方向返回电场，在磁场中的运动时间为 沿z轴负方向的速度为 沿z轴负方向运动的距离为 再次返回电场后，第二次穿出电场前，在电场中的运动时间为 沿z轴负方向运动的距离为 沿z轴负方向运动的距离为 故第二次穿出电场时的位置坐标为。 2 学科网（北京）股份有限公司 $粒子在电场和磁场中的往复运动、带电粒子在组合场中的立体空间问题专项训练 粒子在电场和磁场中的往复运动、带电粒子在组合场中的立体空间问题专项训练 考点目录 粒子在电场和磁场中的往复运动 带电粒子在组合场中的立体空间问题 考点一 粒子在电场和磁场中的往复运动 例1．（2026·湖北·高考真题）如图所示，在平面内，区域存在匀强电场，电场强度大小为、方向沿轴负方向；在区域，有一个以为圆心、为半径的半圆形区域，半圆形区域内既无电场也无磁场，半圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里。一质量为、电荷量为的带正电粒子从坐标为的点静止释放，之后从坐标为的点第一次射出磁场。不计重力，求： (1)粒子第一次进入磁场时的速度大小； (2)磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二次射出磁场时的位置坐标。 例2．（2026·云南昆明·三模）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，轴上方存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度（大小未知），方向沿轴向上，磁场方向垂直纸面向里。轴下方存在方向沿轴向上的匀强电场（图中未画出），场强为（大小未知）。一质量为、电荷量为的带正电小球（可视为质点），从y轴上的点以速度沿轴正方向抛出，经轴上的点后与轴正方向成进入轴上方后恰能做匀速圆周运动。、两点间距离与、两点间距离满足关系：，重力加速度为，以上物理量中、、、为已知量，其余量大小未知。求： (1)电场强度与的大小之比； (2)若小球可多次（大于两次）通过点，则磁感应强度为多大； (3)若小球可恰好两次通过点，则磁感应强度为多大；小球两次通过点的时间间隔为多少。 例3．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）为了使粒子经过一系列的运动后，又以原来的速率沿相反方向回到原位置，可设计如下的一个电磁场区域（如图所示）：直线以下是水平向左的匀强电场；区域I（梯形）内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域II（）内的磁场方向垂直纸面向里，大小为（未知）；区域III（虚线之上、以外）的磁场方向垂直纸面向外，大小也为。已知等边的边长为，、分别为、的中点。带正电的粒子从点正下方、距离点为的点以某一速度射出，在电场力作用下从边中点以速度垂直射入区域I，再从点垂直射入区域III，又经历一系列运动后返回点（粒子重力忽略不计）。求： (1)该粒子的比荷； (2)直线以下电场强度的大小； (3)粒子在点的速度； (4)粒子从点出发再回到点的整个运动过程所需时间。 变式1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系中，第一象限存在沿轴负方向的非匀强电场，电场强度的大小满足，其中，第二象限存在垂直于平面向外的匀强磁场（大小未知），第三、四象限存在沿轴正方向的匀强电场（大小未知），、为轴上的点，其中坐标为，坐标为，为轴正半轴上的点，坐标未知。带正电的粒子质量为，电量为，从轴上的点以初速度向第四象限运动，速度方向与轴负方向的夹角，刚好从点离开电场进入磁场，在磁场中偏转从点离开磁场进入第一象限的电场中。不计空气阻力和带电粒子的重力，已知质量为的物体在回复力作用下做简谐运动时，其周期为。求： (1)三、四象限的电场强度的大小； (2)的坐标及匀强磁场的大小； (3)粒子从开始第23次通过轴的时间及第26次通过轴的横坐标。 变式2．（2026·河南南阳·三模）如图，光滑水平面内有一直角坐标系xOy，其0≤y≤h=0.2m的范围内有一方向垂直纸面向外的匀强磁场，同时在第三、第四象限分别有沿x轴正方向和负方向的关于y轴对称的匀强电场，电场强度大小均为。一比荷的带正电弹性小球从坐标原点O处以大小为的初速度沿与x轴正方向成37°角射入磁场，刚好没有从磁场的边界上射出磁场。小球进入第四象限时与一平行于x轴的挡板（图中未画出）在y轴上的某处相碰，碰后小球沿x轴方向的分速度不变，沿y轴方向的分速度大小相等，方向相反。已知：，，不计小球重力和任何阻力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)挡板与O点的距离； (3)小球从开始运动到第三次回到x轴的时间。 变式3．（2026·天津红桥·二模）一个带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x正方向成的方向射入第一象限内磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿x轴负方向。不计粒子重力，求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过y轴所需要的时间t。 考点二 带电粒子在组合场中的立体空间问题 例1．（2026·湖南长沙·二模）如图所示为固定在地面上的某种离子发射装置，由离子源、间距为d的中心有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体空间构成，立方体右端面P正对着屏幕Q，Q为平行于M、N板的足够大平板，P、Q之间的距离也为d。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y、z坐标轴。M、N板之间存在方向沿z轴正方向大小为E1的匀强电场；立方体区域内存在大小的匀强磁场和大小可调的匀强电场E2，方向均沿y轴正方向；P、Q板之间存在区域范围足够大的匀强电场E3（E3未知），方向沿x轴正方向。离子源在M板中心小孔S处无初速释放质量为m、电荷量为q的某种正离子，经M、N间电场加速后在金属板N中心点O处进入立方体区域，离子从右端面P射出后进入P、Q间的电场，经电场偏转最终打在屏幕Q上。忽略离子间的相互作用，不计离子重力。 (1)求正离子从金属板N中心点O处进入立方体区域的速度v0的大小； (2)若正离子能从右端面P射出，求射出P时的x坐标，以及能从右端面P射出的E2的最大值； (3)若撤去立方体内的电场，且将匀强磁场方向调整为平行于Oxy平面且与x轴正向和y轴正向均成45°角。离子从右端面P射出后，经过匀强电场后打在屏幕Q上，打在Q上的速度与从右端面P射出时的速度大小相等，求匀强电场E3的大小。 例2．（2026·天津河西·三模）现代技术中常用交替的电磁场对带电粒子的运动进行控制。某科研小组模拟了一种多级引导装置：如图所示，在纸面内有一个半径为的圆形匀强磁场区，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧存在着用竖直边界划分的区域1、区域2、区域3等足够多个等宽区域，各区域在竖直方向足够长。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度大小为；偶数区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。圆上两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区，经过点进入区域1时，速度大小为，方向与左边界夹角为45°斜向下；进入区域2时，粒子速度方向与左边界夹角为60°斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力，不考虑电磁场的边界效应。求： (1)带电粒子的电性及比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小。 例3．（2026·重庆·三模）在可控核聚变装置中，中性束注入（NBI）是加热等离子体的重要手段。装置简化模型如图甲所示。三维坐标系中；x轴水平向右，y轴竖直向上，z轴垂直纸面向外。区域Ⅰ存在方向沿轴的匀强电场，区域Ⅱ存在方向沿轴的匀强磁场（未画出）。一个质量为m、电荷量为的离子，从区域Ⅰ中的点静止释放，不计重力。 (1)若区域Ⅰ的电场强度为E，求离子到达区域Ⅱ时的速度大小； (2)若已知，离子进入磁场后从坐标原点O穿出区域Ⅱ，求区域Ⅱ的磁感应强度大小B及到达O点时速度与轴的夹角； (3)满足（2）的条件，离子到达O点时，立即撤去区域Ⅰ中的电场和区域Ⅱ中的磁场，同时在的区域加如图乙所示磁镜。该磁镜为轴向对称分布的非匀强磁场。其对称轴沿方向，轴向（方向）的分磁感应强度大小随x线性增大，满足，其中为处的轴向分磁感应强度。已知粒子在此非匀强磁场中运动满足“磁矩不变量”：常量，其中是垂直于x轴方向的分速度大小。 ①证明：离子在磁镜中运动时，其平行于x轴的速度分量与的关系为：； ②离子在磁镜中沿x方向的分运动为减速运动，最终减为0后被磁场“反射”。若磁镜区域的长度有限，仅为，为了使离子不能穿透磁场逃逸（即被“反射”），求k（称为磁场的梯度系数）应满足的条件（用、L表示）。 变式1．（2026·河北邢台·模拟预测）在三维坐标系Oxyz中，沿y轴正方向依次有平行于xOz平面的足够大的平面、、、…、，其中位于xOz平面内，相邻两平面间的距离均为L，xOy平面水平，以竖直向下为z轴正方向。在与、与、与、…平面间存在电场强度大小相等、方向竖直向下的匀强电场；在与、与、与、…平面间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小依次为、、、、…、，其中为未知量，如图所示。现有一质量为m、电荷量为的带电粒子从平面上的O点以大小为、方向沿y轴正方向的速度射入匀强电场中，粒子经过平面时的坐标为，，且恰好能经过平面，不计粒子的重力。 (1)求匀强电场的电场强度大小。 (2)求磁感应强度大小。 (3)若该带电粒子从平面上的O点以大小为、方向与y轴正方向成30°（与x轴正方向成60°）角且垂直于电场方向的速度射入匀强电场中，求粒子第一次经过平面时的z轴坐标和第一次经过平面时的x轴坐标。 变式2．（25-26高三下·广东广州·阶段检测）如图所示，一足够长的长方体被正方形分成上下两个长方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，其中。整个长方体空间存在沿z轴负方向的匀强电场（图中未画出），另外空间Ⅱ内同时还存在沿z轴正方向的匀强磁场（图中未画出），一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从边的中点P以初速度平行于y轴正方向射入长方体区域，粒子恰好经过正方形的中心点Q，且粒子在空间Ⅱ内运动的过程中，恰好未从长方体侧面飞出长方体区域，不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小 (2)粒子经过Q点时的速度 (3)匀强磁场的磁感应强度大小 变式3．（2026·宁夏银川·模拟预测）如图所示，是以O为坐标原点的三维空间坐标系，在平行于z轴、半径为r（r未知）的圆柱形空间内充满沿z轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。在圆柱形空间外侧且的区域充满沿z轴负方向的匀强磁场，磁感应强度。在z轴上的S点（0，0，H）处有一粒子源，时刻沿各个方向均匀发射质量为m、电量为、初速度大小为的带电粒子。已知所有粒子到达平面前均未穿出电场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子到达xOy平面时在电场中运动的最大时间差； (2)若沿y轴正方向射出的粒子，经过y轴时第一次穿出电场，求圆柱形电场横截面的半径r和粒子第二次穿出电场时的位置坐标。 2 学科网（北京）股份有限公司 $