25.2.3 降次——解一元二次方程（因式分解法）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过复习因式分解方法与零乘积性质，结合配方法、公式法计算量大的情境引入，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生理解降次转化思想。 其亮点是情境化例题（如明信片裁剪、物理上抛运动）与分层作业设计，融入数学眼光（观察现实问题）、数学思维（推理分解过程）、数学语言（规范步骤表达），提升学生观察与运算能力，为教师提供系统教学资源和分层练习支持。

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 学习目标 1.理解因式分解法解一元二次方程的原理：若 ab=0，则 a=0或b=0（零乘积性质）. 2.掌握用提公因式法、平方差、完全平方公式分解因式解一元二次方程的步骤. 3.能根据方程特点，灵活选择直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程. 4.通过复习因式分解与零乘积定理，体会降次转化的数学思想（二次方程转化为两个一次方程）. 5.经历观察、对比、归纳、练习的过程，提升观察方程结构、简便运算的能力. 素养目标 旧知回顾 1：因式分解常用方法 ① 提公因式：am+bm+cm=m(a+b+c) ② 平方差：a2-b2=(a+b)(a-b) ③ 完全平方：a22ab+b2=(a b)2 ④十字相乘法： 旧知回顾 2：零乘积性质 思考：若两个数相乘等于 0，这两个数有什么特点？总结定理：如果ab=0，那么a=0或 b=0. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 复习回顾 之前学配方法、公式法解一元二次方程，计算量大。若方程能整理成两个一次因式乘积 = 0 的形式，就能直接降次为一元一次方程，这种方法就是因式分解法。 情境引入 探究 1：简单提公因式型方程 例题 1：某商店售卖正方形明信片，每张明信片边长为 x cm，现在裁剪出 4 条宽 1cm、长xcm 的长条装饰边框。已知1 张正方形明信片的面积与 4 条长条的总面积相等，求明信片的边长 x. 探索新知 解：根据题意：x2-4x=0. 因式分解左边：x(x-4)=0 根据零乘积定理：x=0或 x-4=0 解两个一次方程：x1=0（舍）, x2=4 ∴明信片的边长为4cm. 探究 2：移项后整体提公因式型 例题2：校园矩形宣传栏设计，学校规划两块矩形展示板：大矩形展板长为(x+3)m，宽为(x-1)m；小长条展板长同样为(x+3)m，宽为1m.已知大矩形展板面积 = 小长条展板面积，求x的值。 解：大矩形面积：(x+3)(x-1)，小长条面积：1(x+3)=x+3 根据面积相等列等式：(x+3)(x-1)=x+3 移项，得(x+3)(x-1)-(x+3)=0，整体提取公因式，得(x+3)(x-1-1)=0 ∴(x+3)(x-2)=0，由零乘积性质：x+3=0或 x-2=0，解得：x1=-3,x2=2 ∵展板长度x+3>0，若x=-3，长为 0，不存在展板，舍去；符合题意的解：x=2. 探究 3 平方差型、完全平方型 例题3：正方形画布裁剪,有一大一小两块正方形画布，大画布边长为2xdm，小画布边长为3dm.两块画布的面积之差恰好为 0，求x。 解：大正方形面积(2x)2=4x2，小正方形面积32=9 由题知4x2- 9 = 0 用平方差公式分解因式(2x+3)(2x-3)=0， 2x+3=0或 2x-3=0解得x1=-, x2= 画布边长x>0，舍去负数解，得x= 例题4.一个数 x，这个数的平方，减去这个数的 6 倍再加 9，结果等于 0，求出这个数。 解： 由题知x2-6x+9=0 完全平方分解(x-3)2=0，得两个相等实数根：x1=x2=3 ∴这个数为3 练习：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度（单位：m）约为 10x–5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m. 即 10x–5x2=0. 即学即练 因式分解，得5x(2–x)=0. x=0或2–x=0. x1=0（舍），x2=2. 物体经过2秒落回地面 知识归纳 1.因式分解法：通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2.因式分解法的基本步骤：①移项 ：方程的右边=0； ②方程的左边分解因式；③方程化为两个一元一次方程； ④写出方程的两个解. 例 解下列方程：（1）x(x–5)+x–5 = 0； 解：左边分解因式，得 (x–5)(x+1)=0. 于是 x – 5=0，或 x+1=0， 即 x1=5，x2= – 1. 典例分析 （2）x2–9=0； （3）x2 +6x+9 = 10； 解：得(x+3)（x-3）=0. x+3=0或=0 即 x1= ，x2= 3 . 解：(x+3)2=10. 得x+3=±， 即x1= –3–，x2= – 3+. 1.由方程x(x-1)=0可以得到的方程是 ( ) A. x=0或x-1=0 B. x=0 C. x-1=0 D. x+1=0 2.方程(x-3)(x+2)=0的根是 ( ) A. x1=3,x2=2 B. x1=3,x2=−2 C. x1=−3,x2=−2 D. x1=−3,x2=2 当堂检测 A B 3.解下列方程： 选自教材第14页 练习 第1题 （1）x2+x=0； （2）x2 –2x = 0； 解：左边分解因式，得 x(x+1)=0. 于是 x=0，或 x+1=0， 即 x1=0，x2= – 1. 解：左边分解因式，得 x(x–2)=0. 于是 x=0，或 x–2=0， 即 x1=0，x2= 2. 当堂检测 （3）3x2 – 6x = –3； （4）4x2 – 81 = 0； 解：方程变形，得 3(x2–2x+1)=0. 左边分解因式，得 3(x–1)2=0. 于是 x–1=0，即 x1=x2=1. 解：左边分解因式，得 (2x+9)(2x–9)=0. 于是 2x+9=0，或 2x–9=0， 即 x1= – ，x2= . 选自教材第14页 练习 第1题 （5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x–4)2 = (5–2x)2 . 解：方程变形，得 6x2–x–2=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(3x–2)=0. 于是2x+1=0，或 3x–2=0， 即 x1= – ，x2= . 解：左边分解因式，得 [(x–4)+(5–2x)][(x–4)–(5–2x)]=0， (1–x)(3x–9)=0. 于是1–x=0，或 3x–9=0， 即 x1=1，x2=3. 选自教材第14页 练习 第1题 课堂小结 1.用因式分解法解一元二次方程的概念：将方程左边因式分解，右边=0. 2.用因式分解法解一元二次方程的依据：如果ab=0，那么a=0，或b=0. 3.用因式分解法解一元二次方程的步骤：移项，分解因式，化为两个一元一次方程，四解. 1.用因式分解法解下列方程： （1）3x2–12x= –12； （2）4x2–144=0； 解：方程变形，得3(x2–4x+4)=0. 左边分解因式，得3(x–2)2=0. 于是 x–2=0，即 x1=x2=2. 解：左边分解因式，得 (2x+12)(2x–12)=0. 于是 2x+12=0，或 2x–12=0， 即 x1= –6，x2=6. 课后分层作业--基础层 2.解方程(x+1)2 – 8x – 8 = 0. 解：方程变形，得 (x+1)2–8(x+1)=0. 左边分解因式，得 (x+1)(x+1–8)=0， 即(x+1)(x–7)=0. 于是 x+1=0，或 x–7=0， 即 x1= – ，x2= . 课后分层作业--提升层 3.如图，把圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4 .求小圆形场地的半径. 解：设小圆形场地的半径为 x m，则大圆形场地的半径为 (x+5) m. 由题意，得π(x+5)2=πx2. 可化为(x+5)2=x2，(x+5)2 – (x)2=0， [(x+5)+x][(x+5) – x]=0，即(x+5)(5 – x)=0. 所以 x1= –2（不合题意，舍去），x2=10. 答：小圆形场地的半径为10 m. 课后分层作业--培优层 $