课时分层评价15 双曲线及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价15双曲线及其标准方程用P229 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(-5,0),F2(5,0),动点P 满足|PF1|一|PF,|=8,则动点P的轨迹是() A.椭圆 B.一条射线 C.双曲线 D.双曲线的一支 答案：D 解析：因为F1(-5,0),F2(5,0),所以|FF2|=10,若动点P满 足||PF1|一|PF2||=8<|FF2|=10,则动点P的轨迹是以 F,F2为焦点的双曲线.而题目中动点P只满足|PF|一|PF2|= 8,有|P乃1|>|PF2|,所以动点P的轨迹是以F,F2为焦点的双 曲线的右支.故选D. 2.已知双曲线器十=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于() A.2 B.5 C.7 D. 答案：D 解析：根据题意可知，双曲线的标准方程为器一器=1由其焦距为4， 得c=2,则有c2=2-a十3-a=4,解得a=.故选D. 3.己知A,B两地相距800，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, 且声速为340m/s,则炮弹爆炸点的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 ,独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：C 解析：设炮弹爆炸点为点P,由题意可得|PA|一|PB|=340×2 =680<800=|AB|,所以炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.故选 C. 4.(多选题)若双曲线器-号=1上的点到一个焦点的距离为12，则到 另一个焦点的距离为() A.2 B.7 C.17 D.22 答案：AD 解析：设双曲线器-号=1的左、右焦点分别为F1,,则a=5,b =3,c=V34,设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|=12(12>a+c =5十V34),所以点P可能在左支，也可能在右支，由||PF|一 PF2||=2a=10,得|12-|PF2||=10,所以|PF2|为22或 2.所以点P到另一个焦点的距离是22或2.故选AD 5.已知双曲线等-器=1(a>0,b>0),F,,为其两个焦点，若过 焦点F的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|=m,则 △ABF2的周长为( A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m 答案：C 解析：由题意可知|AF2|>|A|,|BF2|>|BFI,由双曲 线的定义，知|AF2|-IAF1|=2a,IBF2|-|BF1|=2a,所 以|AF2|+|BF2|=(|AF1+|BFI)+4a=m+4a,于是△ ABF2的周长I=|AF2|十|BF2+|AB|=4a十2m.故选C. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.己知双曲线￥ -号=1上一点P到左焦点的距离为10，则PF 的中点N到坐标原点O的距离为( A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 答案：A 解析：设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PFF2的中 位线，所以|ON|=号|PF2|,因为||PF|一|PF2||=4, PF1|=10,所以|PF2|=6或14，所以1ON|=号|PF2|=3或 7.故选A. 7.已知点A(0,2),B(0,一2)，C(3,2),若动点x,y)满足1MAI +|AC|=|B|+|BC|,则点M的轨迹方程为 答案：y2-等=10y≤-1) 解析：因为|MA|+IAC|=IB|+|BC|,即|MA|+3=I MB1+V32+[2-（-2],所以|M4|-|B|=2.故点xy)的 轨迹是以A(0,2),B(0,一2)为焦点，2a=2的双曲线的下支.此时a =1,c=2,b2=c2-a2=3.故点M的轨迹方程为y2-等=10y≤-1) 8.若焦点在x轴上的双曲线经过点P(4V2,一3)，且Q(0,5)与两焦 点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 答案：器-号=1 解析：设焦点为F1(-c,0),F2(c,0(c>0),则由QF1⊥QF2,得 kQ,kQ:=一1，所以是=-1，所以c=5设双曲线方程为号-器= 1(a>0,b>0),因为双曲线过点P4V2,-3),所以登-是=1，又 因为c2=a2+b2=25,所以a2=16,b2=9.所以双曲线的标准方程为 器-号=1. 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 9.(双空题)设P是双曲线x2一号=1的右支上的动点，F为双曲线的 右焦点，已知A(3,1),B(3,6),则|PA|+|PF|的最小值 为 ;IPB|十IPFI的最小值为 答案：√26-237 解析：设双曲线的另一焦点为F',则有F(一2,0)，F(2,0),连接 AF(图略)，易知，点A在双曲线内，点B在双曲线外，则|PA|十1 PF|=|PA|+(|PF|-2)≥IAF|-2=√26-2：IPB|+I PF|≥|BF|=37 10.(13分)已知方程x2+y2=4,其中k为实数，对于不同范围的k 值，分别指出方程所表示的曲线类型 解：①当k=0时，y=士2，表示两条与x轴平行的直线： ②当k=1时，方程为x2十y2=4,表示圆心在原点，半径为2的圆； ③当k<0时，方程为号-誉=1，表示焦点在y轴上的双闽线； ④当0<k<1时，方程为誉+号=1，表示焦点在x轴上的椭圆： ⑤当k>1时，方程为誉+号=1，表示焦点在y轴上的稀圆 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) 1.双曲线C:器-器=1(b>0)的左、右焦点分别为F,B,A为 双曲线C左支上一点，直线AF2与双曲线C的右支交于点B,且 |AB=15,∠FAF2=号，则AF十AF2=() A.9 B.26 C.25 D.23 答案：B 解析：由题意知|AF2|一|AF1|=|BF1|一|BF2|=2a=10 令|BF2|=x,则|AFI=x+15-10=x+5,|BFI=x+10,△ ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ABF1中，如图所示，|AB|=15,∠FAF2=号，则cos∠FAF2= ABaB=克，所以2+50=，则=3，故4 2 ABAF 30x+5 =8,则|AF2|=18,所以AF1+|AF2=26.故选B. 12.(多选题)已知双曲线C:器-器=1a>0,b>0)过点(3，V2)和点 (√3，0)，下列选项正确的是( A.C的标准方程为号-y2=1 B.C与椭圆名+器=1有共同的焦点 C.曲线x2+0y一2)P=4过C的一个焦点 D.设P为C的右支上任一点，F,F2为焦点，△PFF2的内切圆过 点(3,0) 答案：AD 解析：由题意得双曲线方程为号-y2=1,a=√3，b=1,c=2,焦点 分别为（士2,0）.故A正确，B、C错误；设△PFF2的内切圆与x轴 切于A点，则|PF1|一|PF2|=|FA|一|AF2|,即A点在双 曲线右支上，所以A(W3,O),故D正确.故选AD 13.已知F,F分别为双曲线餐-=1的左、右焦点，P3,1)为双 曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|十|AF2|的最小值 为 答案：37-25 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF|-2W5,所以要求 AP|+|AF2|的最小值，只需求|AP|十|AF|的最小值.如图所 示 P(3,1) 0 下2 连接FP交双曲线的右支于点A0.当点A位于点Ao处时，|AP|十 AF|最小，最小值为|PF|=√[3-(-3]+12=37故|AP| +|AF2|的最小值为V37-25 14.(15分)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、 正北处有3个监测点A,B,C,且|OA|=|OB|=|OC|=30km, 一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收 到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早织 s.(注：信号每秒传播Vkm) 北 十东 B ()求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为 保证有救援希望，扫描半径r至少是多少？ 解：(I)设观察员可能出现的位置为点P(x,y),由题意，得|PB|一 PA|=积×%=40<|AB|=60,故点P的轨迹为以A,B为焦点 的双曲线的左支，设双曲线的方程为器-是=1(a>0,b>0,x≤一)， 又2a=40,2c=60,所以b2=c2-a2=500,故所求轨迹方程为品 500=1(x≤-20)】 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)设轨迹上一点为Mx,y), 则|MC|=Vx2+Gy-30)2=Vx2+y2-60y+900, 又希一品=1，所以2=2+400， 所以1MC|=V层y2-60y+1300 =V层y-9y+800≥20W2, 当且仅当y=9时，|MC|取得最小值20W2,故扫描半径r至少是 20/2 km. @创新拓展 15.(5分)从某个角度观察篮球（如图①），可以得到一个对称的平面图 形.如图②，篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的粘合线看成坐标 轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周 长八等分，且AB=BC=CD=2,视AD所在直线为x轴，则双曲线 的标准方程为 图① 图② 答案：-背=1 解析：设所求双曲线方程为器-器-1a>0,b>0),因为AB=BC- CD=2,则点C的坐标为(1,0)，将其代入双曲线方程，得a=1,又 坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以，点 (,华)在双闽线上，得号-亭=1，则2=号，故所求双曲线的标 准方程为2-背=1 16.(17分)已知△OF2的面积为26，且0示·F0=m,其中O为坐标 原点 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)设√6<m<4V6,求O示与F0的夹角0的正切值的取值范围： (2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所 示，1O示1=，m=(-1)c2,当1O01取得最小值时，求此双 曲线的标准方程， 引olF0sin(m-)=2W6, 解：(1)因为O.F0os6=m, 所以an0=46 m 又V6<m<4V6, 所以1<tan0<4, 即an0的取值范围为(1,4)， 2)设双由线的标准方程为器-器=10a>0,b>0,0,y),则F0 (-c,y), 所以S△or0=克|O|·|h|=2V6, 则n=士姬 又O示F0=m, 即(c,0)-c,)=(-1)c2, 解得=c, 所以1001=+y=V得c2+盟≥V12=2V5,当且仅当c=4时 取等号，|00|最小为25， 这时Q的坐标为（√6，V6)或(6，-V6) 独家授权侵权必究· 色学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 -=1， 2=4, 因此 所 +b2=16, 以b2=12, 于是所求双曲线的标准方程为婴一器=1. 学生用书↓第61页 ·独家授权侵权必究·