智慧广场——搭配问题（解决问题讲义）数学青岛版三年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过分类梳理与方法归纳构建搭配问题知识体系，用对比表格呈现排列与组合的核心区别，通过四类典型题型框架图（两类事物搭配、数字排列、组合类、路线搭配）串联连线法、计算法等基础方法，清晰呈现重难点及内在逻辑。 练习设计分层递进，A层基础题巩固连线法等技能，B层拔高题如数字排列（含0的情况）提升推理能力，C层拓展题如篮球联赛场次计算深化模型意识。典型例题配变式训练，助力学生从具体到抽象，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

智慧广场——搭配问题 1.搭配问题基础方法 ---- 连线法：将两类事物分别排成两列，按顺序一一连线，连线的总数量就是搭配的总种数，能保证不重复、不遗漏。 ---- 计算法：如果完成一件事需要分两步，第一步有 m 种不同选择，第二步有 n 种不同选择，那么总共有 m×n 种不同的搭配方法。 2.排列与组合的区分 ---- 排列：和事物的顺序有关，比如数字组数、排队站位，交换两个事物的位置，结果会发生变化。 ---- 组合：和事物的顺序无关，比如握手、搭配衣服、选物品，交换两个事物的位置，结果不会发生变化。 3.常见题型解题技巧 ---- 数字组数：按从高位到低位的顺序依次确定每个数位的数字，注意0 不能放在最高位，按顺序列举避免重复遗漏。 ---- 握手 / 单循环比赛：可以用累加计算（总人数 - 1，依次递减相加），也可以用 “总人数 ×(总人数 - 1)÷2” 计算总次数。 类型 1 两类事物的基础搭配（乘法原理） 典型例题 1：妈妈给小明买了 3 件上衣和 2 条裤子，一件上衣搭配一条裤子，一共有多少种不同的穿法？ 【分析】本题属于两类事物的基础搭配问题，分两步完成搭配：第一步选上衣有 3 种选择，第二步选裤子有 2 种选择，用乘法计算总搭配数，也可以通过连线法验证。 【变式训练】早餐店有 4 种主食和 3 种饮品，选择一种主食搭配一种饮品，一共有多少种不同的早餐搭配？ 类型 2 简单数字排列问题 典型例题 2：用 1、3、5 三个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 【分析】本题属于有序排列问题，两位数分为十位和个位，先确定十位上的数字，再搭配个位的数字，按顺序列举；十位有 3 种选择，确定十位后个位剩 2 种选择，用乘法计算。 【变式训练】用 0、2、4 三个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 类型 3 组合类问题（握手 / 比赛） 典型例题 3：4 个好朋友见面，每两个人握一次手，一共要握多少次手？ 【分析】本题属于组合问题，握手和顺序无关，两人互相握手只算 1 次。可以用累加的方法：第一个人和其余 3 人握手，第二个人和剩下 2 人握手，第三个人和最后 1 人握手，加起来就是总次数。 【变式训练】三年级 3 个班进行足球单循环比赛，每两个班赛一场，一共要赛多少场？ 类型 4 路线搭配问题 典型例题 4：从学校到公园有 2 条路，从公园到少年宫有 3 条路，小明从学校经过公园到少年宫，一共有多少种不同的走法？ 【分析】本题属于分两步的搭配问题，第一步从学校到公园有 2 种选择，第二步从公园到少年宫有 3 种选择，用乘法计算总路线数。 【变式训练】从家到超市有 3 条路，从超市到学校有 4 条路，从家经过超市到学校，一共有多少种不同的走法？ A夯实基础 1．六年级为学校艺术节选送节目，现在要从3个舞蹈节目中选出2个节目，从2个唱歌节目中选出1个节目，一共有多少种选送方案？（提示：可以文字描述、画图、列表格或计算） 2．皮皮从家到学校要经过两条河，他有几种走法？分别是哪些路线？ 3．楼下蛋糕店有4种小蛋糕，乐乐妈妈准备买2种招待亮亮和华华，她一共有几种买法？可以怎样搭配？ 4．蚂蚁之间有一种特殊的信息交流方式，像下图那样，2只蚂蚁碰一次触角就完成了一次信息交流。有4只蚂蚁，每2只交流一次信息，它们一共需要碰_____次触角。聪聪用画一画的方法解决问题，请你接着画一画，并把结果填在上边的横线上。 5．小红从学校到家，有多少条路线？ 6．小丽、小强、小红、小华4个小朋友，每个人都想单独和聪聪、明明分别合拍一张照片。一共要拍多少张照片？ B培优拔高 7．星期天，红红要去参加一个生日聚会，根据下面的衣服，她有（    ）种搭配方法。（每次上装和下装只能各选1件）请画一画或写一写，在下边的方框里表示你的想法。 搭配时要（    ）思考，才能不重复、不遗漏。 8．博物院的吉祥物是淘淘和贴贴，它们的形象来源于中国古代文化中的饕餮纹。小亮、小美、欢欢、乐乐每个人分别和淘淘、贴贴各拍一张照片，一共要拍多少张照片？ 9．优优要参加演出活动，她有3件不同的上衣和4条不同的裙子可选。1件上衣搭配1条裙子，优优一共有多少种不同的搭配方法？ 10．第一小学食堂今天的食谱如下，主食：米饭、馒头、烧饼；菜：红烧豆腐、青椒炒肉、宫保鸡丁。每位学生只能选择一种主食和一种菜，共有几种配餐方法？ 11．从多多家到学校有2条路可以走，从学校到书店有3条路可以走，多多从家到书店一共有几条路可以走？                         12．王风有5元、10元、5角、1元的纸币各一张，每次拿出两张，能有多少种不同的搭配方式？写出搭配后的钱数。 13．一个城市的电话号码原来有7位，现在要升级到8位。现在的电话号码数量大约是原来的多少倍？ C思维拓展 14．某市举办的男子篮球联赛有18支参赛队伍，每两支球队都要打一场比赛。一共要打多少场比赛？ 15．一列火车往返于北京与武汉之间，沿途只停靠保定、石家庄和郑州三站。这列火车需要准备多少种火车票？ 16．学校准备从4名男生和4名女生中选出1名男生和1名女生作为诗词展演的节目主持人，有多少种不同的选法？ 17．三（1）班在筹划参加校运动会接力方案时，决定让本班短跑速度最快的小强同学跑第一棒，其余三名同学跑其他三棒，可以有多少种不同的安排方法？ 18．小明有3件上衣，如果每一件上衣与不同的裤子搭配，小明的衣服共有6种不同的穿法，小明有几条裤子呢？ 19．二（1）班的小平、小宁、小刚、小超四人排了一个小快板节目，准备参加“六一”演出。在演出过程中，队形不断变化（都站成一排）。算一算他们在演出过程中，一共有多少种队形变化形式？ 20．深圳地铁5号线东起罗湖区黄贝岭站，途经龙岗区、龙华区、南山区、宝安区，西至南山区赤湾站。线路总长47.393千米，一共有34个站点，下图是它的部分站点。从赤湾站到前海湾站一共有8个站点，单程需要准备多少种不同的车票？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 智慧广场——搭配问题 1.搭配问题基础方法 ---- 连线法：将两类事物分别排成两列，按顺序一一连线，连线的总数量就是搭配的总种数，能保证不重复、不遗漏。 ---- 计算法：如果完成一件事需要分两步，第一步有 m 种不同选择，第二步有 n 种不同选择，那么总共有 m×n 种不同的搭配方法。 2.排列与组合的区分 ---- 排列：和事物的顺序有关，比如数字组数、排队站位，交换两个事物的位置，结果会发生变化。 ---- 组合：和事物的顺序无关，比如握手、搭配衣服、选物品，交换两个事物的位置，结果不会发生变化。 3.常见题型解题技巧 ---- 数字组数：按从高位到低位的顺序依次确定每个数位的数字，注意0 不能放在最高位，按顺序列举避免重复遗漏。 ---- 握手 / 单循环比赛：可以用累加计算（总人数 - 1，依次递减相加），也可以用 “总人数 ×(总人数 - 1)÷2” 计算总次数。 类型 1 两类事物的基础搭配（乘法原理） 典型例题 1：妈妈给小明买了 3 件上衣和 2 条裤子，一件上衣搭配一条裤子，一共有多少种不同的穿法？ 【分析】本题属于两类事物的基础搭配问题，分两步完成搭配：第一步选上衣有 3 种选择，第二步选裤子有 2 种选择，用乘法计算总搭配数，也可以通过连线法验证。 【答案】一共有 6 种不同的穿法 【详解】 搭配总数 = 上衣数量 × 裤子数量 （种） 答：一共有 6 种不同的穿法。 【变式训练】早餐店有 4 种主食和 3 种饮品，选择一种主食搭配一种饮品，一共有多少种不同的早餐搭配？ 【答案】一共有 12 种不同的早餐搭配 【详解】 搭配总数 = 主食种类 × 饮品种类 （种） 答：一共有 12 种不同的早餐搭配。 类型 2 简单数字排列问题 典型例题 2：用 1、3、5 三个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 【分析】本题属于有序排列问题，两位数分为十位和个位，先确定十位上的数字，再搭配个位的数字，按顺序列举；十位有 3 种选择，确定十位后个位剩 2 种选择，用乘法计算。 【答案】能组成 6 个没有重复数字的两位数 【详解】 方法一：按顺序列举 十位是 1：13、15；十位是 3：31、35；十位是 5：51、53，共 6 个。 方法二：乘法计算 十位有 3 种选择，个位剩余 2 种选择，总个数：（个） 答：能组成 6 个没有重复数字的两位数。 【变式训练】用 0、2、4 三个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？ 【答案】能组成 4 个没有重复数字的两位数 【详解】 0 不能放在十位，因此十位只能是 2 或 4，共 2 种选择； 十位确定后，个位剩余 2 个数字可选，总个数：（个） 分别是 20、24、40、42。 答：能组成 4 个没有重复数字的两位数。 类型 3 组合类问题（握手 / 比赛） 典型例题 3：4 个好朋友见面，每两个人握一次手，一共要握多少次手？ 【分析】本题属于组合问题，握手和顺序无关，两人互相握手只算 1 次。可以用累加的方法：第一个人和其余 3 人握手，第二个人和剩下 2 人握手，第三个人和最后 1 人握手，加起来就是总次数。 【答案】一共要握 6 次手 【详解】 方法一：累加计算 （次） 方法二：公式计算 总次数 = 人数 ×(人数 - 1)÷2 （次） 答：一共要握 6 次手。 【变式训练】三年级 3 个班进行足球单循环比赛，每两个班赛一场，一共要赛多少场？ 【答案】一共要赛 3 场 【详解】 单循环比赛和顺序无关，用累加计算：（场） 分别是一班 vs 二班、一班 vs 三班、二班 vs 三班。 答：一共要赛 3 场。 类型 4 路线搭配问题 典型例题 4：从学校到公园有 2 条路，从公园到少年宫有 3 条路，小明从学校经过公园到少年宫，一共有多少种不同的走法？ 【分析】本题属于分两步的搭配问题，第一步从学校到公园有 2 种选择，第二步从公园到少年宫有 3 种选择，用乘法计算总路线数。 【答案】一共有 6 种不同的走法 【详解】 总走法 = 学校到公园的路线数 × 公园到少年宫的路线数 （种） 答：一共有 6 种不同的走法。 【变式训练】从家到超市有 3 条路，从超市到学校有 4 条路，从家经过超市到学校，一共有多少种不同的走法？ 【答案】一共有 12 种不同的走法 【详解】 总走法 = 家到超市的路线数 × 超市到学校的路线数 （种） 答：一共有 12 种不同的走法。 A夯实基础 1．六年级为学校艺术节选送节目，现在要从3个舞蹈节目中选出2个节目，从2个唱歌节目中选出1个节目，一共有多少种选送方案？（提示：可以文字描述、画图、列表格或计算） 【答案】6种 【分析】本题可以反向思考：从3个舞蹈节目中选出2个节目，也就是需要淘汰1个节目。从2个唱歌节目中选出1个节目，也是需要淘汰1个节目。只要确定了淘汰的节目，也就确定了选送的节目，可以通过连线的方式进行搭配。 【详解】 通过连线，可知共有6种淘汰方案，也就有6种选送方案。 答：一共有6种选送方案。 2．皮皮从家到学校要经过两条河，他有几种走法？分别是哪些路线？ 【答案】 6种；路线见详解 【分析】从皮皮家到第一条河，有两种走法，从第一条河到第二条河有三种走法，根据乘法原理，2×3即可求出总的走法，再一一列举出来。 【详解】2×3＝6（种） 答：皮皮从家到学校要经过两条河，他有6种走法。分别是家→1→3→学校、家→1→4→学校、家→1→5→学校、家→2→3→学校、家→2→4→学校、家→2→5→学校。 3．楼下蛋糕店有4种小蛋糕，乐乐妈妈准备买2种招待亮亮和华华，她一共有几种买法？可以怎样搭配？ 【答案】6种买法；①②、①③、①④、②③、②④、③④ 【分析】4种小蛋糕要买2种，可以进行两两搭配，①可以和剩下的蛋糕搭配，去除重复的部分，②可以和③④搭配，③可以和④搭配，据此解答。 【详解】答：她一共有6种买法，可以①②、①③、①④、②③、②④、③④搭配。 4．蚂蚁之间有一种特殊的信息交流方式，像下图那样，2只蚂蚁碰一次触角就完成了一次信息交流。有4只蚂蚁，每2只交流一次信息，它们一共需要碰_____次触角。聪聪用画一画的方法解决问题，请你接着画一画，并把结果填在上边的横线上。 【答案】图见详解；6 【分析】第一只与后面3只触碰3次，第二只与后面2只触碰2次，第三只与第四只触碰1次即可；由此画出图形并确定触碰的总次数，据此解答。 【详解】根据分析如图： 3＋2＋1＝6（次） 所以它们一共需要碰6次触角。 5．小红从学校到家，有多少条路线？ 【答案】8条 【分析】根据题意，从学校到商场有2条路线，从商场到公园有2条路线，从公园到小红家有2条路线。一共有（2×2×2）条。 【详解】2×2×2 ＝4×2 ＝8（条） 答：有8条路线。 6．小丽、小强、小红、小华4个小朋友，每个人都想单独和聪聪、明明分别合拍一张照片。一共要拍多少张照片？ 【答案】8张 【分析】根据题意可知，每个人都单独和聪聪、明明分别合拍一张照片，所以分两种情况：①每个人分别和聪聪合拍一张照片：小丽和聪聪、小强和聪聪、小红和聪聪、小华和聪聪，一共要拍4张照片；②每个人分别和明明合拍一张照片：小丽和明明、小强和明明、小红和明明、小华和明明，一共要拍4张照片；据此解答。 【详解】根据分析可知： 4＋4＝8（张） 答：一共要拍8张照片。 B培优拔高 7．星期天，红红要去参加一个生日聚会，根据下面的衣服，她有（    ）种搭配方法。（每次上装和下装只能各选1件）请画一画或写一写，在下边的方框里表示你的想法。 搭配时要（    ）思考，才能不重复、不遗漏。 【答案】6；有序； （答案不唯一） 【分析】已知有2件上装，3件下装。根据乘法原理，搭配方法的总数为上装的数量乘下装的数量，即2×3＝6（种）。 搭配时要有序思考，比如先固定一件上装，再与不同的下装进行搭配，这样才能不重复、不遗漏。 设第一件上装为A，第二件上装为B；第一件下装为C，第二件下装为D，第三件下装为E。 那么搭配方式有：A和C、A和D、A和E、B和C、B和D、B和E，共6种。（答案不唯一） 【详解】2×3＝6（种），所以她有6种搭配方法。 搭配时要有序思考，比如先固定一件上装，再与不同的下装进行搭配，这样才能不重复、不遗漏。 （答案不唯一） 8．博物院的吉祥物是淘淘和贴贴，它们的形象来源于中国古代文化中的饕餮纹。小亮、小美、欢欢、乐乐每个人分别和淘淘、贴贴各拍一张照片，一共要拍多少张照片？ 【答案】8张 【分析】从淘淘和贴贴中选一个吉祥物拍照有2种选法，小亮、小美、欢欢、乐乐4个人有4种选法，每次要选一个人和一个吉祥物拍照，因此拍照张数为吉祥物数量乘人数。 【详解】2×4＝8（张） 答：一共要拍8张照片。 9．优优要参加演出活动，她有3件不同的上衣和4条不同的裙子可选。1件上衣搭配1条裙子，优优一共有多少种不同的搭配方法？ 【答案】12种 【分析】已知有3件不同的上衣和4条不同的裙子，因为一件上衣有4条裙子可以搭配，那么3件不同的上衣就用3个4种不同的搭配方法，计算出3件上衣有多少种搭配方法。 【详解】3×4＝12（种） 答：优优一共有12种不同的搭配方法。 10．第一小学食堂今天的食谱如下，主食：米饭、馒头、烧饼；菜：红烧豆腐、青椒炒肉、宫保鸡丁。每位学生只能选择一种主食和一种菜，共有几种配餐方法？ 【答案】9种 【分析】本题考查了简单的乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，…，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事就有 …… 种不同的方法。 【详解】根据分析可得： （种） 答：共有9种配餐方法。 11．从多多家到学校有2条路可以走，从学校到书店有3条路可以走，多多从家到书店一共有几条路可以走？                         【答案】6条 【分析】从家到学校的2条路中选一条有2种选法；从学校到书店的3条路中选一条有3种选法；根据乘法原理可得：2×3，据此解答。 【详解】根据分析可得： 2×3＝6（条） 答：多多从家到书店一共有6条路可以走。 12．王风有5元、10元、5角、1元的纸币各一张，每次拿出两张，能有多少种不同的搭配方式？写出搭配后的钱数。 【答案】6种 【分析】王风有5元、10元、5角、1元的纸币各一张，每次拿出两张搭配，从5元开始，依次与其他三张分别搭配，再将10元，依次与其他两张分别搭配，最后将5角与1元搭配即可；搭配后将钱数相加，即可得到搭配后的钱数分别是多少。 【详解】①5元和10元。 5元＋10元＝15元 ②5元和5角。 5元＋5角＝5元5角 ③5元和1元。 5元＋1元＝6元 ④10元和5角。 10元＋5角＝10元5角 ⑤10元和1元。 10元＋1元＝11元 ⑥5角和1元。 5角＋1元＝1元5角 答：能有6种不同的搭配方式，5元和10元搭配后为15元，5元和5角搭配后为5元5角，5元和1元搭配后为6元，10元和5角搭配后为10元5角，10元和1元搭配后为11元，5角和1元搭配后为1元5角。 13．一个城市的电话号码原来有7位，现在要升级到8位。现在的电话号码数量大约是原来的多少倍？ 【答案】10倍 【分析】增加1位，有0~9，10个数，每个数都可以与原来的7位组成新的电话号码，所以8位的电话号码数量是7位的电话号码数量的10倍，据此作答。 【详解】根据分析，8位的电话号码数量是7位的电话号码数量的10倍。 答：现在的电话号码数量大约是原来的10倍。 C思维拓展 14．某市举办的男子篮球联赛有18支参赛队伍，每两支球队都要打一场比赛。一共要打多少场比赛？ 【答案】153场 【分析】由题意可知，有18支球队比赛，每两支球队之间进行一场比赛，即每队要与其它17支球队各比赛一场，共比赛17场，则18支球队需比赛18×17场；由于两队之间比赛一场，需要去掉重复计算的场次，所以再除以2即可。 【详解】18×（18－1）÷2 ＝18×17÷2 ＝306÷2 ＝153（场） 答：一共要打153场比赛。 15．一列火车往返于北京与武汉之间，沿途只停靠保定、石家庄和郑州三站。这列火车需要准备多少种火车票？ 【答案】20种 【分析】从北京到武汉之间有三站，一共有五站，相当于一条线段上面有五个端点，找出这条线段上面有几条线段（如下图），火车是往返，最后要乘2即可。 【详解】（4＋3＋2＋1）×2 ＝10×2 ＝20（种） 答：这列火车需要准备20种火车票。 16．学校准备从4名男生和4名女生中选出1名男生和1名女生作为诗词展演的节目主持人，有多少种不同的选法？ 【答案】16种 【分析】从4名男生中选1名男生有4种选择，从4名女生中选1名女生有4种选择，当选择1名男生时，对应能选择4种女生，所以一共有4个4种选择方法，据此解答。 【详解】（种） 答：有16种不同的选法。 17．三（1）班在筹划参加校运动会接力方案时，决定让本班短跑速度最快的小强同学跑第一棒，其余三名同学跑其他三棒，可以有多少种不同的安排方法？ 【答案】6种 【分析】小强确定是第一棒，第二棒有3种选择，第二棒选定后，第三棒有两种可能，此时第四棒只有一种可能，小强，小华，小军，小力；小强，小华，小力，小军；小强，小军，小华，小力；小强，小军，小力，小华；小强，小力，小军，小华；小强，小力，小华，小军；共6种方法。 【详解】小强，小华，小军，小力；小强，小华，小力，小军； 小强，小军，小华，小力；小强，小军，小力，小华； 小强，小力，小军，小华；小强，小力，小华，小军； 答：共6种方法。 18．小明有3件上衣，如果每一件上衣与不同的裤子搭配，小明的衣服共有6种不同的穿法，小明有几条裤子呢？ 【答案】2条 【分析】当小明只有1条裤子时，裤子就只有1种穿法，而上衣有3件，因此一共有1个3种不同的穿法，1×3＝3（种），也就是共有3种不同的穿法；不符合题意。 当小明有2条裤子时，裤子就有2种不同穿法，而上衣有3件，因此一共有2个3种不同的穿法，2×3＝6（种），也就是共有6种不同的穿法；符合题意。 解答题目时，可以这样列式计算，用6除以3，求出商即可。 【详解】6÷3＝2（条） 答：小明有2条裤子。 19．二（1）班的小平、小宁、小刚、小超四人排了一个小快板节目，准备参加“六一”演出。在演出过程中，队形不断变化（都站成一排）。算一算他们在演出过程中，一共有多少种队形变化形式？ 【答案】24种 【分析】我们假设小平站在排头，在小平右边有3个人，根据题意可知，这3个人在右边的三个位置上共有6种不同的站法，如下图： 同理，如果让小宁、小刚、小超分别站在排头，也各有6种不同的站法，共有4个6种。因为排头的人不同，所以每组6种站法是不会有重复情况出现的。因此，队形变化形式共有4×6＝24（种）。 【详解】4×6＝24（种） 答：一共有24种队形变化形式。 20．深圳地铁5号线东起罗湖区黄贝岭站，途经龙岗区、龙华区、南山区、宝安区，西至南山区赤湾站。线路总长47.393千米，一共有34个站点，下图是它的部分站点。从赤湾站到前海湾站一共有8个站点，单程需要准备多少种不同的车票？ 【答案】28种 【分析】依次从1号站到其他各站需要7种不同车票、从2号站到其他各站需要6种不同车票、从3号站到其他各站需要5种不同车票…… 【详解】7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（种） 答：单程需要准备28种不同的车票。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $