第六单元 可能性 （解决问题讲义）数学青岛版六年级上册（新教材）

该小学数学“可能性”单元复习讲义通过知识框架系统梳理了核心内容，涵盖事件的确定性与不确定性、可能性大小规律、逆向应用、游戏公平性判断及实际设计五大模块，用结构化呈现方式清晰展示知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础判断事件类型到拓展设计公平游戏，如根据可能性大小反推黑球数量（例3）、设计抽奖方案（例5），培养数学思维与应用意识，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第六单元 可能性 1.事件的确定性与不确定性 确定事件：事件的发生结果是确定的，分为必然事件（一定发生）和不可能事件（一定不发生），分别用 “一定” 和 “不可能” 描述。 不确定事件：事件的发生结果是不确定的，用 “可能” 描述，也叫随机事件。 2.可能性的大小规律 在随机事件中，对应物体的数量越多，事件发生的可能性越大；对应物体的数量越少，事件发生的可能性越小；当各类物体数量相等时，事件发生的可能性大小相等。 3.可能性的逆向应用 根据事件发生的可能性大小，可以反推对应物体的数量关系：可能性大，对应数量多；可能性小，对应数量少；可能性相等，对应数量相等。 4.游戏公平性判断 判断游戏规则是否公平的核心标准：参与游戏的各方获胜的可能性大小相等，则规则公平；可能性不相等，则规则不公平。 5.可能性的实际设计 设计公平游戏或符合要求的随机场景时，可通过调整对应物体的数量，使可能性大小满足题目要求，常见场景有摸球、转转盘、抽卡片、掷骰子等。 类型 1 判断事件的确定性与不确定性 典型例题 1：下列事件中，哪些是一定发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？ （1）小明今年 12 岁，明年 13 岁。 （2）抛一枚硬币，落地后正面朝上。 （3）袋子里全是红球，摸到白球。 （4）下雨天，露天的马路会湿。 【分析】根据自然规律、生活常识和事件本身的性质，区分确定事件和不确定事件，再对确定事件进一步判断是 “一定” 还是 “不可能”。 【答案】一定发生：（1）（4）；不可能发生：（3）；可能发生：（2） 【详解】 （1）人的年龄每过一年增长 1 岁，小明今年 12 岁，明年一定 13 岁，属于确定事件中的必然事件。 （2）抛硬币有正面朝上和反面朝上两种结果，落地后正面朝上是不确定的，属于随机事件。 （3）袋子里只有红球，不可能摸到其他颜色的球，因此摸到白球是不可能发生的。 （4）雨水会落到露天的马路上，下雨天露天马路一定会湿，属于确定事件中的必然事件。 【变式训练】用 “一定”“可能”“不可能” 填空。 （1）冬天过后（ ）是春天。 （2）购买一张彩票（ ）中大奖。 （3）两位数乘一位数，积（ ）是三位数。 （4）没有水，种子（ ）发芽。 【答案】（1）一定；（2）可能；（3）可能；（4）不可能 【详解】 （1）四季更替是固定的自然规律，冬天过后一定是春天。 （2）彩票中奖结果随机，购买一张彩票可能中大奖，也可能不中奖。 （3）两位数乘一位数，积可能是两位数（如 10×2=20），也可能是三位数（如 50×3=150）。 （4）种子发芽需要水分，没有水种子不可能发芽。 类型 2 根据数量判断可能性的大小 典型例题 2：盒子里有 8 个红球、3 个黄球和 1 个白球，球的大小、质地完全相同。任意摸出一个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？摸到哪种颜色球的可能性最小？ 【分析】可能性的大小与对应物体的数量直接相关，总数固定时，数量越多，被摸到的可能性越大；数量越少，可能性越小。比较三种颜色球的数量即可得出结论。 【答案】摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。 【详解】 三种颜色球的数量：红球 8 个，黄球 3 个，白球 1 个。 数量排序：8＞3＞1，红球数量最多，白球数量最少。 根据可能性大小与数量的关系，数量越多摸到的可能性越大，因此摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。 【变式训练】一个转盘被平均分成 8 份，其中 3 份涂红色，2 份涂蓝色，3 份涂黄色。转动转盘，指针停在（ ）色区域的可能性最大，停在（ ）色区域的可能性最小。 【答案】红、黄；蓝 【详解】 转盘被平均分，区域份数越多，指针停留的可能性越大。 红色 3 份，蓝色 2 份，黄色 3 份，份数排序：3=3＞2。 红色和黄色份数相同且最多，蓝色份数最少，因此指针停在红色和黄色区域的可能性最大，停在蓝色区域的可能性最小。 类型 3 根据可能性大小反推数量 典型例题 3：袋子里放了黑球和白球共 10 个，球的大小、质地完全相同。任意摸一个，要使摸到黑球的可能性比白球大，袋子里至少要放多少个黑球？ 【分析】总数量固定时，可能性大小由数量多少决定。要使黑球可能性更大，黑球数量必须多于白球数量，先求出数量相等时的个数，再加 1 即可得到最少的黑球数量。 【答案】6 个 【详解】 当黑球和白球数量相等时，各有 （个），此时摸到两种球的可能性相等。 要使摸到黑球的可能性比白球大，黑球数量必须大于白球数量，因此黑球至少要有 （个）。 答：袋子里至少要放 6 个黑球。 【变式训练】一个不透明的箱子里有铅笔和钢笔共 15 支，任意拿一支，拿到钢笔的可能性更小，那么钢笔最多有多少支？ 【答案】7 支 【详解】 要使拿到钢笔的可能性更小，钢笔的数量必须少于铅笔的数量。 总数量 15 支，当钢笔 7 支、铅笔 8 支时，7＜8，钢笔数量更少，满足条件； 如果钢笔有 8 支，铅笔就只有 7 支，此时钢笔数量更多，拿到钢笔的可能性更大，不符合要求。 因此钢笔最多有 7 支。 类型 4 游戏公平性的判断与设计 典型例题 4：小明和小华玩抽卡片游戏，有 4 张背面相同的数字卡片，正面分别写着 1、2、3、4。将卡片背面朝上打乱，任意抽一张，抽到奇数小明赢，抽到偶数小华赢。这个游戏公平吗？为什么？ 【分析】判断游戏是否公平，核心是比较双方获胜的可能性是否相等。先数出奇数、偶数卡片的数量，数量相等则可能性相等，游戏公平。 【答案】公平，因为抽到奇数和偶数的可能性相等。 【详解】 4 张卡片中，奇数有 1、3，共 2 张；偶数有 2、4，共 2 张。 奇数和偶数的卡片数量相等，因此抽到奇数和偶数的可能性大小相等。 小明和小华获胜的可能性相同，所以这个游戏规则是公平的。 【变式训练】一个转盘被平均分成 6 份，分别标有 1~6 六个数字。小刚和小丽转动转盘，指针指向大于 3 的数小刚赢，指向小于 3 的数小丽赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请修改规则使游戏公平。 【答案】不公平；修改规则示例：指针指向奇数小刚赢，指向偶数小丽赢（答案不唯一，合理即可）。 【详解】 大于 3 的数字有 4、5、6，共 3 个；小于 3 的数字有 1、2，共 2 个。 3＞2，小刚获胜的可能性更大，双方获胜的可能性不相等，因此游戏不公平。 修改规则时保证双方对应的数字数量相等即可，例如：指向奇数小刚赢，指向偶数小丽赢（奇数有 1、3、5 共 3 个，偶数有 2、4、6 共 3 个，双方可能性相等）。 类型 5 可能性的综合实际应用 典型例题 5：学校举行抽奖活动，设置一等奖、二等奖、三等奖和纪念奖四个奖项。要求：抽到一等奖的可能性最小，抽到纪念奖的可能性最大，二等奖和三等奖的可能性差不多。请你设计一个抽奖方案，并说明设计思路。 【分析】可能性大小与奖券数量正相关：可能性越大，对应奖券数量越多；可能性越小，对应奖券数量越少。根据要求按数量多少分配各奖项的奖券数量即可。 【答案】示例：设置 1 张一等奖奖券，5 张二等奖奖券，6 张三等奖奖券，20 张纪念奖奖券（答案不唯一，合理即可）。 【详解】 设计思路： 一等奖可能性最小，因此一等奖奖券数量设置最少，设为 1 张； 纪念奖可能性最大，因此纪念奖奖券数量设置最多，设为 20 张； 二等奖和三等奖可能性差不多，因此二者奖券数量接近，分别设为 5 张和 6 张； 整体数量排序：纪念奖＞三等奖＞二等奖＞一等奖，完全符合题目要求。 【变式训练】超市要设计一个转盘抽奖活动，要求：转到 “谢谢参与” 的可能性最大，转到 “一等奖” 的可能性最小，“二等奖” 和 “三等奖” 的可能性相等。请简单描述转盘的设计方案。 【答案】示例：将转盘平均分成 10 份，1 份标 “一等奖”，2 份标 “二等奖”，2 份标 “三等奖”，5 份标 “谢谢参与”（答案不唯一，合理即可）。 【详解】 设计满足的条件： 一等奖只有 1 份，份数最少，对应转到的可能性最小； 谢谢参与有 5 份，份数最多，对应转到的可能性最大； 二等奖和三等奖各 2 份，份数相同，对应转到的可能性相等。 A夯实基础 1．摸球游戏（球除颜色外其余均相同）。 (1)从甲盒中任意摸出1个球，摸出球的颜色有( )种可能，摸出( )球的可能性最小。 (2)从乙盒中任意摸出1个球，( )摸出红球。（填“一定”“可能”或“不可能”） (3)丙盒中白球和黄球一共有10个，请你设计丙盒中白球和黄球的数量，使其从中任意摸出1个球，摸出白球和黄球的可能性相等。 【答案】(1) 3/三 黄 (2)不可能 (3) 【分析】球的数量越多，被摸到的可能性越大；反之，球的数量越少，被摸到的可能性就越小。球的数量相等，摸到的可能性一样大。盒子里没有这种球就不可能摸到，盒子里全是这种球就一定摸到。 【详解】（1）甲盒一共有3种颜色的球，所以摸出球的颜色就有3种可能，其中黄球个数最少所以摸到的可能性也最小。 （2）乙盒只有白球，所以不可能摸出红球。 （3）题目要求设计盒中白球和黄球一共10个，且任意摸出1个球，白球和黄球的可能性相等，那么黄球和白球的数量必须一样，将10平均分，黄球5个，白球5个。 2．晓东和黎明用两颗玩游戏。谁获胜的可能性大？请说明理由。 【答案】晓东；理由见详解 【分析】掷骰子时，每个骰子出现1～6各点数的可能性是一样的，先列举出两个骰子掷出的点数之和为6、为9的所有可能，再比较，出现次数多的，获胜的可能性就大，据此解答。 【详解】两个点数和为6的情况有：1＋5＝6，2＋4＝6，3＋3＝6，4＋2＝6，5＋1＝6，共5种； 两个点数和为9的情况有：3＋6＝9，4＋5＝9，5＋4＝9，6＋3＝9，共4种； 5＞4，和为6出现的次数多，则晓东获胜的可能性大。 答：晓东获胜的可能性大。因为和为6出现的次数比和为9的多，所以晓东获胜的可能性大。 3．国庆节到了，乐乐超市为了吸引顾客开展了抽奖活动，奖项设置如下。 等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 个数 10 20 50 100 （1）获得（    ）等奖的可能性最大，获得（    ）等奖的可能性最小。 （2）王阿姨去抽奖时得知，一等奖被抽走了1个，二等奖被抽走了11个，三等奖被抽走了12个，四等奖被抽走了64个。王阿姨获得几等奖的可能性最大？获得几等奖的可能性最小？（抽走了的不放回）。 【答案】（1）四；一 （2）王阿姨获得三等奖的可能性最大，获得一等奖和二等奖的可能性最小 【分析】（1）四等奖的个数最多，抽到的可能性最大；一等奖的个数最少，抽到的可能性最小； （2）依次算出王阿姨去抽奖时，四个奖项分别还剩多少个。再比较，得出最多的则抽到的可能性最大；最少的则抽到的可能性最小。 【详解】（1） 所以获得四等奖的可能性最大，获得一等奖的可能性最小。 （2）一等奖：（个） 二等奖：（个） 三等奖：（个） 四等奖：（个） 答：王阿姨获得三等奖的可能性最大，获得一等奖和二等奖的可能性最小。 4．五（1）班准备举行联欢会，班主任王老师在班上挑选了20人表演节目，节目种类有唱歌、跳舞、朗诵和讲故事，每人表演什么节目现场抽签决定。如果让抽到唱歌的可能性最大，抽到跳舞和朗诵的可能性相等，抽到讲故事的可能性最小。让你写这20张节目签，你会怎样分配呢？把你的想法填在下表中。 节目 唱歌 跳舞 朗诵 讲故事 节目签的张数 【答案】15；2；2；1 【分析】分析题目，一共有几种节目种类，则任意选择1张节目签，就有几种可能；哪种类型的节目签最多，则选择这种节目的可能性最大；哪种类型的节目签最少，则选择这种节目的可能性最小；要使选择两种节目的可能性相等，则这两种节目的节目签数量应该相等，据此解答。 【详解】20＝15＋2＋2＋1 15＞2＝2＞1 因为“抽到唱歌的可能性最大，抽到跳舞和朗诵的可能性相等，抽到讲故事的可能性最小”，所以可以放15张唱歌节目签，1张讲故事的节目签，2张跳舞的节目签，2张朗诵的节目签；填表如下： 节目 唱歌 跳舞 朗诵 讲故事 节目签的张数 15 2 2 1 （答案不唯一） 5．乐乐设计了一个转盘，转盘上有1∼16各个数（如下图）。乐乐和园园玩转盘游戏，游戏规则为转到几号再顺时针向前数几号，若最终为奇数号，乐乐赢：若最终为偶数号，园园赢。这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】不公平，因为无论怎样转，最终都是偶数号 【分析】根据题目可知转到几号再顺时针向前数几号，比如转到5号，再向前数5号，就会到10号，如果转到6号， 再向前数6号，就会到12号，所以无论怎样转，最终都会是偶数号，赢的总是园园。 【详解】根据分析可得： 答：不公平，因为无论怎样转，最终都是偶数号 6．（1）从盒子中任意抽出1张卡片，可能是（    ）卡片。 （2）从盒子中任意抽出1张卡片，抽出（    ）卡片的可能性大。 （3）要使抽出数字卡片和字母卡片的可能性相同，可以怎么做？ 【答案】（1）数字或字母；     （2）字母； （3）增加1张数字卡片或减少1张字母卡片。 【分析】抽卡结果为数字或字母；字母卡3张数量多于数字卡2张，抽中概率更高；使数量相等，增数字卡/减字母卡，即可让两类卡可能性相同。 【详解】（1）数字或字母解析：盒子里只有数字卡片和字母卡片这两种类型，因此任意抽 1 张，可能抽到数字卡片，也可能抽到字母卡片。 （2）字母解析：盒子中有 2 张数字卡片、3 张字母卡片，字母卡片的数量多于数字卡片，数量越多，被抽到的可能性越大，因此抽出字母卡片的可能性大。 （3）可以增加 1 张数字卡片，使数字、字母卡片都为 3 张；或减少 1 张字母卡片，使数字、字母卡片都为 2 张。 答：增加1张数字卡片或减少1张字母卡片。 7．盒子里分别放6个球，满足给定的要求，可以放白球、绿球或红球，每个盒子里应该怎样放？（球除颜色外，其他完全相同，球的颜色用文字替代） （1）从盒子①中摸出一个球，一定是白球。 （2）从盒子②中摸出一个球，不可能是红球。 （3）从盒子③中摸出一个球，可能是绿球。 【答案】（1） （2）（答案不唯一） （3）（答案不唯一） 【分析】无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件。 在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件。 在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。 （1）“摸出一个球，一定是白球”说明盒子里只有白球，没有其他颜色的球，据此解答； （2）“摸出一个球，不可能是红球”说明盒子里没有红色的球，据此解答；（答案不唯一） （3）“摸出一个球，可能是绿球”说明盒子里有绿球也有其他颜色的球，据此解答。（答案不唯一） 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 B培优拔高 8．学习了小数乘除法后，小卓和小育设计了一个数学游戏，将下面8张卡片反扣在桌面上（所有卡面背面相同），每次从中摸出一张，用6.8与之进行运算。 （1）谁获胜的可能性大？为什么？ （2）你能修改卡片上的运算符号，使游戏公平吗？写出修改方案。 【答案】（1）小育；6.8与卡片上的数字进行运算，得数大于6.8的有3种可能，得数小于6.8的有5种可能，得数小于6.8的可能性大，得数大于6.8的可能性小。（理由不唯一） （2）改成 【分析】（1）一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。一个不等于0的数除以小于1的数，商大于这个数，一个不等于0的数除以大于1的数，商小于这个数。 （2）要使游戏公平，得数小于6.8的可能性和得数大于6.8的可能性同样大。当6.8与卡片上的数字进行运算，得数大于6.8的有4种可能，得数小于6.8的也有4种可能，游戏公平。选择和6.8相乘得数小于6.8的卡片，改变卡片上的运算符号，如可以把改成，也可以把改成，也可以把改成，还可以把改成，还可以把改成。 【详解】（1）6.8×1.48＞6.8、6.8÷0.5＞6.8、6.8÷0.25＞6.8、 6.8÷4.5＜6.8、6.8×0.4＜6.8、6.8×0.75＜6.8、6.8÷1.25＜6.8、6.8×0.96＜6.8 答：小育获胜的可能性大。6.8与卡片上的数字进行运算，得数大于6.8的有3种可能，得数小于6.8的有5种可能，得数小于6.8的可能性大，得数大于6.8的可能性小。 （2）把卡片改成。（答案不唯一） 9．小育和小云玩转盘游戏（如图），若指针停在白色区域，小育赢；停在蓝色区域，小云赢。 （1）选转盘（    ），小育赢的可能性大；选转盘（    ），小云赢的可能性大。 （2）选转盘（    ），两人赢的可能性相同。 （3）小卓在一个转盘上转了15次，有5次指针停在白色区域，其余都停在蓝色区域。这个转盘是什么样子的可能性比较大？请在上图空白转盘上涂一涂。 【答案】（1）B；C （2）A或D （3）（答案不唯一） 【分析】（1）要想小育赢，指针停在白色区域可能性大，转盘上白色区域大，蓝色区域小。要想小云赢，指针停在蓝色区域可能性大，转盘上白色区域小，蓝色区域大。 （2）要想两人赢的可能性相同，指针停在白色区域和蓝色区域的可能性相等，转盘上白色区域和蓝色区域同样大。 （3）在转盘上转15次，有5次指针停在白色区域，有（15－5＝10）次停在蓝色区域，说明指针停在蓝色区域的可能性大。转盘上白色区域小，蓝色区域大。 【详解】（1）选转盘B，小育赢的可能性大；选转盘C，小云赢的可能性大。 （2）选转盘A或D，两人赢的可能性相同。 （3）涂色略。 10．（1）将5张卡片放入一个口袋里，随意摸出一张，要使摸出苹果卡片的可能性最大，摸出梨卡片的可能性最小，摸出的不可能是香蕉卡片，卡片上可能是什么水果？写一写。 （2）把你写的卡片放入口袋里，从口袋里一次摸出2张，有几种可能的结果？分别是什么？ 【答案】（1）卡片上可能是苹果卡片4张，梨卡片1张。（答案不唯一） （2）2种；可能是2张苹果卡片，也可能是1张苹果卡片和1张梨卡片。（答案不唯一） 【分析】（1）写着相应水果的卡片数量越多，则摸到该水果卡片的可能性越大，反之则越小；要使摸出苹果卡片的可能性最大，摸出梨卡片的可能性最小，摸出的不可能是香蕉卡片，则苹果卡片数量大于梨卡片数量，没有香蕉卡片即可，答案不唯一； （2）根据（1）中所写卡片，一次摸出两张，分析摸出的可能情况即可。 【详解】（1）（2）略 11．下表是五年级（1）班同学摸球实验的结果（共摸100次，每次摸后放回）。 颜色 红球 黄球 蓝球 次数 58 32 10 （1）推测盒子里哪种颜色的球最多？哪种最少？ （2）如果再摸一次，摸到哪种颜色球的可能性最大？ （3）盒子里可能有10个球，请你估计三种颜色球的数量。 【答案】（1）红球最多；蓝球最少 （2）红球 （3）红球6个；黄球3个；蓝球1个 【分析】（1）摸球实验中，摸出次数越多，说明盒子里这种颜色的球可能越多；摸出次数越少，球可能越少。比较三种颜色的球摸出的次数，即可得解； （2）可能性大小与球的数量正相关，数量越多，摸到的可能性越大。因为红球数量最多，所以再摸一次，摸到红球的可能性最大。 （3）根据摸球次数的多少，按“摸出次数多的球数量多，摸出次数少的球数量少”的思路来分配10个球：红球摸了58次，次数最多，所以红球数量最多，估计有6个；黄球摸了32次，次数次之，估计有3个；蓝球摸了10次，次数最少，估计有1个。 【详解】（1）58＞32＞10 答：盒子里红球最多，蓝球最少。 （2）答：摸到红球的可能性最大。 （3）红球摸了58次，次数最多，所以红球数量最多，估计有6个； 黄球摸了32次，次数次之，估计有3个； 蓝球摸了10次，次数最少，估计有1个。 答：我估计红球6个，黄球3个，蓝球1个。 12．小宁和小凯玩摸球游戏。每次从盒子中任意摸出一个球。记录球的颜色，然后放回并摇匀，一共摸20次。规定摸到黑球的次数多时小宁赢，摸到白球的次数多时小凯赢。从下面的哪些盒子中摸球是公平的？请说明理由。 【答案】①号 【分析】要使这个游戏规则变得公平，不仅每人摸的次数相同，还要黑、白球的个数必须相同。据此解答。 【详解】①号盒中有5个白球和5个黑球，黑球和白球的个数相同，则摸出黑球和摸出白球的可能性相同，则这个游戏公平； ②号盒中有10个白球和5个黑球，黑球和白球的个数不相同，则摸出黑球和摸出白球的可能性不相同，则这个游戏不公平； ③号盒中有7个白球和8个黑球，黑球和白球的个数不相同，则摸出黑球和摸出白球的可能性不相同，则这个游戏不公平； 答：从①号盒子中摸球是公平的。 13．同学们在校门口统计了1分钟内的车流量，如下表。 车型 辆数 3 15 9 小芳说：“下一辆车一定是小轿车。” 小军说：“下一辆车可能是公共汽车。” 小兰说：“下一辆车是出租车的可能性最大。” 小丽说：“下一辆车是小轿车的可能性最小。” 你觉得他们谁说得对？谁说得不对？为什么？ 【答案】小军、小兰、小丽说得对，小芳说得不对；理由见详解 【分析】根据可能性大小的判断方法，比较校门口1分钟内通过各种车型的车流量，车流量最多的，通过校门口的下一辆车是这种车型的可能性最大；反之，车流量最少的，通过校门口的下一辆车是这种车型的可能性就最小。 因为在校门口通过的车型只有小轿车、出租车、公共汽车三种车型，所以通过校门口的下一辆车可能是小轿车、出租车、公共汽车中的任何一种，据此解答。 【详解】答：小军、小兰、小丽说得对，小芳说得不对。 因为3＜9＜15，即校门口1分钟内通过的小轿车最少，所以下一辆车是小轿车的可能性最小，小丽说得对；1分钟内通过的出租车最多，所以下一辆车是出租车的可能性最大，小兰说得对；下一辆车不管是什么车型都可能出现，所以小军说得对，小芳说得不对。 14．小宇和小恒进行象棋比赛，他们通过掷两枚骰子的方法决定谁先走，规则：若朝上的数字之积为单数，则小恒先走；若朝上的数字之积为双数，则小宇先走。你认为这个规则公平吗？为什么？ 【答案】不公平，因为积为单数的情况有9种，积为双数的情况有27种，小宇先走的可能性大，小恒先走的可能性小，所以不公平。 【分析】掷骰子过程有如下结果： 由以上分析，出现双数积的次数是27，积为单数的次数是9，由于两人获胜的可能性不一样大，所以不公平。 【详解】这个规则不公平。因为积为单数的情况有9种，积为双数的情况有27种，小宇先走的可能性大，小恒先走的可能性小，所以不公平。 C思维拓展 15．乐乐和妈妈玩抛硬币游戏。两人同时向上各抛一枚1元硬币，如果朝上图案相同，那么乐乐赢，否则妈妈赢。这样的游戏规则公平吗？请说明理由。 【答案】公平；因为两人同时向上各抛一枚1元硬币，会出现4种结果，图案相同和图案不同各有2种。 【分析】游戏是否公平，看游戏双方获赢的概率是否相同。通过列出所有可能出现的结果，算出两人赢的概率即可判断游戏是否公平。 【详解】因为乐乐和妈妈两人同时向上抛一枚硬币，所有可能出现的结果如下：正正、反正、正反、反反，其中正正、反反2种结果属于朝上图案相同；正反、反正2种结果属于朝上图案不同，所以结果出现朝上图案相同的概率为：；结果出现朝上图案相同的概率为：，所以乐乐和妈妈赢的概率都是，游戏规则公平。 答：公平；因为两人同时向上各抛一枚1元硬币，会出现4种结果，图案相同和图案不同各有2种。 16．小军和小红玩转盘游戏（如图①），转盘停止后，指针停在阴影区域算小军赢，指针停在白色区域算小红赢，这个游戏规则公平吗？为什么？请你在图②上也设计一个转盘，并确定一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】不公平；因为图①的阴影区域有5份，白色区域有3份，5＞3，指针停在阴影区域的可能性大，即小军赢的可能性大，所以这个游戏规则不公平。； 【分析】游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 【详解】图①的游戏规则不公平。因为图①的阴影区域有5份，白色区域有3份，5＞3，指针停在阴影区域的可能性大，即小军赢的可能性大，所以这个游戏规则不公平。 设计一个转盘，确定一个对双方都公平的游戏规则：阴影区域和白色区域所占的份数一样多，这样游戏规则公平。 画图略； 17．下面的盒子里放着5个白球，分别编着1、2、3、4、5五个号码。小刚和小林准备进行摸球游戏。 红红说：“小刚摸到1、2号球加1分，小林摸到4、5号球加1分，谁摸到3号球都加2分。” 明明说：“小刚摸到1、2、3号球加1分，小林摸到4、5号球加1分。” 小强说：“小刚摸到1、2、3号球加1分，小林摸到3、4、5号球加1分。” 你认为谁说的游戏规则是公平的？ 【答案】红红和小强 【分析】游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 【详解】红红的说法，小刚摸到1、2号球加1分，小林摸到4、5号球加1分，谁摸到3号球都加2分；两人加分的可能性相同，所以是公平的。 明明的说法，小刚摸到1、2、3号球加1分，小林摸到4、5号球加1分；小刚加分的可能性大于小林加分的可能性，所以是不公平的。 小强的说法，小刚摸到1、2、3号球加1分，小林摸到3、4、5号球加1分；两人加分的可能性相同，所以是公平的。 答：红红和小强说的游戏规则是公平的。 18．甲、乙两支足球队近期五场比赛的成绩统计如下。 请你预测一下，如果再进行一场比赛，哪支球队获胜的可能性大。为什么？ 【答案】甲队；理由见详解 【分析】通过比较五场比赛的进球数，进球数多哪队就获胜；所以甲队获胜了第二场、第四场、第五场；乙队获胜了第一场；哪一队获胜的次数更多，在比赛中获胜可能性更大。 【详解】甲队获胜可能大；因为近期五场比赛中，甲队获胜了3场，乙队只获胜了1场，甲队获胜的次数更多，所以获胜的可能性更大。 19．将一个正方体的6个面涂上红、黄、蓝三种颜色（三种颜色都要涂）。要使掷出红色面朝上的可能性比黄色面朝上的可能性大，黄色面朝上的可能性比蓝色面朝上的可能性大，每种颜色应各涂几个面？ 【答案】红色涂3个面；黄色涂2个面；蓝色涂1个面 【分析】可以根据数量的多少直接判断可能性的大小，哪种颜色的面的数量越多，该种颜色朝上的可能性就越大；一个正方体一共有6个面，要使掷出的红色面朝上的可能性比黄色面朝上的可能性大，黄色面朝上的可能性比蓝色面朝上的可能性大，则涂红色的面最多，涂黄色的面其次，涂蓝色的面最少。 【详解】涂红色的面比涂黄色的面数量多，涂黄色的面比涂蓝色的面数量多，则红色涂3个面，黄色涂2个面，蓝色涂1个面。 答：红色涂3个面，黄色涂2个面，蓝色涂1个面。 20．李红、陈晓军和王玲三人做摸球游戏，在同一个口袋里摸球，每次任意摸出1个球，摸后放回，每人摸40次。下面是他们的摸球记录。 姓名 李红 陈晓军 王玲 摸到红球的次数 32 29 31 摸到黄球的次数 8 11 9 如果口袋里一共有4个球，你估计口袋里是红球的个数多，还是黄球的个数多？ 【答案】红球的个数多 【分析】可能性的大小与它在总数中所占数量的多少有关。在总数中占的数量越多，摸到的可能性就越大，占的数量越少，摸到的可能性就越小。据此解答。 【详解】32＞8，29＞11，31＞9，即摸到红球的次数更多，所以红球的个数多。 答：口袋里红球的个数多。 21．（1）五（1）班举行诗朗诵比赛，规则是转动转盘，指针指到哪个诗人，就背这位诗人的诗（如图）。如果想要抽到诗人（    ）的可能性最小，转盘该如何设计？请将下图补充完整。 （2）芳芳转动转盘，她（    ）背诵“王师北定中原日，家祭无忘告乃翁”；她（    ）背诵“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”。（填“可能”或“不可能”） 【答案】（1）杜甫；（答案不唯一） （2）不可能；可能 【分析】（1）设定抽到诗人杜甫的可能性最小，那么现有的圆盘被平均分成了8份，只要三个诗人占的份数，杜甫最少即可，据此解答。 （2）“王师北定中原日，家祭无忘告乃翁”是陆游的诗；“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”是李白的诗。可能背到转盘上有的诗人的诗，不可能背到转盘上没有的诗人的诗，据此解答。 【详解】（1）设定抽到诗人杜甫的可能性最小。图形中杜甫占两份，李商隐、李白各占三份，就能使抽到杜甫的可能性最小。（答案不唯一，合理即可） （画图略） （2）根据分析中提到的两首诗的作者，芳芳转动转盘，她不可能背诵“王师北定中原日，家祭无忘告乃翁”；她可能背诵“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”。 22．五（1）班举行联欢活动。为了增加活动的趣味性，小涛拿出一些写有成语的卡片（如图），他把这些卡片反面朝上放在桌子上，随机派一名同学上来摸卡片，该同学从中任意摸出一张。如果摸到含有数字的，“勤学小组”先选礼物；如果摸到含有颜色的，“奋进小组”先选礼物。 （1）你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？ （2）如果是你，为了保证公平，你觉得怎样的游戏规则更合适？ 【答案】（1）不公平；含有颜色的卡片有5张，含有数字的卡片有3张，抽到颜色卡片和数字卡片的几率不一样，所以这个游戏不公平。 （2）含有2种颜色的卡片有3张，含有数字的卡片有3张，几率一样，这样是公平的。因此可以设计为摸到含有两种颜色的卡片，“奋进小组”先选礼物；摸到含有数字的卡片，“勤学小组”先选礼物。（设计方案不唯一） 【分析】（1）根据题意，要使游戏公平，必须让结果出现的几率一样，据此分析每张卡片上面具体文字是含有数字还是含有颜色，判断抽到颜色卡片和抽到数字卡片的几率，据此解答该游戏是否公平。 （2）针对每张卡片上代表颜色和数字的数量，可以设计为摸到含有两种颜色的卡片，“奋进小组”先选礼物，摸到含有数字的卡片，“勤学小组”先选礼物。（设计方案不唯一） 【详解】由分析可得： （1）“绿水青山”卡片中含有颜色； “六神无主”卡片中含有数字； “花红柳绿”卡片中含有颜色； “白头偕老”卡片中含有颜色； “十年寒窗”卡片中含有数字； “五湖四海”卡片中含有数字； “蓝田种玉”卡片中含有颜色； “黑白分明”卡片中含有颜色； 据此可知，含有颜色的卡片有5张，含有数字的卡片有3张，抽到颜色卡片和数字卡片的几率不一样，所以这个游戏不公平。 （2）“绿水青山”卡片中含有2种颜色； “六神无主”卡片中含有数字； “花红柳绿”卡片中含有2种颜色； “白头偕老”卡片中含有1种颜色； “十年寒窗”卡片中含有数字； “五湖四海”卡片中含有数字； “蓝田种玉”卡片中含有1种颜色； “黑白分明”卡片中含有2种颜色； 由此可知，含有2种颜色的卡片有3张，含有数字的卡片有3张，几率一样，这样是公平的。因此可以设计为摸到含有两种颜色的卡片，“奋进小组”先选礼物；摸到含有数字的卡片，“勤学小组”先选礼物。（设计方案不唯一） 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 可能性 1.事件的确定性与不确定性 确定事件：事件的发生结果是确定的，分为必然事件（一定发生）和不可能事件（一定不发生），分别用 “一定” 和 “不可能” 描述。 不确定事件：事件的发生结果是不确定的，用 “可能” 描述，也叫随机事件。 2.可能性的大小规律 在随机事件中，对应物体的数量越多，事件发生的可能性越大；对应物体的数量越少，事件发生的可能性越小；当各类物体数量相等时，事件发生的可能性大小相等。 3.可能性的逆向应用 根据事件发生的可能性大小，可以反推对应物体的数量关系：可能性大，对应数量多；可能性小，对应数量少；可能性相等，对应数量相等。 4.游戏公平性判断 判断游戏规则是否公平的核心标准：参与游戏的各方获胜的可能性大小相等，则规则公平；可能性不相等，则规则不公平。 5.可能性的实际设计 设计公平游戏或符合要求的随机场景时，可通过调整对应物体的数量，使可能性大小满足题目要求，常见场景有摸球、转转盘、抽卡片、掷骰子等。 类型 1 判断事件的确定性与不确定性 典型例题 1：下列事件中，哪些是一定发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？ （1）小明今年 12 岁，明年 13 岁。 （2）抛一枚硬币，落地后正面朝上。 （3）袋子里全是红球，摸到白球。 （4）下雨天，露天的马路会湿。 【分析】根据自然规律、生活常识和事件本身的性质，区分确定事件和不确定事件，再对确定事件进一步判断是 “一定” 还是 “不可能”。 【变式训练】用 “一定”“可能”“不可能” 填空。 （1）冬天过后（ ）是春天。 （2）购买一张彩票（ ）中大奖。 （3）两位数乘一位数，积（ ）是三位数。 （4）没有水，种子（ ）发芽。 类型 2 根据数量判断可能性的大小 典型例题 2：盒子里有 8 个红球、3 个黄球和 1 个白球，球的大小、质地完全相同。任意摸出一个球，摸到哪种颜色球的可能性最大？摸到哪种颜色球的可能性最小？ 【分析】可能性的大小与对应物体的数量直接相关，总数固定时，数量越多，被摸到的可能性越大；数量越少，可能性越小。比较三种颜色球的数量即可得出结论。 【变式训练】一个转盘被平均分成 8 份，其中 3 份涂红色，2 份涂蓝色，3 份涂黄色。转动转盘，指针停在（ ）色区域的可能性最大，停在（ ）色区域的可能性最小。 类型 3 根据可能性大小反推数量 典型例题 3：袋子里放了黑球和白球共 10 个，球的大小、质地完全相同。任意摸一个，要使摸到黑球的可能性比白球大，袋子里至少要放多少个黑球？ 【分析】总数量固定时，可能性大小由数量多少决定。要使黑球可能性更大，黑球数量必须多于白球数量，先求出数量相等时的个数，再加 1 即可得到最少的黑球数量。 【变式训练】一个不透明的箱子里有铅笔和钢笔共 15 支，任意拿一支，拿到钢笔的可能性更小，那么钢笔最多有多少支？ 类型 4 游戏公平性的判断与设计 典型例题 4：小明和小华玩抽卡片游戏，有 4 张背面相同的数字卡片，正面分别写着 1、2、3、4。将卡片背面朝上打乱，任意抽一张，抽到奇数小明赢，抽到偶数小华赢。这个游戏公平吗？为什么？ 【分析】判断游戏是否公平，核心是比较双方获胜的可能性是否相等。先数出奇数、偶数卡片的数量，数量相等则可能性相等，游戏公平。 【变式训练】一个转盘被平均分成 6 份，分别标有 1~6 六个数字。小刚和小丽转动转盘，指针指向大于 3 的数小刚赢，指向小于 3 的数小丽赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请修改规则使游戏公平。 类型 5 可能性的综合实际应用 典型例题 5：学校举行抽奖活动，设置一等奖、二等奖、三等奖和纪念奖四个奖项。要求：抽到一等奖的可能性最小，抽到纪念奖的可能性最大，二等奖和三等奖的可能性差不多。请你设计一个抽奖方案，并说明设计思路。 【分析】可能性大小与奖券数量正相关：可能性越大，对应奖券数量越多；可能性越小，对应奖券数量越少。根据要求按数量多少分配各奖项的奖券数量即可。 【变式训练】超市要设计一个转盘抽奖活动，要求：转到 “谢谢参与” 的可能性最大，转到 “一等奖” 的可能性最小，“二等奖” 和 “三等奖” 的可能性相等。请简单描述转盘的设计方案。 A夯实基础 1．摸球游戏（球除颜色外其余均相同）。 (1)从甲盒中任意摸出1个球，摸出球的颜色有( )种可能，摸出( )球的可能性最小。 (2)从乙盒中任意摸出1个球，( )摸出红球。（填“一定”“可能”或“不可能”） (3)丙盒中白球和黄球一共有10个，请你设计丙盒中白球和黄球的数量，使其从中任意摸出1个球，摸出白球和黄球的可能性相等。 2．晓东和黎明用两颗玩游戏。谁获胜的可能性大？请说明理由。 3．国庆节到了，乐乐超市为了吸引顾客开展了抽奖活动，奖项设置如下。 等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 个数 10 20 50 100 （1）获得（    ）等奖的可能性最大，获得（    ）等奖的可能性最小。 （2）王阿姨去抽奖时得知，一等奖被抽走了1个，二等奖被抽走了11个，三等奖被抽走了12个，四等奖被抽走了64个。王阿姨获得几等奖的可能性最大？获得几等奖的可能性最小？（抽走了的不放回）。 4．五（1）班准备举行联欢会，班主任王老师在班上挑选了20人表演节目，节目种类有唱歌、跳舞、朗诵和讲故事，每人表演什么节目现场抽签决定。如果让抽到唱歌的可能性最大，抽到跳舞和朗诵的可能性相等，抽到讲故事的可能性最小。让你写这20张节目签，你会怎样分配呢？把你的想法填在下表中。 节目 唱歌 跳舞 朗诵 讲故事 节目签的张数 5．乐乐设计了一个转盘，转盘上有1∼16各个数（如下图）。乐乐和园园玩转盘游戏，游戏规则为转到几号再顺时针向前数几号，若最终为奇数号，乐乐赢：若最终为偶数号，园园赢。这个游戏公平吗？为什么？ 6．（1）从盒子中任意抽出1张卡片，可能是（    ）卡片。 （2）从盒子中任意抽出1张卡片，抽出（    ）卡片的可能性大。 （3）要使抽出数字卡片和字母卡片的可能性相同，可以怎么做？ 7．盒子里分别放6个球，满足给定的要求，可以放白球、绿球或红球，每个盒子里应该怎样放？（球除颜色外，其他完全相同，球的颜色用文字替代） （1）从盒子①中摸出一个球，一定是白球。 （2）从盒子②中摸出一个球，不可能是红球。 （3）从盒子③中摸出一个球，可能是绿球。 B培优拔高 8．学习了小数乘除法后，小卓和小育设计了一个数学游戏，将下面8张卡片反扣在桌面上（所有卡面背面相同），每次从中摸出一张，用6.8与之进行运算。 （1）谁获胜的可能性大？为什么？ （2）你能修改卡片上的运算符号，使游戏公平吗？写出修改方案。 9．小育和小云玩转盘游戏（如图），若指针停在白色区域，小育赢；停在蓝色区域，小云赢。 （1）选转盘（    ），小育赢的可能性大；选转盘（    ），小云赢的可能性大。 （2）选转盘（    ），两人赢的可能性相同。 （3）小卓在一个转盘上转了15次，有5次指针停在白色区域，其余都停在蓝色区域。这个转盘是什么样子的可能性比较大？请在上图空白转盘上涂一涂。 10．（1）将5张卡片放入一个口袋里，随意摸出一张，要使摸出苹果卡片的可能性最大，摸出梨卡片的可能性最小，摸出的不可能是香蕉卡片，卡片上可能是什么水果？写一写。 （2）把你写的卡片放入口袋里，从口袋里一次摸出2张，有几种可能的结果？分别是什么？ 11．下表是五年级（1）班同学摸球实验的结果（共摸100次，每次摸后放回）。 颜色 红球 黄球 蓝球 次数 58 32 10 （1）推测盒子里哪种颜色的球最多？哪种最少？ （2）如果再摸一次，摸到哪种颜色球的可能性最大？ （3）盒子里可能有10个球，请你估计三种颜色球的数量。 12．小宁和小凯玩摸球游戏。每次从盒子中任意摸出一个球。记录球的颜色，然后放回并摇匀，一共摸20次。规定摸到黑球的次数多时小宁赢，摸到白球的次数多时小凯赢。从下面的哪些盒子中摸球是公平的？请说明理由。 13．同学们在校门口统计了1分钟内的车流量，如下表。 车型 辆数 3 15 9 小芳说：“下一辆车一定是小轿车。” 小军说：“下一辆车可能是公共汽车。” 小兰说：“下一辆车是出租车的可能性最大。” 小丽说：“下一辆车是小轿车的可能性最小。” 你觉得他们谁说得对？谁说得不对？为什么？ 14．小宇和小恒进行象棋比赛，他们通过掷两枚骰子的方法决定谁先走，规则：若朝上的数字之积为单数，则小恒先走；若朝上的数字之积为双数，则小宇先走。你认为这个规则公平吗？为什么？ C思维拓展 15．乐乐和妈妈玩抛硬币游戏。两人同时向上各抛一枚1元硬币，如果朝上图案相同，那么乐乐赢，否则妈妈赢。这样的游戏规则公平吗？请说明理由。 16．小军和小红玩转盘游戏（如图①），转盘停止后，指针停在阴影区域算小军赢，指针停在白色区域算小红赢，这个游戏规则公平吗？为什么？请你在图②上也设计一个转盘，并确定一个对双方都公平的游戏规则。 17．下面的盒子里放着5个白球，分别编着1、2、3、4、5五个号码。小刚和小林准备进行摸球游戏。 红红说：“小刚摸到1、2号球加1分，小林摸到4、5号球加1分，谁摸到3号球都加2分。” 明明说：“小刚摸到1、2、3号球加1分，小林摸到4、5号球加1分。” 小强说：“小刚摸到1、2、3号球加1分，小林摸到3、4、5号球加1分。” 你认为谁说的游戏规则是公平的？ 18．甲、乙两支足球队近期五场比赛的成绩统计如下。 请你预测一下，如果再进行一场比赛，哪支球队获胜的可能性大。为什么？ 19．将一个正方体的6个面涂上红、黄、蓝三种颜色（三种颜色都要涂）。要使掷出红色面朝上的可能性比黄色面朝上的可能性大，黄色面朝上的可能性比蓝色面朝上的可能性大，每种颜色应各涂几个面？ 20．李红、陈晓军和王玲三人做摸球游戏，在同一个口袋里摸球，每次任意摸出1个球，摸后放回，每人摸40次。下面是他们的摸球记录。 姓名 李红 陈晓军 王玲 摸到红球的次数 32 29 31 摸到黄球的次数 8 11 9 如果口袋里一共有4个球，你估计口袋里是红球的个数多，还是黄球的个数多？ 21．（1）五（1）班举行诗朗诵比赛，规则是转动转盘，指针指到哪个诗人，就背这位诗人的诗（如图）。如果想要抽到诗人（    ）的可能性最小，转盘该如何设计？请将下图补充完整。 （2）芳芳转动转盘，她（    ）背诵“王师北定中原日，家祭无忘告乃翁”；她（    ）背诵“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”。（填“可能”或“不可能”） 22．五（1）班举行联欢活动。为了增加活动的趣味性，小涛拿出一些写有成语的卡片（如图），他把这些卡片反面朝上放在桌子上，随机派一名同学上来摸卡片，该同学从中任意摸出一张。如果摸到含有数字的，“勤学小组”先选礼物；如果摸到含有颜色的，“奋进小组”先选礼物。 （1）你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？ （2）如果是你，为了保证公平，你觉得怎样的游戏规则更合适？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $