1.1 直线拟合+1.2 一元线性回归方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线拟合与一元线性回归方程，通过基础概念辨析、中档运算应用、拔高综合实践三层设计，构建“概念→运算→建模”的知识巩固路径，培养抽象能力、运算能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|变量关系、回归方程意义、最小二乘法原理|以选择/填空题考查核心概念，如第3题辨析最小二乘法本质，强化抽象能力| |中档|回归方程求解、预测值计算、散点图分析|结合实际数据（如广告费用与销售额），第4题通过表格数据求回归方程，提升运算能力| |拔高|综合应用与拓展|联系利润最大化（第10题）、数据补全（第13题）等实际问题，第15题完整建模预测，体现模型观念与应用意识|

1.1　直线拟合 1.2　一元线性回归方程 1.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（　　） A.都可以分析出两个变量的关系 B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C.都可以画出散点图 D.都可以用确定的表达式表示两者的关系 2.一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据（略），由此建立的身高与年龄的线性回归方程为Y＝7.19X＋73.93，用这个方程预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（　　） A.身高一定是145.83 cm B.身高在145.83 cm以上 C.身高在145.83 cm左右 D.身高在145.83 cm以下 3.最小二乘法的原理是（　　） A.使得[yi－（a＋bxi）]最小 B.使得[yi－（a＋bxi）2]最小 C.使得[－（a＋bxi）2]最小 D.使得[yi－（a＋bxi）]2最小 4.某产品的广告费用X与销售额Y的统计数据如下表： 广告费用X/万元 4 2 3 5 销售额Y/万元 49 26 39 54 根据上表可得线性回归方程Y＝X＋中的为9.4，则Y关于X的线性回归方程为（　　） A.Y＝9.4X＋9.1　　　　B.Y＝9.4X－9.1 C.Y＝－9.4X＋9.1 D.Y＝－9.4X－9.1 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（　　） A.y＝a＋bx　　　　　　　 B.y＝a＋bx2 C.y＝a＋bex D.y＝a＋bln x 6.（多选）月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历就是以月相变化为依据的.人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y（简称“月出时间”，单位：时）与天数x（x为阴历日数，x∈N＋，且0≤x≤30）的有关数据，如下表所示，并且根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.8x＋. x 2 4 7 10 15 22 y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24 其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日0：00）才升起.则（　　） A.回归直线过点（10，14.4） B.＝6.8 C.预测月出时间为16时的那天是阴历13日 D.预测阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00 7.若施化肥量x（千克/亩）与水稻产量y（千克/亩）的线性回归方程为＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产　　　　千克左右. 8.对具有线性相关关系的变量x，y，测得相关数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法求得它们的线性回归方程为＝10.5x＋，据此模型来预测当x＝20时，y的估计值为　　　　. 9.如图是一组数据（x，y）的散点图，用最小二乘法计算，变量Y与X之间的线性回归方程为Y＝X＋1，则＝　　　　. 10.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y（件） 90 84 83 80 75 68 （1）求线性回归方程＝x＋，其中＝－20； （2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润＝销售收入－成本） 11.为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验，并且利用最小二乘法求得的回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法中正确的是（　　） A.l1与l2有交点（s，t） B.l1与l2相交，但交点不一定是（s，t） C.l1与l2必定平行 D.l1与l2必定重合 12.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.为了解某单位职工“学习强国”每天的学习时长与所得积分之间的关系，现从该单位随机抽取10名职工，统计他们某天的学习时长X（单位：min）得到条形图形如图所示，该10名职工的学习积分分别为yi（i＝1，2，…，10），若学习时长X与所得积分Y之间的线性回归方程为Y＝X＋.已知yi＝350，＝.若该单位某人在一天的学习时长为40 min，据此估计其所得积分为（　　） A.25　　　B.28　　　C.29　　　D.30 13.（多选）某公司过去五个月的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据： x 2 4 5 6 8 y ▲ 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y关于x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的是（　　） A.丢失的数据（表中▲处）为30 B.该公司广告费支出每增加1万元，销售额约增加6.5万元 C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额增加17.5万元 D.若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元 14.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间X（单位：h）与当天投篮命中率Y之间的关系： 时间X 1 2 3 4 5 命中率Y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为　　　　；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为　　　　. 15.随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x（单位：件）与店铺的浏览量y（单位：次）之间的对应数据如下表所示： x/件 2 4 5 6 8 y/次 30 40 50 60 70 （1）根据表中数据画出散点图； （2）根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程； （3）当这种商品的成交量突破100件（含100件）时，预测这家店铺的浏览量至少为多少？ 1.1　直线拟合 1.2　一元线性回归方程 1.C　给出两个变量的统计数据，总可以画出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定能得出两个变量有线性相关关系或函数关系.故选C. 2.C　由线性回归方程可得y0＝7.19×10＋73.93＝145.83，所以预测这个孩子10岁时的身高在145.83 cm左右. 3.D　原理为“使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小”，故选D. 4.A　由表可计算＝＝，＝＝42，因为点（ ，42）在回归直线Y＝X＋上，且为9.4，所以42＝9.4×＋，解得＝9.1，故线性回归方程为Y＝9.4X＋9.1. 5.D　根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来（图略），由图并结合选项可排除A、B、C，故选D. 6.AD　＝＝10，＝＝14.4，故回归直线过点（10，14.4），选项A正确；将（10，14.4）代入＝0.8x＋，得＝6.4，故选项B错误；∵＝0.8x＋6.4，当＝16时，x＝12，∴月出时间为阴历12日，选项C错误；∵阴历27日时，即x＝27，代入线性回归方程得＝0.8×27＋6.4＝28，∴日出时间应该为28日早上4：00，选项D正确. 7.650　解析：当x＝80时，＝400＋250＝650. 8.211.5　解析：由已知得＝5，＝54，则（5，54）满足线性回归方程＝10.5x＋，解得＝1.5，因此＝10.5x＋1.5.当x＝20时，＝10.5×20＋1.5＝211.5. 9.0.8　解析：由题图知＝＝2， ＝＝2.6， 将（2，2.6）代入Y＝X＋1中， 解得＝0.8. 10.解：（1）由于＝＝8.5， ＝＝80. 所以＝－＝80＋20×8.5＝250， 从而线性回归方程为＝－20x＋250. （2）设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x（－20x＋250）－4（－20x＋250）＝－20x2＋330x－1 000＝－20（x－8.25）2＋361.25. 当且仅当x＝8.25时，L取得最大值， 故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润. 11.A　回归直线l1，l2都过点（s，t），但它们的斜率不确定，故选A. 12.C　＝＝50，＝＝35，又＝，∴＝35－×50＝5，∴Y＝X＋5，取x0＝40，得y0＝×40＋5＝29.故选C. 13.AB　设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把点代入线性回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，所以A正确；该公司广告费支出每增加1万元，销售额约增加6.5万元，所以B正确，C不正确；若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为＝6.5×8＋17.5＝69.5（万元），所以D不正确.故选A、B. 14.0.5　0.53　解析：小李这5天的平均投篮命中率＝×（0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4）＝0.5，＝3，＝＝0.01，＝－＝0.5－0.03＝0.47.∴线性回归方程为Y＝0.01X＋0.47，则当x0＝6时，y0＝0.53.∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. 15.解：（1）散点图如图所示. （2）根据散点图可得，变量x与y之间具有线性相关关系，设线性回归方程为＝x＋. 根据数据可知，＝5，＝50，xiyi＝1 390， ＝145，代入公式得＝＝＝7，＝－＝50－7×5＝15. 故所求的线性回归方程是＝7x＋15. （3）根据上面求出的线性回归方程，当成交量突破100件（含100件），即x＝≥100时，≥715，所以预测这家店铺的浏览量至少为715次. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $