5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦正弦函数、余弦函数性质，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一性质到综合应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数值范围、奇偶性判断、最值对应x值集合|选择1-5、填空11-14，直接应用性质定义，强化概念理解| |能力提升|单调性与周期性结合、含参数值域、比较大小|选择6-8、填空15-16，需综合性质分析，提升推理能力| |综合应用|参数求解、图像对称、方程根问题|选择9-10、解答17-20，多性质交叉应用，培养数学思维与表达|

课时作业49　正弦函数、余弦函数的性质(2) 一、选择题 1．函数y＝2cos x－3的值不可能是(　　) A．0 B．－1 C．－3 D．－5 2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是(　　) A．y＝|cos x| B．y＝cos |－x| C．y＝sin (x－) D．y＝－sin 3．使y＝3－cos 取最小值的x的集合是(　　) A.{x|x＝4kπ，k∈Z} B．{x|x＝2kπ，k∈Z} C．{x|x＝kπ，k∈Z} D． 4．函数y＝sin π的单调递增区间是(　　) A.[4kπ，(4k＋1)π](k∈Z) B．[4k，4k＋2](k∈Z) C．[2kπ，(2k＋2)π](k∈Z) D．[2k，2k＋2](k∈Z) 5．已知函数y＝cos (2x＋φ)(|φ|<)在x＝处取得最小值，则φ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 6．(多选)下列不等式成立的是(　　) A．sin (－)<sin (－) B．sin 3<sin 2 C．sin ()>sin (－) D．sin 2<cos 1 7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若函数f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　　) A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)<f(－2)<f(0) B．f(0)<f(2)<f(－2) C．f(－2)<f(0)<f(2) D．f(2)<f(0)<f(－2) 9．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f ＝f ＝－f ，则f(x)的最小正周期为(　　) A. B．π C. D．2π 10．(多选题)关于函数f(x)＝2x·cosx的性质，其中错误的是(　　) A．函数f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减 B．点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 C．存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立 D．函数y＝f(x)图象关于直线x＝π对称 二、填空题 11．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________． 12．y＝a cos x＋1的最大值为5，则a＝________． 13．已知f(x)＝2sin (2ωx－)(ω>0)的最小正周期为π.则ω＝________；f(x)在区间上的值域是________． 14．函数y＝sinx，x∈的值域为 . 15．函数y＝－cos的单调递增区间是 ． 16．设－≤x≤，则函数y＝log2(1＋sinx)＋log2(1－sinx)的最大值为 ，最小值为 . 三、解答题 17．已知函数f(x)＝2cos. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值． 18．已知函数f(x)＝cos，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x∈时，方程f(x)＝a恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． 19．已知函数f(x)＝cos (－2x). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[－π，π]上的单调递增区间； (3)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值． 20．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)． (1)若y＝f(x＋θ)(0<θ<)是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值； (2)若g(x)＝f(3x)在上是增函数，求ω的最大值，并求此时g(x)在[0，π]上的取值范围． 课时作业49　正弦函数、余弦函数的性质(2) （答案） 一、选择题 1．函数y＝2cos x－3的值不可能是(　　) A．0 B．－1 C．－3 D．－5 解析：因为－1≤cos x≤1，所以－2≤2cos x≤2，则y＝2cos x－3∈[－5，－1]. 答案：A 2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是(　　) A．y＝|cos x| B．y＝cos |－x| C．y＝sin (x－) D．y＝－sin 解析：y＝|cos x|在(0，)上单调递减，故A不符合题意；y＝cos |－x|＝cos |x|在(0，π)上单调递减，故B不符合题意；y＝sin (x－)＝－sin (－x)＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，故C符合题意；y＝－sin 是奇函数，且在(0，π)上单调递减，故D不符合题意． 答案：C 3．使y＝3－cos 取最小值的x的集合是(　　) A.{x|x＝4kπ，k∈Z} B．{x|x＝2kπ，k∈Z} C．{x|x＝kπ，k∈Z} D． 解析：由于－1≤cos ≤1，所以当＝2kπ，即x＝4kπ时，函数y＝3－cos 取得最小值为2.故使y＝3－cos 取最小值的x的集合是{x|x＝4kπ，k∈Z}．故选A. 答案：A 4．函数y＝sin π的单调递增区间是(　　) A.[4kπ，(4k＋1)π](k∈Z) B．[4k，4k＋2](k∈Z) C．[2kπ，(2k＋2)π](k∈Z) D．[2k，2k＋2](k∈Z) 解析：y＝sin π＝sin (－)，由－＋2kπ≤－≤＋2kπ(k∈Z)，得4k≤x≤4k＋2(k∈Z).所以函数y＝sin π的单调递增区间是[4k，4k＋2](k∈Z). 答案：B 5．已知函数y＝cos (2x＋φ)(|φ|<)在x＝处取得最小值，则φ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：∵函数y＝cos (2x＋φ)(|φ|<)在x＝处取得最小值，∴cos (＋φ)＝－1，∴＋φ＝π＋2kπ， 又|φ|<，解得φ＝ 答案：D 6．(多选)下列不等式成立的是(　　) A．sin (－)<sin (－) B．sin 3<sin 2 C．sin ()>sin (－) D．sin 2<cos 1 解析：∵－<－<－<0， ∴sin (－)<sin (－)，所以A正确； ∵<2<3<π，∴sin 2>sin 3，所以B正确； ∵sin ＝－sin ＝sin (－)，所以C错误； ∵cos 1＝sin (1＋)，<2<1＋<π， ∴sin 2>sin (1＋)＝cos 1，所以D错误．故选AB. 答案：AB 7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若函数f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则(　　) A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数 解析：由题设得 又－π<φ≤π，解得ω＝，φ＝.所以f(x)＝2sin.令－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋6kπ≤x≤＋6kπ，k∈Z.取k＝0得－≤x≤，所以为f(x)的一个单调递增区间，因为[－2π，0]⊆，所以f(x)在区间[－2π，0]上是增函数．故选A. 8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)<f(－2)<f(0) B．f(0)<f(2)<f(－2) C．f(－2)<f(0)<f(2) D．f(2)<f(0)<f(－2) 解析：由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)． ∵当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ>0，∴φmin＝， 故可令f(x)＝Asin(2x＋)，∴f(0)＝Asin， f(2)＝Asin(4＋)＝Asin[π－(4＋)] ＝Asin(－4)， f(－2)＝Asin(－4＋)＝Asin(－4) ＝Asin[π－(－4)]＝Asin(4－)． ∵－<－4<4－<<， 且sinx在[－，]上单调递增， ∴f(2)<f(－2)<f(0)，故选A. 9．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f ＝f ＝－f ，则f(x)的最小正周期为(　　) A. B．π C. D．2π 解析：如图，函数f(x)的图象经过三个实心点(或空心点)，结合f(x)在区间上单调，因此x＝是函数f(x)的零点．又f＝f，因此x＝是函数f(x)的对称轴．于是＝－，从而T＝π. 故选B. 10．(多选题)关于函数f(x)＝2x·cosx的性质，其中错误的是(　　) A．函数f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减 B．点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心 C．存在常数M>0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立 D．函数y＝f(x)图象关于直线x＝π对称 解析：f(x)＝2x·cosx为奇函数，则函数f(x)在[－π，0]，[0，π]上单调性相同，所以A错；由于f(0)＝0，f(π)＝－2π，说明点(0,0)和(π，－2π)并不关于点中心对称，所以B错； |f(x)|＝|2x·cosx|＝|2x|·|cosx|≤2|x|，令M＝2，则|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立，所以C对； 由f(0)＝0，f(2π)＝4π，说明点(0,0)，(2π，4π)并不关于直线x＝π对称，所以D错．故选ABD. 二、填空题 11．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________． 解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]. 答案：(－π，0] 12．y＝a cos x＋1的最大值为5，则a＝________． 解析：∵|a|＋1＝5，∴|a|＝4，∴a＝±4. 答案：±4 13．已知f(x)＝2sin (2ωx－)(ω>0)的最小正周期为π.则ω＝________；f(x)在区间上的值域是________． 解析：(1)因为f(x)＝2sin (2ωx－)(ω>0)的最小正周期为π， 所以＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝2sin (2x－)， 所以当x∈时，2x－∈，所以sin(2x－)∈，因此f(x)＝2sin (2x－)∈[－1，2]，即f(x)在区间上的值域为[－1，2]. 答案：1　[－1，2] 14．函数y＝sinx，x∈的值域为 . 解析：y＝sinx在上为增函数，在上为减函数，当x＝－时，y＝sinx有最小值－，当x＝时，y＝sinx有最大值1，所以值域为. 答案：. 15．函数y＝－cos的单调递增区间是 ． 解析：函数y＝－cos的单调递增区间即为函数y＝cos的单调递减区间．由2kπ≤－≤π＋2kπ，k∈Z，得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z. 答案：(k∈Z) 16．设－≤x≤，则函数y＝log2(1＋sinx)＋log2(1－sinx)的最大值为 ，最小值为 . 解析：∵在上，1＋sinx>0和1－sinx>0恒成立， ∴原函数可化为y＝log2(1－sin2x)＝log2cos2x. 又cosx>0在上恒成立， ∴y＝log2cos2x＝2log2cosx. 当x∈时，≤cosx≤1， ∴log2≤log2cosx≤log21， ∴－≤log2cosx≤0，故－1≤y≤0， 即当x∈时，ymax＝0，ymin＝－1. 答案：0；-1 三、解答题 17．已知函数f(x)＝2cos. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值． 解：(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)， 解得－≤x≤－(k∈Z)． ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时， f(x)取得最小值－2. 即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2. 18．已知函数f(x)＝cos，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x∈时，方程f(x)＝a恰有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝cos， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π， 由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 故函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)． (2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数， 又f＝0，f＝，f ＝－1， ∴当a∈[0，)时，方程f(x)＝a恰有两个不同实根． 19．已知函数f(x)＝cos (－2x). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[－π，π]上的单调递增区间； (3)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值． 解：(1)f(x)＝cos (－2x)＝cos (2x－)， 令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)； 单调递减区间为(k∈Z). (2)由(1)可得f(x)的单调递增区间为 (k∈Z) 令k＝－1，f(x)在上单调递增， 令k＝0，f(x)在上单调递增， 令k＝1，f(x)在上单调递增， 因为x∈[－π，π]， 所以f(x)在[－π，π]上的单调递增区间是 ，，； (3)由题知，f(x)＝cos (－2x)＝cos (2x－)， 当x∈时，－≤2x－≤， ∴cos (2x－)∈，∴f(x)∈， 故f(x)min＝－，f(x)max＝. 20．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)． (1)若y＝f(x＋θ)(0<θ<)是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值； (2)若g(x)＝f(3x)在上是增函数，求ω的最大值，并求此时g(x)在[0，π]上的取值范围． 解：(1)f(x＋θ)＝2sin. ∵y＝f(x＋θ)是最小正周期为π的偶函数，∴＝π，即ω＝2，且2θ＋＝kπ＋(k∈Z)，即θ＝＋(k∈Z)．又∵0<θ<，∴ω＝2，θ＝. (2)∵g(x)＝f(3x)在上是增函数， ∴k∈Z， 解得k∈Z. ∵ω>0，∴2k＋>0，k∈Z，∴－<k≤，k∈Z， ∴k＝0，∴0<ω≤，即ω的最大值为. 此时，g(x)＝2sin. ∵0≤x≤π，∴≤＋≤， ∴≤sin≤1，即g(x)∈[，2]． 学科网（北京）股份有限公司 $