山西大学附中2026年高二数学暑假作业专题三 -三角函数

**基本信息** 聚焦三角函数核心概念与性质，通过基础应用到综合判断的层级设计，系统覆盖定义、图像变换及性质应用，培养逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数定义与基本关系|2题|给定终边求三角函数值、已知三角函数值求代数式值|从任意角定义出发，关联同角三角函数关系，构建概念应用基础| |图像与性质|8题（含3道多选）|值域、对称中心、单调性、周期、零点问题|以y=Asin(ωx+φ)为载体，整合图像变换与性质判断，形成“参数-图像-性质”推导链条| |综合应用|5题（含1道解答题）|极值点、存在性问题、跨性质综合判断|融合函数与方程思想，强化性质综合应用，体现从数学眼光观察到数学语言表达的完整思维过程|

高二数学暑假作业三 三角函数 1．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C．－2 D．2 【答案】A 【分析】由题意可知：，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以.故选：A. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解. 【详解】由，得，则， 所以.故选：D 3．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】依题意，函数， 当时，，显然， 且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为， 得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D 4．函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据y轴右边第二个对称中心在内，第三个对称中心不在内可求得，结合可得，再利用平移变换求出，根据三角变换化简可得，然后由二倍角公式可解. 【详解】由得， 因为函数在内恰有两个对称中心，所以，解得， 又，所以，即，所以， 将函数的图象向右平移个单位得到函数， 即，因为 ，所以. 故选：A 5．已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理可得，以为整体，根据单调性分析可得，再结合零点分析求解. 【详解】因为，，且时， 可得，且， 若在上单调，则，解得， 又因为的一个零点是，则，解得，所以.故选：B. 6．已知函数（）图象的一个对称中心为，则（    ） A．在区间上单调递增 B．是图象的一条对称轴 C．在上的值域为 D．将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 【答案】D 【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D. 【详解】由题意可得，解得， 又，故，即；对A：当时，， 由函数在上不为单调递增，故在区间上不为单调递增，故A错误； 对B：当时，，由不是函数的对称轴， 故不是图象的对称轴，故B错误；对C：当时，， 则，故C错误；对D：将图象上的所有点向左平移个长度单位后， 可得，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D. 7．已知，则m，n的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解. 【解】依题意，，， 则， 即，即.故选：D 8．已知函数，则下列说法中正确的个数是（    ） ①当时，函数有且只有一个零点； ②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为； ③若函数在上单调递增，则的最小值为； ④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④. 【解】依题意，，函数， 对于①：，令，即，作出函数和函数的图象，如图，观察图象知，两个函数在上只有一个零点，，当时，， 当时，， 因此函数与函数的图象有且只有一个交点，①正确； 对于②：为奇函数，则， ，即正数的最小值为，②正确； 对于③：当时，，由在上单调递增， 得，解得，正数有最大值，③错误； 对于④：当时，，而在上恰有两个极值点， 由正弦函数的性质得，解得，因此的取值范围是，④错误.综上，共2个正确，故选：B. 9．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．在区间的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出，可得A正确，B错误；由诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确. 【详解】由题意得，由图象可得， 又，所以，由五点法可得，所以. A：由以上解析可得，故A正确；B：由以上解析可得，故B错误； C：，故C正确； D：当时，，所以最小值为，故D正确；故选：ACD. 10．（多选）已知函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．与的图象关于直线对称 D．在区间内单调递增 【答案】BCD 【详解】由题意得，，解得，， 又因为，所以，A错误；由可知， 则， 令，，解得，， 令，得，所以点是曲线的对称中心，B正确； 因为， 所以与的图象关于直线对称，C正确； 当时，，故在区间内单调递增，D正确.故选：BCD 11．（多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数B．的最小正周期是C．的值域为 D．在上单调递增 【答案】AC 【解】对于A，由于的定义域为，且， 故是偶函数，A正确； 对于B，由于，，故，这说明不是的周期，B错误； 对于C，由于 ， 且，故. 而对，有，，故由零点存在定理知一定存在使得.所以的值域为，C正确； 对于D，由于，，故在上并不是单调递增的，D错误.故选：AC. 12．已知函数． ①若，则的最小正周期是 ；，②若，则的值域是 ． 【答案】 【解】当时，，函数的最小正周期为； 当时，，令， ，求导得， 当或时，，当时，， 函数在，上单调递减，在上单调递增， ，，所以，的值域是. 故答案为：； 13．已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 . 【答案】/ 【解】因为，其中， 由，可得关于对称，又两个不等的实数满足且，所以的最小正周期，又，所以，解得，所以， 所以，则，所以.故答案为： 14．设，，，若满足条件的与存在且唯一，则 ， . 【答案】 1 解：由，得，即， 因为，，所以，，又，所以， 从而，所以， 所以，所以， 因为，所以，因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一， 所以，所以，经检验符合题意，所以， 则，解得，所以.故答案为：，1 15．已知函数的最小值为1 （1）求的值； （2）求在，上的单调递增区间； （3）若，使得成立，求的取值范围． 【解答】解：（1），由题意得， （2）由（1）得，令，，，则， 因为在的单调递增区间， 由，得；由，得， 所以在，上的单调递增区间为； （3）由题意知，，当时，， 所以时，即时，，所以，的取值范围为． 试卷第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高二数学暑假作业 编号三 三角函数 1．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C．－2 D．2 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的一个零点是，且在上单调，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数（）图象的一个对称中心为，则（    ） A．在区间上单调递增 B．是图象的一条对称轴 C．在上的值域为 D．将图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 7．已知，则m，n的关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则下列说法中正确的个数是（    ） ①当时，函数有且只有一个零点； ②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为； ③若函数在上单调递增，则的最小值为； ④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为. A．1 B．2 C．3 D．4 9．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．在区间的最小值为 10．（多选）已知函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．与的图象关于直线对称 D．在区间内单调递增 11．（多选）已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．的值域为 D．在上单调递增 12．已知函数． ①若，则的最小正周期是 ；，②若，则的值域是 ． 13．已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 . 14．设，，，若满足条件的与存在且唯一，则 ， . 15．已知函数的最小值为1 （1）求的值； （2）求在，上的单调递增区间； （3）若，使得成立，求的取值范围． 试卷第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $