第04讲 充分条件与必要条件 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，以命题概念（含定义、真假判断及“若p则q”形式）为基础，系统构建充分条件、必要条件、充要条件的逻辑关系，通过判定、探索、参数求解及证明形成完整学习支架。 资料特色在于概念辨析精准（如命题改写、推出关系与真假联系），题型分层设计（基础试炼到高阶突破），通过表格对比培养数学思维，逻辑推理题型（如充要条件证明）强化理性精神，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

第04讲 充分条件与必要条件 目录 一、命题及相关概念 1 二、充分条件与必要条件 1 三、充要条件 1 考点01 命题的概念 2 考点02充分条件、必要条件及充要条件的判定 5 考点03充分条件、必要条件及充要条件的探索 7 考点04由充分条件、必要条件求参数 10 考点05充要条件的证明 14 基础试炼 17 高阶突破 22 01 学习新知 一、命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 三、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 02 经典题型 题型1 命题的概念 1. 下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 2. 下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 题型2充分条件、必要条件 3. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④若x2=1，则x=1； ⑤若a=b，则ac=bc； ⑥若x，y为无理数，则xy为无理数. 4. 下列选项中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q： 5. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； ④若x=1，则x2=1； ⑤若ac=bc，则a=b； ⑥若xy为无理数，则x，y为无理数. 6. 使x>1成立的一个必要条件是(　　) A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 题型3充分条件、必要条件及充要条件的判定 7. 下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？ (1)p：x=1，q：x-1=； (2)p：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，q：a≠0； (3)p：x+2≠y，q：(x+2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 8. 设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9. 下列命题正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件 B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件 C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件 D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件 题型4充分条件、必要条件及充要条件的探索 10. 下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 11. 下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 12. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 题型5由充分条件、必要条件求参数 13. (多选)若“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，则实数a的值可以是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 14. 已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　. 15. 已知集合P={x|-2<x<4}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知集合P={x|-2<x<1}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的必要条件，求实数m的取值范围. 17. 已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 18. 已知命题，若是的充要条件，则 ． 题型6由充要条件求参数 19. 已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|1<a<2} B.{a|1≤a≤2} C.{a|0<a<1} D.{a|0<a≤1} 20. 已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　　. 21. 已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 22. 已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的充分不必要条件”，求实数m的取值范围. 23. 已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 24. 已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 25. 已知非空集合A={x|2a-1<x<3a+1}，B={x|-1<x<4}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；(5分) (2)是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(5分) 题型6充要条件的证明 26. 已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 充分条件与必要条件 目录 一、命题及相关概念 1 二、充分条件与必要条件 1 三、充要条件 1 题型1 命题的概念 2 题型2充分条件、必要条件 3 题型3充分条件、必要条件及充要条件的判定 4 题型4充分条件、必要条件及充要条件的探索 6 题型5由充分条件、必要条件求参数 7 题型6由充要条件求参数 8 题型6充要条件的证明 11 01 学习新知 一、命题及相关概念 定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句 形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若,则”是真命题 “若,则”是假命题 推出关系及符号表示 由通过推理可得出,记作: 由条件不能推出结论,记作: 条件关系 是的充分条件； 是的必要条件 不是的充分条件； 不是的必要条件 注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式． （2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”． 三、充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件． 如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件． 注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若，则称是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充要条件． ③若，且，则称是的充分不必要条件． ④若，且，则称是的必要不充分条件． ⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件． （2）“”的传递性 若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 02 经典题型 题型1 命题的概念 1. 下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 2. 下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 题型2充分条件、必要条件 3. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④若x2=1，则x=1； ⑤若a=b，则ac=bc； ⑥若x，y为无理数，则xy为无理数. 解　①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. ②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. ③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. ④由于(-1)2=1，但-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件. ⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件. ⑥=2为有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件. 4. 下列选项中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q： 答案　A 解析　根据充分条件的概念逐一判断， 只有ab≠0⇒a≠0. 5. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； ④若x=1，则x2=1； ⑤若ac=bc，则a=b； ⑥若xy为无理数，则x，y为无理数. 解　①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件. ②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件. ③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. ④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件. ⑤由于(-1)×0=1×0，但-1≠1，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. ⑥由于1×不全是无理数，p⇏q，所以，q不是p的必要条件. 6. 使x>1成立的一个必要条件是(　　) A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 答案　A 解析　只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出. 题型3充分条件、必要条件及充要条件的判定 7. 下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？ (1)p：x=1，q：x-1=； (2)p：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，q：a≠0； (3)p：x+2≠y，q：(x+2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数. 解　(1)方法一　当x=1时，x-1=成立； 当x-1=时，x=1或x=2. ∴p是q的充分不必要条件. 方法二　A={x|x=1}={1}， B={x|x-1=}={1，2}，可知AB， ∴p是q的充分不必要条件. (2)若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，故p⇒q；若a≠0，则方程ax+b=0的根为x=-只有一解，故q⇒p，综上，p是q的充要条件. (3)由q：(x+2)2≠y2， 得x+2≠y且x+2≠-y，又p：x+2≠y， 故p是q的必要不充分条件. (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分也不必要条件. 8. 设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，但不能得出, 是的充分不必要条件. 故选：A. 9. 下列命题正确的是(　　) A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件 B.“a+b=0”是“=-1”的充要条件 C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件 D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件 答案　D 解析　由x>5⇒x>3，由x>3⇏x>5，所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，故A错误；当a=b=0时，a+b=0，但不存在，所以“a+b=0”不是“=-1”的充分条件，故B错误；当x≠±1时，|x|≠1，反过来也成立，所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件，故C错误；由A∪B=B得A⊆B，所以A∩B=A，反之，若A∩B=A，则A⊆B，进而得A∪B=B，故“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件，故D正确. 题型4充分条件、必要条件及充要条件的探索 10. 下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，是的不充分不必要条件，A不是； 对于B，是的一个必要不充分条件，B是； 对于C，是的一个充分不必要条件，C不是； 对于D，是的一个充分不必要条件，D不是. 故选：B 11. 下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 【答案】②③ 【详解】由解得． 对于①，是的必要不充分条件； 对于②，是的充分不必要条件； 对于③，是的充分不必要条件； 对于④，是的充要条件； 对于⑤，是的必要不充分条件． 故选:②③． 12. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 题型5由充分条件、必要条件求参数 13. (多选)若“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，则实数a的值可以是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　CD 解析　因为“-1<x≤3”是“-3<x<a”的充分条件，所以a>3. 结合选项实数a的值可以是4，5. 14. 已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　. 答案　{a|a≤-9} 解析　∵p是q的必要条件，∴q⇒p， ∴解得a≤-9. 15. 已知集合P={x|-2<x<4}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，求实数m的取值范围. 解　由已知，“x∈Q”是“x∈P”的充分条件，则Q是P的子集， 由题意得解得0<m< 所以实数m的取值范围是. 16. 已知集合P={x|-2<x<1}，非空集合Q={x|3m-2≤x≤5m+2}.若“x∈Q”是“x∈P”的必要条件，求实数m的取值范围. 解　由题意得，P是Q的子集， 则解得-≤m≤0. 所以实数m的取值范围是. 17. 已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解析：由题意得（，）⊆（m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤. 18. 已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【详解】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 题型6由充要条件求参数 19. 已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|1<a<2} B.{a|1≤a≤2} C.{a|0<a<1} D.{a|0<a≤1} 答案　C 解析　因为p是q的充分不必要条件， 所以 解得0<a<1.所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}. 20. 已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　　. 答案　{k|k<-2} 解析　p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3， 设集合A={x|2k-1≤x≤3}，B={x|-5≤x≤3}， 因为p是q的必要不充分条件，所以BA， 所以2k-1<-5，解得k<-2. 所以实数k的取值范围是{k|k<-2}. 21. 已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件， 所以{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}， 故有 解得m≤3.又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 22. 已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的充分不必要条件”，求实数m的取值范围. 解　p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0). 设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}， 因为p是q的充分不必要条件， 所以AB， 所以解得m≥9， 即实数m的取值范围为{m|m≥9}. 23. 已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解　因为p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)， 设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}， 若p是q的充要条件，则集合A=B， 即无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 24. 已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 25. 已知非空集合A={x|2a-1<x<3a+1}，B={x|-1<x<4}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围；(5分) (2)是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(5分) 解　(1)非空集合A={x|2a-1<x<3a+1}，集合B={x|-1<x<4}. 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B， 所以解得0≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}. (2)假设存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件，那么A=B，则必有无解. 故不存在实数a，使得A=B， 即不存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件. 题型6充要条件的证明 26. 已知a，b是实数，判断：是成立的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”回答），并证明你的结论． 【答案】充要条件，证明见解析 【详解】是成立的充要条件，证明如下： 由可得， 由于，所以； 由，可得，即. 故是成立的充要条件， 2 学科网（北京）股份有限公司 $