专题05 函数与方程、不等式的综合应用（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

专题05函数与方程、不等式的综合应用 （题型突破·举一反三） 题型01求函数的零点 题型02二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 题型03一元二次方程根的分布问题 题型04判断函数零点所在区间 题型05判断函数零点个数 题型06判断函数零点范围求参 题型07根据函数零点个数求参 题型08对二分法概念的理解 题型09二分法的应用 ▌题型01 求函数的零点 求函数y＝f（x）的零点的方法 （1）求函数f（x）的零点就是求方程f（x）＝0的解，求解时注意函数的定义域； （2）已知x0是函数f（x）的零点，则必有f（x0）＝0. 【典例1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【解析】令，，即，解得或．故选：C. 【变式1】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）函数的零点是（    ） A．1，-4 B．4，-1 C．1，3 D．不存在 【答案】B 【解析】令，也即， 解得：或，所以函数的零点为，故选. 【变式2】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的零点为_____． 【答案】 【解析】令，解得，故函数的零点为. 【变式3】（25-26高一上·辽宁抚顺·期中）函数的零点为___________． 【答案】或 【解析】由函数，令，可得，解得或， 所以函数的零点为或. ▌题型02 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）中满足y＞0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合. 【典例2】（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【解析】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 【变式1】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 【变式2】（25-26高一上·安徽滁州·期中）若不等式的解集为，则的解集为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【解析】不等式的解集为， 且方程的两根分别为和 ，，即，， ，又， ，解得：或， 的解集为或. 故选：D. 【变式3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合，故选：A. ▌题型03 一元二次方程根的分布 解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑： （1）抛物线开口方向； （2）一元二次方程根的判别式； （3）对应区间端点函数值的符号； （4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系. 【典例3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由二次函数有两个不同的零点，得，即， 解得或，所以实数m的取值范围为或.故选：C 【变式1】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】令， 由题意，得，即，解得， 故的取值范围是.四个选项中在内的只有，故选D. 【变式2】（25-26高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则由题意可知，即， 解得，故实数的取值范围是.故选：C． 【变式3】若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】设，如图所示， 要使方程的一个根大于1，另一个根小于1，需使，解得， 所以实数的取值范围为． ▌题型04 判断函数零点所在区间 判断函数零点所在区间的三个步骤 （1）代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值； （2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； （3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 【典例4】（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得，而， 则零点所在的区间是，故C正确，故选：C 【变式1】（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数为上的增函数， 故函数在有且仅有一个零点， 因为，， 所以函数的零点所在的区间为． 【变式2】（25-26高一上·四川眉山·期末）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然为增函数， ， ， ， ， ， ， 零点所在区间为.故选：C. 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，且函数在上单调递减， 而， 所以函数的零点所在区间是.故选：C ▌题型05 判断函数零点个数 判断函数存在零点的2种方法 （1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数.可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数； （2）图象法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一平面直角坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，有，所以； 当时，有，所以； 这表明函数的取值恒为正数，没有零点.故选：A. 【变式1】（25-26高一上·河南商丘·期末）函数f(x)＝(x2－1)的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2. 由f(x)＝0，得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2， 所以函数的零点个数为2，故选:B. 【变式2】（25-26高一下·云南曲靖·开学考试）二次函数的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】已知二次函数， 因为，所以二次函数有2个零点.故选：C. 【变式3】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】， 令，可得或.故选：C ▌题型06 依据函数零点范围求参 【典例6】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或．故选： 【变式1】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是.故选：B. 【变式2】（2026高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即，解得， 所以实数的取值范围是．故选：D. 【变式3】（25-26高一·全国·单元测试）已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故即. 所以在R单调递增，且在内存在零点， 故，即，解得.故选C. ▌题型07 依据函数零点个数求参 根据函数零点个数求参数值（范围）的方法 已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 【典例7】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图像如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是，故选A. 【变式1】已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，则，此时，则或， 当时，则，此时， 则，故问题转为， 共有四个零点， 画出函数图象如下可知：则，故选：D    【变式2】（25-26高一上·江苏南京·期中）若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】法一：要满足题意，则，解得． 法二：令，得， 即时，与的图象有两个交点， 作如下图，可知． 【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上有三个零点，求的取值范围． 【解】（1）令，则，又是定义在上的奇函数， 所以可得． 又， 故函数的解析式为 （2）根据题意作出的图象如下图所示：   ，， 若函数在上有三个零点，即方程有三个不等的实数根， 所以函数与有三个不同的交点， 由图可知当，即时，函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点． 故的取值范围是． ▌题型08 对二分法概念的理解 　二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可. 【典例8】下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【解析】根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点.故选：A． 【变式1】关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（    ） A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值 B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值 C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解 D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值 【答案】D 【解析】根据二分法求函数零点的原理，当零点左右两侧的函数值必须异号才可以求解，故A选项错误； 对于B选项，二分法求函数零点与函数零点的特征没有关系，故B选项错误； 对于C选项，二分法求函数零点与函数零点个数没有关系，故C选项错误； 对于D选项，一个单调函数如果有零点，则满足零点的存在性定理，可以用二分法求解，故D选项正确. 故选：D 【变式2】下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】只有的图象是连续不断的，且在零点左右两侧函数值异号，才能利用二分法求零点，选项C中恒成立.因此不能用二分法求零点，故选C. 【变式3】下面关于二分法的叙述，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循 D．只有在求函数零点时才用二分法 【答案】B 【解析】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号， 才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错； 二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错； 求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选B. ▌题型09 二分法的应用 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）； （2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值 【典例9】（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8，故选C. 【变式1】（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8．故选：C． 【变式2】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为.故选：C. 【变式3】（25-26高一上·山东德州·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且函数图象连续不断， 所以函数在区间内有零点， 所以下一步应计算，，故选C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05函数与方程、不等式的综合应用 （题型突破·举一反三） 题型01求函数的零点 题型02二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 题型03一元二次方程根的分布问题 题型04判断函数零点所在区间 题型05判断函数零点个数 题型06判断函数零点范围求参 题型07根据函数零点个数求参 题型08对二分法概念的理解 题型09二分法的应用 ▌题型01 求函数的零点 求函数y＝f（x）的零点的方法 （1）求函数f（x）的零点就是求方程f（x）＝0的解，求解时注意函数的定义域； （2）已知x0是函数f（x）的零点，则必有f（x0）＝0. 【典例1】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【变式1】（25-26高一上·河北廊坊·阶段检测）函数的零点是（    ） A．1，-4 B．4，-1 C．1，3 D．不存在 【变式2】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的零点为_____． 【变式3】（25-26高一上·辽宁抚顺·期中）函数的零点为___________． ▌题型02 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）中满足y＞0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合. 【典例2】（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【变式1】（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·安徽滁州·期中）若不等式的解集为，则的解集为（　　） A．或 B． C． D．或 【变式3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A．B．C．D． ▌题型03 一元二次方程根的分布 解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑： （1）抛物线开口方向； （2）一元二次方程根的判别式； （3）对应区间端点函数值的符号； （4）抛物线的对称轴与区间端点的位置关系. 【典例3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则的值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（25-26高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式3】若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． ▌题型04 判断函数零点所在区间 判断函数零点所在区间的三个步骤 （1）代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值； （2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； （3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 【典例4】（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·四川眉山·期末）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． ▌题型05 判断函数零点个数 判断函数存在零点的2种方法 （1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数.可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数； （2）图象法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一平面直角坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河南商丘·期末）函数f(x)＝(x2－1)的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26高一下·云南曲靖·开学考试）二次函数的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式3】（25-26高一上·上海虹口·期末）已知，则函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌题型06 依据函数零点范围求参 【典例6】（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高一上·全国·专题练习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一·全国·单元测试）已知且在内存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌题型07 依据函数零点个数求参 根据函数零点个数求参数值（范围）的方法 已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 【典例7】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏南京·期中）若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上有三个零点，求的取值范围． ▌题型08 对二分法概念的理解 　二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可. 【典例8】下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式1】关于用二分法求函数零点的近似值，下列说法中正确的是（    ） A．函数只要有零点，就能用二分法求出其近似值 B．零点是整数的函数不能用二分法求出其近似值 C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解 D．一个单调函数如果有零点，就能用二分法求出其近似值 【变式2】下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下面关于二分法的叙述，正确的是（    ） A．用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循 D．只有在求函数零点时才用二分法 ▌题型09 二分法的应用 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）； （2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值 【典例9】（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【变式1】（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【变式2】在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·山东德州·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（    ） A．0 B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $