专题03 直线的方程及直线与直线的位置关系(竞赛培优专项训练,8大题型+强基、竞赛真题）高二数学人教A版全国通用

专题03 直线的方程及直线的位置关系 目 录 A组 考点专项过关练 题型01 直线的倾斜角与斜率问题 题型05 距离公式的应用 题型02 由直线的位置关系求参 题型06 对称问题 题型03 两直线的位置关系在几何中的应用 题型07 与直线有关的新定义题 题型04求直线方程 题型08与直线有关的数学文化题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 直线的倾斜角与斜率问题 1．设 ，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为（），则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．与的交点可能在第三象限 3．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 考点二 由直线的位置关系求参 4．设a为实数，若直线两两相交，且交点恰是直角三角形的三个顶点，则这样的有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 5．已知直线，若直线过且与直线在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线的斜率是（   ） A．1 B． C． D．或1 6．已知直线：，当和时，对应直线分别为和，则下列说法中正确的是（    ） A．存在，使得过点 B．当时，对任意，总存在两个不同的值与之对应 C．的充要条件是 D．存在点，对任意，使得到的距离为常数 考点三 两直线的位置关系在几何中的应用 7．已知，以直角边，斜边为其中一边分别向三角形所在一侧作正方形和，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．正方形，点满足，则的可能取值为（    ）． A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．1，3 9．瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（ ） A．△ABC的外心为(－1，1) B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0) C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0) D．△ABC的重心坐标可能为 考点四 求直线方程 10．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________. 11．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 12．已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 考点五 距离公式的应用 13．已知，分别为轴，轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．已知，，，，过，分别作直线，，使得，过，分别作直线，，使得，若四条直线，，，围成矩形，则该矩形（    ） A．面积有最大值 B．周长有最大值 C．外接圆面积是定值 D．中心在定圆上 15．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A． B．e C． D． 考点六 对称问题 16．在等腰直角三角形中,点是边异于、的一点.光线从点出发,经过、反射后又回到点(如图).若光线经过的重心,且则_________ 17．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 考点七 与直线有关的新定义题 19．对于平面直角坐标系中任意两点，，我们将定义为PQ两点的“耿直距离”.已知，，，，设是平面直角坐标系中的一个动点，若使得点M到A，B，C，D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内（    ） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，定义点到直线的有向距离. (1)若直线，分别求； (2)若点，直线满足，点是上的动点，求的最小值； (3)若是圆上一动点，直线，求的取值范围. 21.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 考点八 与直线有关的数学文化题 22．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 23．射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A． B． C． D． 24．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. (1)直接写出的反射光线所在直线的方程； (2)求圆的方程； (3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 1．（2026高二·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 2．（26高二·山东济宁·竞赛）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 3．（26高二·山东济宁·竞赛）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2026安徽阜阳高二·竞赛）设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为____________． 5．（25高三·湖南·竞赛）若直线过点，则的最小值等于__________． 6．（2025高二上·甘肃·竞赛）若且，则的最小值为_____． 7．（2025高二上·甘肃·竞赛）在平面直角坐标系中，一条过点的直线经过点集中的四个点．求的取值范围． 8．（2024·全国“章鱼杯”竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则梯形ABDC面积为 . 10．（2024·广东肇庆高二竞赛）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 11．（24高二·江苏无锡·竞赛）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 12．（25高二上·福建厦门·竞赛）已知实数，则的取值范围是 ． 13．（25高二·天津·竞赛）已知圆上两点，，O是坐标原点，，则的最大值为_________. 14．（24高二上·江苏无锡·竞赛）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 15．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知椭圆过点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点． ①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距； ②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线的方程及直线的位置关系 目 录 A组 考点专项过关练 题型01 直线的倾斜角与斜率问题 题型05 距离公式的应用 题型02 由直线的位置关系求参 题型06 对称问题 题型03 两直线的位置关系在几何中的应用 题型07 与直线有关的新定义题 题型04求直线方程 题型08与直线有关的数学文化题 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛、强基试题15道） 考点一 直线的倾斜角与斜率问题 1．设 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，结合上点与所成直线的斜率大小判断各式的大小关系. 【详解】构造斜率函数 ，即上点与所成直线的斜率，    由题设，构造的斜率都是正数， 由图象知：倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大， 可得：，即. 故选：B 2．已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为（），则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．与的交点可能在第三象限 【答案】BC 【分析】根据反函数的性质可得公切线关于对称，即可得到，利用诱导公式证明A，利用诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D. 【详解】如图，因为与互为反函数， 故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称， 故，，故A错误； 由题意，，均为锐角，，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 设与两个函数图象分别切于，两点，，则， 即，解得或（舍去）， 故， 对于，则，令，解得，所以切点为， 所以曲线的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 同理可得的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 所以，则，则，故C正确； 由图可知点必在第一象限，故D错误.    故选：BC. 3．在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算. 【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点， 设直线的倾斜角为，斜率为， ①若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ②若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ③若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； 综上所述：的可能值为. 故选：ABD. 考点二 由直线的位置关系求参 4．设a为实数，若直线两两相交，且交点恰是直角三角形的三个顶点，则这样的有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】A 【分析】算出三条直线的方向向量，根据法向量相互垂直可求a的值，故可得正确的选项. 【详解】三条直线的法向量分别为， 于是a的值必然在集合． 经验证，当时，中有重合的直线，当时，三线共点，因此所求组数为2． 故选:A. 5．已知直线，若直线过且与直线在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线的斜率是（   ） A．1 B． C． D．或1 【答案】B 【分析】根据题意，设直线的斜率为，直线交于点，而点为直线的交点，根据角度关系，可求得，所以，所以必为等腰三角顶角的顶点，所以，可得，求解即可. 【详解】由题意，如图所示，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的斜率为，所以，，， 直线与直线交于点， 点在直线上，直线与直线交于点， 又，所以， 所以，又为等腰锐角三角形，故必为等腰三角顶角的顶点， 所以必有，且， 又，， 所以，即， 所以，即， 解得或， 又，所以. 故选：B 6．已知直线：，当和时，对应直线分别为和，则下列说法中正确的是（    ） A．存在，使得过点 B．当时，对任意，总存在两个不同的值与之对应 C．的充要条件是 D．存在点，对任意，使得到的距离为常数 【答案】ACD 【分析】将点的坐标代入求出判断A；取，结合可得值判断B；探求两直线平行的充要条件判断C；求出原点到直线距离判断D. 【详解】对于A，直线过点时，，解得，即当时，过点，A正确； 对于B，由，得，而当或时，，B错误； 对于C，由，得，，则， 由，得，直线，， 即，而，直线在轴上的横截距分别为， 则直线，因此的充要条件是，C正确； 对于D，对任意，点到直线的距离，D正确. 故选：ACD 考点三 两直线的位置关系在几何中的应用 7．已知，以直角边，斜边为其中一边分别向三角形所在一侧作正方形和，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用数量积可求两个向量的夹角. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，设， 则，，， ，， 故，所以和的夹角为，    故选：C. 8．正方形，点满足，则的可能取值为（    ）． A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．1，3 【答案】B 【分析】根据题意建立坐标系，由，即，然后分别可得点的轨迹方程，再利用赋值验证法分别分析是否符合题意即可. 【详解】设点，以为原点建立坐标系， 不妨设正方形边长为1，则， 又，所以，， 即，整理得：， 此时点在以为圆心，半径为的圆上， 又，所以， 当时，此时点在的垂直平分线上， 代入中，得， ，方程无解，所以不符合题意； 当时，整理得：， 此时点在以为圆心，半径为的圆上 要使这样的点存在，则圆与圆要有交点， 当时，， 此时，，故符合题意； 当时，， 此时，，故符合题意； 当时，， 此时，，圆与圆内含，故不符合题意； 综上，或符合题意. 故选：B. 9．瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是（ ） A．△ABC的外心为(－1，1) B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0) C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0) D．△ABC的重心坐标可能为 【答案】ACD 【分析】求出直线AB的垂直分线方程，联立欧拉方程可求得外心坐标，判断A;求出外接圆方程，表示出重心，坐标，代入到外接圆方程中，可求得C的坐标，进而判断B,D的对错；写出过C和直线AB垂直的可能的方程，和欧拉方程联立求得垂心坐标，可判断C. 【详解】由顶点A(－4，0)，B(0，4)，可知直线AB的垂直分线方程为 ， 的外心在直线x－y＋2＝0上， 联立 ，可得外心坐标为(－1，1)，故A正确； 设外心为G,则G(－1，1)，故 , 所以外接圆方程为 ， 设 ，则的重心为 ，代入欧拉线方程为x－y＋2＝0中， 得： ，和联立，解得或， 即C点坐标可以为 ，故B错误； 由C点坐标为，可知重心可能为，故D正确； 当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为 ， 联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为； 当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为 ， 联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为，故C正确， 故选：ACD. 考点四 求直线方程 10．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________. 【答案】 【分析】设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程. 【详解】因为中线CE所在直线方程为， 所以可设， 由AC中点为，可得， 所以， 为等腰直角三角形，CE为中线， ,， ①， 又是的中点，, ,， 化简得： ②， 由①②解得， 所以点,又因为， 所以直线方程为, 即所求方程为. 故答案为： 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【详解】如图，设，直线过和.      ①当直线为时，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在． ②当直线的斜率为负时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，满足题意，因为，所以此时直线的方程为． ③当直线的斜率为正时，设直线与轴负半轴相交于点，则，由直线AB的斜率为，倾斜角为，可得， 所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：A. 12．已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 【分析】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离. 【详解】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （2）①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 考点五 距离公式的应用 13．已知，分别为轴，轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得以为直径的圆过坐标原点，由向直线作垂线，垂足为，当为切点时，圆的半径最小，此时直径为点到直线的距离，进而求解. 【详解】为直径，， 点必在圆上， 由点向直线作垂线，垂足为， 当点恰好为圆与直线的切点时，圆的半径最小， 此时圆直径为到直线的距离， 即半径， 所以圆的最小面积， 故选：C. 14．已知，，，，过，分别作直线，，使得，过，分别作直线，，使得，若四条直线，，，围成矩形，则该矩形（    ） A．面积有最大值 B．周长有最大值 C．外接圆面积是定值 D．中心在定圆上 【答案】ACD 【分析】利用点斜式得到四条直线，，，的方程，利用平行线间的距离公式得到与的距离为，与的距离为，再根据选项依次分析即可. 【详解】设直线的斜率为，因直线，，，围成矩形，则的斜率为， 于是直线方程依次为：，，，， 则与的距离为，与的距离为. 对于A项，矩形的面积为，显然,则， 因，当且仅当,即 时取等，此时，故A正确； 对于B项，矩形的周长为， 令，则，即， 所以，当且仅当 ，即 时取等，周长有最大值，故B错误； 对于C项，矩形的外接圆直径为矩形的对角线，长度为， 则外接圆的半径为，故其面积是定值，故C正确； 对于D项，设矩形的中心为 联立直线方程得到的交点为 同理可得的交点为 所以矩形的中心为的中点，则，    由，得到① 由得到② 由①②得到，代入①得到， 化简得到，所以矩形的中心在以圆心为 、半径为的定圆上，故D 正确. 15．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A． B．e C． D． 【答案】D 【分析】利用函数零点定义得方程，将其转化为点在直线上，从而可理解为点到原点的距离的平方，继而只需使在上能成立，即求在上的最小值即得. 【详解】设为在上的零点，可得，即， 即点在直线上，又可理解为点到原点的距离的平方, 故得在上能成立，即在上能成立. 令，，则， 因，故得恒成立， 即在上为单调递增函数，故当时，， 即的最小值为. 故选：D. 考点六 对称问题 16．在等腰直角三角形中,点是边异于、的一点.光线从点出发,经过、反射后又回到点(如图).若光线经过的重心,且则_________ 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解出的长度. 【详解】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设， 因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 故答案为：. 17．，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意求得关于直线对称的点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，再数形结合得到点的变动范围，从而得到，由此得解. 【详解】设直线方程为，则，解得，即，即， 设关于直线对称的点为，则，解得，即，， 同理可得： 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 如图所示： 利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点；当这束光线反射后最终经过点时，则其先经过点； 所以点之间为点的变动范围， 因为，，所以直线，即直线斜率不存在，而， 所以，即. 故选：D 18．如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC 【分析】利用点线对称与光线镜面反射的虚像原理作出图像，数形结合，可一一得到答案. 【详解】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉（线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部）， 故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上， 故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误. 故选：BC. 考点七 与直线有关的新定义题 19．对于平面直角坐标系中任意两点，，我们将定义为PQ两点的“耿直距离”.已知，，，，设是平面直角坐标系中的一个动点，若使得点M到A，B，C，D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过所求图形，求出最小值，利用特殊点求解点到A、B、C、D的“耿直距离”之和，逐项判断即可． 【详解】由题意可知满足所有阴影，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12. 当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12，排除C； 当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为14，排除A； 当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12，排除D. 故选：B 20．在平面直角坐标系中，定义点到直线的有向距离. (1)若直线，分别求； (2)若点，直线满足，点是上的动点，求的最小值； (3)若是圆上一动点，直线，求的取值范围. 【答案】(1)，. (2)10 (3) 【分析】（1）根据有向距离的定义直接代入计算可得结果； （2）分情况讨论直线斜率是否存在，再利用点关于直线对称问题求得两点间距离公式计算可得结果； （3）利用参数方程思想设点，求出关于的表达式，再由三角函数值域即可求得结果. 【详解】（1）由有向距离的定义可知， . （2）若的斜率不存在， 设其方程为， 则，所以，不符合题意， 故的斜率存在，设其方程为，即， 则，解得， 所以的方程为. 易知点位于直线的同侧，设点关于的对称点为， 则解得，即. ， 当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为10. （3）设. 由题可得， 所以. 因为，所以， 所以的取值范围是. 21.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 【分析】（1）根据直线与圆相切得到方程，化简即可； （2）转化为方程无实数解，则判别式小于0，则得到范围，再根据直线族：为抛物线的切线即可； （3）根据相切可得直线的方程为，根据点到直线的距离求出，换元，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题可得，直线族为圆M的切线， 故满足， 所以满足． （2）将点代入，可得关于的方程， 因为点不在直线族上， 故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线． 证明：联立直线与，可得， 所以， 故直线族：为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线的方程为. （3）由（2）得曲线的方程为， 设在直线上， 则，即. 设， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立，可得， 即. 因为直线与相切， 所以，即. 因为，所以，，解得. 所以直线的方程为，化简得， 同理可得直线的方程为. 因为点在切线上，所以， 所以直线的方程为，即. 将代入， 得，化简得. 则原点到直线的距离. 设，则, 所以， 所以. 当时，，则重合，不符合题意， 所以， 所以. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为， 则时，的最小值为， 所以有最大值，则的最大值为. 考点八 与直线有关的数学文化题 22．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点A关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果． 【详解】设关于直线的对称点，如图所示， 则且，解得，即， 则， 在直线上取点P，由对称性可得， 所以， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 所以，“将军饮马”的最短总路程为． 故选：B． 23．射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的外接圆方程，求出在处的切线方程，即可求出的坐标，由题意即可求得答案. 【详解】设的外接圆方程为， 则，解得， 即外接圆方程为，即， 故该外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 则直线的方程为，即， 即该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为. 故选：A. 24．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. (1)直接写出的反射光线所在直线的方程； (2)求圆的方程； (3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 【分析】（1）利用对称性质求出反射光线所在直线的方程. （2）设出圆心坐标，利用切线性质，结合点到直线距离公式求出圆心坐标即得. （3）由（2）求出点坐标，设出点坐标，利用直角三角形边角关系、切线长定理及三角形面积公式求出点坐标，再借助光的反射性质求出直线的方程. 【详解】（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上， 所以的反射光线所在直线的方程为. （2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3， 则，即， 整理得或，又点在第一象限，即，因此，点， 所以圆的方程为. （3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点， 由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧， 设，则，连接，， ，， 又， 整理得，解得，即点， 直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为， 直线的方程为，即. 1．（2026高二·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 2．（26高二·山东济宁·竞赛）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】C 【分析】根据直线经过定点，结合两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解A，根据基本不等式即可求解BC，又面积公式即可求解D. 【详解】由直线，令，得，可得过定点， 动直线， 令，可得，即恒过定点， 由， 所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，A错； , 由于，又， 所以， 所以，故，当且仅当取等号， 故B错，C对； 设到直线的距离为，由于， 故，当取等号，故最大值为，故D错， 故选：C 3．（26高二·山东济宁·竞赛）已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解. 【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 4．（2026安徽阜阳高二·竞赛）设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为____________． 【答案】 【分析】设点分别为，，求得斜率，进而得出的取值范围，由题意可知，只需即可. 【详解】设点分别为， ，， 为使区间与最多只有一个点重合，应有，即． 故答案为： 5．（25高三·湖南·竞赛）若直线过点，则的最小值等于__________． 【答案】6 【详解】解析：由题设可得，则，故，应填答案． 6．（2025高二上·甘肃·竞赛）若且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由条件并利用基本不等式，可知 当且仅当（即）时，取到最小值． 故答案为： 7．（2025高二上·甘肃·竞赛）在平面直角坐标系中，一条过点的直线经过点集中的四个点．求的取值范围． 【答案】 【分析】设代入方程得，分、讨论，转化为一元二次方程，利用根的分布可得答案. 【详解】根据条件，显然不是轴，设，代入方程得 ①， 显然．当时，①变为②， 当时，①变为③， 由于①有四个相异的实根， 故②有两个相异正根，即， 且③有两个相异负根，即， 解得． 不妨设为②的两根，为③的两根，则 ，， 于是 ， 因为，所以. 所以. 8．（2024·全国“章鱼杯”竞赛）记直线与直线的交点的轨迹为，则使得直线与恰有一个交点的的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出直线所过定点分析可知，求出点的轨迹方程，再应用直线和圆的位置关系判断即可. 【详解】直线与直线的交点的轨迹为， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 直线方程可化为， 由可得，所以直线过定点， 设线段的中点为，设点，因为，则两直线垂直，即， 由直角三角形的几何性质可得， 即，化简可得， 所以点的轨迹为圆， 直线过定点，在轨迹上， 直线与恰有一个交点则直线与圆相切， 过圆上的一点做切线只有一条故使得直线与恰有一个交点的的个数是1个. 故选：B. 9．（2024·山东泰安冬季竞赛）已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则梯形ABDC面积为 . 【答案】 【分析】取AB中点M，求出OM，由梯形的中位线性质和面积公式即可求解. 【详解】直线l的方程可化为， 所以直线l过定点， 又，所以直线l与圆的两个交点都在x轴上方， 取AB中点M， 易知为边长为2的等边三角形， 则， 因为，且M为AB中点， 所以为梯形ABDC的中位线，故， 所以梯形ABDC的面积为， 故答案为： 10．（2024·广东肇庆高二竞赛）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】求出动直线过定点，再由得出点在以为直径的圆上运动，进而得出点的轨迹方程. 【详解】将动直线整理为， 联立，可得，所以动直线过定点. 又，所以点在以为直径的圆上运动， 设，则， ， 即. 11．（24高二·江苏无锡·竞赛）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】做出合理的辅助线，利用椭圆定义求出方程，后设点，用圆中的勾股定理转化为函数最值问题求解即可. 【详解】    连接，中点为， ， ，即椭圆方程为 设，则，，连接, 由题意知，，且 ，由二次函数性质得，当时 取得最大值，此时 故选：B 12．（25高二上·福建厦门·竞赛）已知实数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设直线，则的几何意义为点到直线的距离，求解即可. 【详解】设直线，设点， 则点到直线的距离为， 因为，所以，则直线的斜率为， 若直线的斜率不存在，，所以， 当时，， 所以. 故答案为：. 13．（25高二·天津·竞赛）已知圆上两点，，O是坐标原点，，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】设的中点为，求出点的轨迹方程，根据点到直线的距离公式可得表示两点到直线的距离之和的倍，求出点到直线的距离的最大值，即可得解. 【详解】由题意得圆上两点，，得，    设的中点为，则， 由，得， 所以，可得点的轨迹是以为半径，为原点的圆， 则， 表示两点到直线的距离之和的倍，而为的中点， 故两点到直线的距离之和等于点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为， 所以的最大值是. 故答案为：. 14．（24高二上·江苏无锡·竞赛）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 15．（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知椭圆过点，且的离心率为． (1)求的方程； (2)设分别是的左顶点，上顶点，与直线平行的直线与交于两点． ①若以线段为直径的圆与直线相切，求在轴上的截距； ②当直线斜率存在时，分别将其记为，证明：为定值 【答案】(1) (2)① ②由题意，， 又，， ∴ ， 将，即，代入上式： 分子 ， 分母， ∴ ，故为定值. 【分析】（1）结合椭圆过定点坐标、离心率公式和的关系，联立方程组求解，即可得到椭圆标准方程； （2）①先求直线的斜率与方程，设出平行直线的斜截式方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，结合弦长公式求，再利用平行直线距离公式求两直线距离，根据圆与直线相切的条件（半径等于圆心到直线的距离）列方程求解截距； ②将用坐标表示，代入韦达定理的结论化简，消去参数即可证明乘积为定值. 【详解】（1）由题意可知， 解得，， ∴ 椭圆的方程为； （2）    ①由题意知，则直线的方程为， 设平行于直线的直线的方程为， 联立，消去得： ， ，解得：， 设与椭圆的交点坐标为， ∴ ， ， 又直线与直线的距离，由于以线段为直径的圆与直线相切，则 ， 即，解得． 经检验：，故在轴上的截距为； ②略. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $